Рассмотрим линейную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

с непрерывной (или кусочно-непрерывной) на ( $-\infty,+\infty$ ) пернодической матрицей $A(t)$ :
\[
A(t+\omega) \equiv A(t) \quad(\omega>0) .
\]

Теорема Флоке. Для линейной системы (3.15.1) с ю-nериодической матрицей нормированная при $t=0$ фундаментальная матрица решений (матрицант) имеет вид
\[
X(t)=\Phi(t) e^{\Lambda t},
\]

где Ф (t) – класса $C^{1}$ (или кусочно-гладкая) ю-периодическая неособенная матрица, причем $\Phi(0)=E$, и $\Lambda$ – постоянная матрица.

Доказательство (см. также [28]). Пусть $X(t)$ – нормированная фундаментальная матрица решений системы (3.15.1), где
\[
X(0)=E \text {. }
\]

Матрица $X(t+\omega)$ также является фундаментальной. Действительно, на основании тождества
\[
\dot{X}(t) \equiv A(t) X(t)
\]

имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}[X(t+\omega)]=\dot{X}(t+\omega) \frac{d}{d t}(t+\omega)= \\
=A(t+\omega) X(t+\omega)=A(t) X(t+\omega) .
\end{array}
\]

Следовательно, $X(t+\omega)$ есть фундаментальная матрица решений для системы (3.15.1).
Отсюда получаем
\[
X(t+\omega) \equiv X(t) C,
\]

где $C$ – постоянная неособенная матрица. Полагая $t=0$ в тождестве (3.15.5) и учитывая условие (3.15.4), находим
\[
C=X(\omega) .
\]

Таким образом,
\[
X(t+\omega)=X(t) X(\omega) .
\]

Матрица $X(\omega)$ носит название матрицы монодромии.
Очевидно,
\[
\operatorname{det} X(\omega)
eq 0 \text {. }
\]

Положим
\[
\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} X(\omega)=\Lambda ;
\]

отсюда
\[
X(\omega)=e^{\Lambda \omega} .
\]

Напишем тождество
\[
X(t) \equiv X(t) e^{-\Lambda t} \cdot e^{\Lambda t}=\Phi(t) e^{\Lambda t},
\]

где
\[
\Phi(t)=X(t) e^{-\Delta t} .
\]

Имеем
\[
\Phi(t+\omega)=X(t+\omega) e^{-\Lambda(t+\omega\}}=X(t+\omega) e^{-\Delta \omega)} \cdot e^{-\Lambda t} .
\]

Отсюда, учитывая (3.15.6) и (3.15.8), получаем
\[
\Phi(t+\omega)=X(t) e^{\Lambda \omega} \cdot e^{-\Lambda^{\Lambda}} e^{-\Lambda t}=X(t) e^{-\Lambda t}=\Phi(t),
\]
т. е. матрица $\Phi(t)$ – периодическая с периодом $\omega$. Кроме того, если $A(t) \in C(-\infty,+\infty)$, то из (3.15.9) выводим
\[
\Phi(t)=X(t) e^{-\Lambda t} \in C^{1}(-\infty,+\infty),
\]

причем
\[
\Phi(0)=E \quad \text { и } \quad \operatorname{det} \Phi(t)=\operatorname{det} X(t) \operatorname{det} e^{-\Lambda i}
eq 0 .
\]

Теорема доказана.
Замечание. Матрицы
\[
\Lambda=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} X(\omega)
\]

и
\[
\Phi(t)=X(t) e^{-\Delta t},
\]

вообще говоря, комплексные. Можно ограничиться действительными преобразованиями, если воспользоваться матрицей
\[
X(2 \omega)=[X(\omega)]^{2} .
\]

Однако при этом рассуждения значительно усложняются (см. [28]).
Собственные значения $\lambda_{j}$ матрицы $\Lambda$, т. е. корни векового уравнения
\[
\operatorname{det}(\Lambda-\lambda E)=0,
\]

называются характеристическими показателями системы (3.15.1). Отметим, что матрица $\Lambda$ не является строго определенной так как значение $\operatorname{Ln} X(\omega)$ многозначно (гл. I, § 15).

