Пусть $X-(n \times n)$-матрица и
\[
\Delta(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda E-X)
\]
– ее характеристический полинсм.
Теорема. Всякая квадратная матрица $X$ удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е.
\[
\Delta(X)=0
\]
(тождество Кейли).
Доказательство. Действительно, пусть
\[
X=S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]
где $J_{q}\left(\lambda_{q}\right)(q=1, \ldots, m)$ – клетки Жордана и $\operatorname{det} S
eq 0$. Так как $\Delta(X)$ – аналитическая функция, то на основании формулы (1.9.10) имеем
\[
\Delta(X)=\mathcal{S}^{-1} \operatorname{diag}\left[\Delta\left(J_{1}\left(\lambda_{1}\right)\right), \ldots, \Delta\left(J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right)\right] S .
\]
Если $\lambda_{q}$ – характеристический корень матрицы $X$ кратности $\alpha_{q}$, то
\[
\Delta\left(\lambda_{q}\right)=\Delta^{\prime}\left(\lambda_{q}\right)=\ldots=\Delta^{(\alpha} q^{-1 \mid}\left(\lambda_{q}\right)=0
\]
$(q=1, \ldots, m)$. Поэтому, учитывая, что порядок соответствующей клетки Жордана $e_{q} \leqslant \alpha_{q}$, в силу формулы (1.9.9) будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\Delta\left(J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right)=\sum_{r=1}^{e} \frac{I_{r}^{(q)}}{r !} \Delta^{(r)}\left(\lambda_{q}\right)=0 \\
(q=1, \ldots, m)
\end{array}
\]
и, следовательно,
\[
\Delta(X)=0 \text {. }
\]
Теорема доказана.
Пусть
\[
F(x)=\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} x^{p} \quad(|x|<R)
\]
– аналитическая функция, определяемая степенным рядом со скалярными коэффициентами $a_{p}(p=0,1, \ldots)$.
Рассмотрим соответствующую матричную функцию
\[
F(X)=\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} X^{p} .
\]
Положим, что собственные значения $\lambda_{k}(k=1, \ldots, n)$ матрицы $X$ различны и удовлетворяют условию
\[
\left|\lambda_{k}\right|<R \quad(k=1, \ldots, n) .
\]
Построим интерполяционный полином Лагранжа
\[
P(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(x-\lambda_{1}\right) \ldots\left(x-\lambda_{k-1}\right)\left(x-\lambda_{k+1}\right) \ldots\left(x-\lambda_{n}\right)}{\left(\lambda_{k}-\lambda_{1}\right) \ldots\left(\lambda_{k}-\lambda_{k-1}\right)\left(\lambda_{k}-\lambda_{k+1}\right) \ldots\left(\lambda_{k}-\lambda_{n}\right)} F\left(\lambda_{k}\right)
\]
такой, что
\[
P\left(\lambda_{k}\right)=F\left(\lambda_{k}\right) \quad(k=1, \ldots, n) .
\]
Тогда разность $F(x)-P(x)$ есть аналитическая функция, имеющая нули $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ и, следовательно, ее можно представить в виде
\[
F(x)-P(x)=\left(x-\lambda_{1}\right) \ldots\left(x-\lambda_{n}\right) G(x),
\]
где $G(x)$-аналитическая функция в круге $|x|<R$. Отсюда получаем
\[
F(x) \equiv P(x)+\Delta(x) G(x),
\]
где
\[
\Delta(x)=\left(x-\lambda_{1}\right) \ldots\left(x-\lambda_{n}\right) \equiv \operatorname{det}(x E-X) .
\]
Так как матрицы $\Delta(X)$ и $G(X)$ содержат степени только одной матрицы $X$, то они коммутируют между собой и, следовательно, токдество (1.10.3) останется в силе, если вместо скаляра $x$ подставим матрицу $X$. Таким образом, имеем
\[
F(X)=P(X)+\Delta(X) G(X) .
\]
Но в силу тождества Кейли
\[
\Delta(X)=0 .
\]
Поэтому из равенства (1.10.4) получаем формулу Сильвестра (см. [8])
\[
F(X)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(X-\lambda_{1}\right) \ldots\left(X-\lambda_{k-1}\right)\left(X-\lambda_{k+1}\right) \ldots\left(X-\lambda_{n}\right)}{\left(\lambda_{k}-\lambda_{1}\right) \ldots\left(\lambda_{k}-\lambda_{k-1}\right)\left(\lambda_{k}-\lambda_{k+1}\right) \ldots\left(\lambda_{k}-\lambda_{n}\right)} F\left(\lambda_{k}\right),
\]
причем предполагается, что характеристические корни $\lambda_{k}(k=$ $=1, \ldots, n$ ) матрицы $X$ различны. Формула Сильвестра дает представление аналитической функции $F(x)$ в виде полинома от матрицы $X$.
Замечание. Если среди собственных значений $\lambda_{k}$ матрицы $X$ имеются кратные, то формуль Сильвестра имеет более сложный вид (см. [1], [8]), который можег быть голучен соответствующим предельным переходом из формулы (1.10.5).
