Пусть $X-(n\times n)$-матрица и
$$\mathrm{\Delta }(\lambda )=\det (\lambda E-X)$$
— ее характеристический полинсм.

Теорема. Всякая квадратная матрица $X$ удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е.
$$\mathrm{\Delta }(X)=0$$
(тождество Кейли).
Доказательство. Действительно, пусть
$$X=S^{-1}\mathrm{diag}[J_1\left({\lambda }_1\right),\dots ,J_m\left({\lambda }_m\right)]S,$$

где $J_q\left({\lambda }_q\right)(q=1,\dots ,m)$ — клетки Жордана и $\det Seq0$. Так как $\mathrm{\Delta }(X)$ — аналитическая функция, то на основании формулы (1.9.10) имеем
$$\mathrm{\Delta }(X)={\mathcal{S}}^{-1}\mathrm{diag}[\mathrm{\Delta }\left(J_1\left({\lambda }_1\right)\right),\dots ,\mathrm{\Delta }\left(J_m\left({\lambda }_m\right)\right)]S.$$

Если ${\lambda }_q$ — характеристический корень матрицы $X$ кратности ${\alpha }_q$, то
$$\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_q\right)={\mathrm{\Delta }}^{\prime }\left({\lambda }_q\right)=\dots ={\mathrm{\Delta }}^{(\alpha }{q}^{-1\mid }\left({\lambda }_q\right)=0$$
$(q=1,\dots ,m)$. Поэтому, учитывая, что порядок соответствующей клетки Жордана $e_q⩽{\alpha }_q$, в силу формулы (1.9.9) будем иметь
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\left(J_q\left({\lambda }_q\right)\right)=\sum _{r=1}^e\frac{I_r^{(q)}}{r!}{\mathrm{\Delta }}^{(r)}\left({\lambda }_q\right)=0\\ (q=1,\dots ,m)\end{array}$$

и, следовательно,
$$\mathrm{\Delta }(X)=0\text{. }$$

Теорема доказана.
Пусть
$$F(x)=\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_p{x}^p(|x|<R)$$
— аналитическая функция, определяемая степенным рядом со скалярными коэффициентами $a_p(p=0,1,\dots )$.

Рассмотрим соответствующую матричную функцию
$$F(X)=\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_p{X}^p.$$

Положим, что собственные значения ${\lambda }_k(k=1,\dots ,n)$ матрицы $X$ различны и удовлетворяют условию
$$\left|{\lambda }_k\right|<R(k=1,\dots ,n).$$

Построим интерполяционный полином Лагранжа
$$P(x)=\sum _{k=1}^n\frac{(x-{\lambda }_1)\dots (x-{\lambda }_{k-1})(x-{\lambda }_{k+1})\dots (x-{\lambda }_n)}{({\lambda }_k-{\lambda }_1)\dots ({\lambda }_k-{\lambda }_{k-1})({\lambda }_k-{\lambda }_{k+1})\dots ({\lambda }_k-{\lambda }_n)}F\left({\lambda }_k\right)$$

такой, что
$$P\left({\lambda }_k\right)=F\left({\lambda }_k\right)(k=1,\dots ,n).$$

Тогда разность $F(x)-P(x)$ есть аналитическая функция, имеющая нули ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ и, следовательно, ее можно представить в виде
$$F(x)-P(x)=(x-{\lambda }_1)\dots (x-{\lambda }_n)G(x),$$

где $G(x)$-аналитическая функция в круге $|x|<R$. Отсюда получаем
$$F(x)\equiv P(x)+\mathrm{\Delta }(x)G(x),$$

где
$$\mathrm{\Delta }(x)=(x-{\lambda }_1)\dots (x-{\lambda }_n)\equiv \det (xE-X).$$

Так как матрицы $\mathrm{\Delta }(X)$ и $G(X)$ содержат степени только одной матрицы $X$, то они коммутируют между собой и, следовательно, токдество (1.10.3) останется в силе, если вместо скаляра $x$ подставим матрицу $X$. Таким образом, имеем
$$F(X)=P(X)+\mathrm{\Delta }(X)G(X).$$

Но в силу тождества Кейли
$$\mathrm{\Delta }(X)=0.$$

Поэтому из равенства (1.10.4) получаем формулу Сильвестра (см. [8])
$$F(X)=\sum _{k=1}^n\frac{(X-{\lambda }_1)\dots (X-{\lambda }_{k-1})(X-{\lambda }_{k+1})\dots (X-{\lambda }_n)}{({\lambda }_k-{\lambda }_1)\dots ({\lambda }_k-{\lambda }_{k-1})({\lambda }_k-{\lambda }_{k+1})\dots ({\lambda }_k-{\lambda }_n)}F\left({\lambda }_k\right),$$

причем предполагается, что характеристические корни ${\lambda }_k(k=$ $=1,\dots ,n$ ) матрицы $X$ различны. Формула Сильвестра дает представление аналитической функции $F(x)$ в виде полинома от матрицы $X$.

Замечание. Если среди собственных значений ${\lambda }_k$ матрицы $X$ имеются кратные, то формуль Сильвестра имеет более сложный вид (см. [1], [8]), который можег быть голучен соответствующим предельным переходом из формулы (1.10.5).