Во избежание недоразумений следует иметь в виду, что характеристические показатели линейной периодической системы не идентичны с характеристическими показателями Ляпунова нетривиальных решений этой системы: первые, вообще говоря, являются комплексными числами, а вторые — действительными числами, представляющими вещественные части первых.

Собственные значения $\rho_{j}(j=1, \ldots, n)$ матрицы $C=X(\omega)$, т. е. корни векового уравнения (характеристического уравнения)
\[
\operatorname{det}[X(\omega)-\rho E]=0,
\]

называются мультипликаторами. Из формулы (3.15.10) выводим.
\[
\sum_{j=1}^{n} \rho_{j}=\mathrm{Sp} X(\omega)
\]

и
\[
\prod_{j=1}^{n} p_{j}=\operatorname{det} X(\omega)=\exp \int_{0}^{\omega} \mathrm{Sp} A(t) d t .
\]

Так как $\operatorname{det} X(\omega)
eq 0$, то $\rho_{j}
eq 0$. Из формулы (3.15.7) на ос новании известных свойств собс ввенных значений логарифма матрицы (см. замечание 2 к теореме $\S 15$ гл.’ I) получаем
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{j}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} \rho_{j}=\frac{1}{\omega}\left[\ln \rho_{j} \mid+i\left(\arg \rho_{j}+2 k \pi\right)\right] \\
(j=1,2, \ldots, n ; k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots),
\end{array}
\]

где целое число $k$ подбирается надлежащим образом. Поэтому характеристические показатели определяются с точностью до мнимых слагаемых $2 k \pi i / \omega$.

Обобщение. Нетрудно получить более общие формулы для матричного решения линейной периодической системы (3.15.1). Пусть $X(t) \quad(X(0)=E)$ – нормированная фундаментальная матрица системы (3.15.1) и $X_{1}(t)$ – произвольная фундаментальная матрица той же системы.
Очевидно, имеем
\[
X_{1}(t)=X(t) X_{1}(0) .
\]

Так как $X_{1}(t+\omega)$ снова язляется решением периодической системы (3.15.1), то справедливо тождество
\[
X_{1}(t+\omega) \equiv X_{1}(t) C_{1},
\]

где $C_{1}$ – постоянная матрица. Отсюда, полагая $t=0$, получим
\[
C_{1}=X_{1}^{\prime}(0) X_{1}(\omega)=X_{1}^{\prime}(0) X(\omega) X_{1}(0) .
\]

Матрицу $C_{1}$, подобную матрицє монодромии $X(\omega)$, будем называть основной для матрицы $X_{1}(t)$ (см. [10]). Положим
\[
\Lambda=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} X(\omega)
\]

и
\[
\Lambda_{1}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} C_{1} .
\]

Конкретизируя выбор $\Lambda$, нетрудно убедиться, что можно взять
\[
\Lambda_{1}=X_{1}(0) \Lambda X_{1}(0) .
\]

Действительно, используя известное свойство экспоненциала матрицы (гл. I, §6), имеем
\[
e^{\Lambda_{1} \omega}=X_{1}^{-1}(0) e^{\Lambda \omega} X_{1}(0)=X_{1}^{-1}(0) X(\omega) X_{1}(0)=C_{1} .
\]

Из формулы (3.15.12) имеем
\[
\Lambda=X_{1}(0) \Lambda_{1} X_{1}^{1}(0) .
\]

Применяя основную формулу (3.15.3), получаем
\[
\begin{aligned}
X_{1}(t)=X(t) X_{1}(0)=\Phi(t) e^{\Lambda t} X_{1}(0)= & \\
& =\Phi(t) e^{X_{1}(0) \Lambda_{1} X_{1}^{-1}(0) t} X_{1}(0)=\Phi(t) X_{1}(0) e^{\Lambda_{t} t} .
\end{aligned}
\]

Таким образом,
\[
X_{1}(t)=\Phi_{1}(t) e^{\Lambda_{1} t},
\]

где $\Phi_{1}(t)=\Phi(t) X_{1}(0)-$ – -периодическая матрица и
\[
\Lambda_{1}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} C_{1}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln}\left[X_{1}^{\cdot 1}(0) X_{1}(\omega)\right] .
\]

Теорема. Для всякого мультипликатора (множителя) ค существует нетривиальное решение $\xi(t)$ периодической системы (3.15.1), удовлетворяющее условию
\[
\boldsymbol{\xi}(t+\omega)=p \boldsymbol{\xi}(t)
\]
(так называемое нормальное решение).
Обратно, если для некоторого нетривиального решения $\xi(t)$ выполнено условие (3.15.14), то число р является мультипликатором данной системь.

Доказательство (см. [29]). 1) В качестве начального вектора $\xi(0)$ выберем собственный вектор матрицы монодромии $X(\omega)$, отвечающий собственному значєнию $\rho$. Имеем

и
\[
\begin{array}{l}
X(\omega) \xi(0)=p \xi(0) \\
\xi(t)=X(t) \xi(0) .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\xi(t+\omega)=X(t+\omega) \xi(0)=X(t) X(\omega) \xi(0)=X(t) \rho \xi(0)=\rho \xi(t),
\]

следовательно, условие (3.15.14) выполнено.
2) Обратно, пусть для некоторого нетривиального решения $\xi(t)=X(t) \xi(0)$ выполнено условие (3.15.14). Тогда, положив $t=0$, из (3.15.14) получим
\[
\xi(\omega)=p \xi(0),
\]
т. е.
\[
X(\omega) \xi(0)=\xi(\omega)=p \xi(0) .
\]

Таким образом, $\boldsymbol{\xi}(0)$ является собственным вектором матрицы: монодромии $X(\omega)$, а число $\rho$ есть корень векового уравнения
\[
\operatorname{det}[X(\omega)-\rho E]=0
\]

и, значит, $p$-мультипликатор.
Следствие. Линейная периодическая система (3.15.1) имеет нетривиальное решение периода ш тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из мультипликаторов ее р равен единице.

Действительно, если $\rho=1$, то для некоторого решения $\xi(t)
eq \mathbf{0}$ имеет место соотношение
\[
\xi(t+\omega)=\xi(t)
\]

и, следовательно, $\boldsymbol{\xi}(t)$ – $\omega$-периодическое решение системы (3.15.1). Обратно, из тождества (3.15.15) вытекает, что существует мультипликатор $\rho$, равный единице.
3амечание 1. Полагая
\[
\rho=e^{\lambda \omega}
\]

ท
\[
\xi(t)=e^{\lambda t} \varphi(t),
\]

из формулы (3.15.14) будем имєть
\[
e^{\dot{\lambda}(t+\omega)} \varphi(t+\omega)=e^{\lambda \omega} e^{\lambda t} \varphi(t),
\]
T. e.
\[
\varphi(t+\omega)=\varphi(t) .
\]

Следовательно, нормальное решение периодической системы имеет вид (3.15.16), где $\varphi(t)$ – – -периодическая вектор-функция класса $C^{1}$ и
\[
\lambda=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} p
\]
– характерисический показатель системы,

3амечание 2. Мультипликатору $\rho=-1$, если он существует, соответствует так называемо антипериодическое решение $\boldsymbol{\xi}(t)
ot 0$ периода $\omega$, т. е.
\[
\xi(t-j-\omega)=-\xi(t) .
\]

Отсюда имеем
\[
\xi(t+2 \omega)=-\xi(t+\omega)=\xi(t),
\]

и, таким образом, $\xi(t)$ есть периодическое решение с периодом $2 \omega$. Аналогично, если $p=\exp \frac{p \pi i}{q}(p, q$ – целые; $q \geqslant 1)$, то периодическая система имеет периодическое решение с периодом $T=2 q \omega$.