Пусть
\[
X(t)=\left[x_{i k}(t)\right]
\]
— фундаментальная матрица однородной дифференциальной системы (2.2.5) и
\[
W(t)=\operatorname{det} X(t)
\]
— определитель Вронского.
Используя правило дифференцирования определителя, находим

Отсюда, так как
\[
x_{k k}^{\prime}(t)=\sum_{s=1}^{n} a_{j s}(t) x_{s k}(t) \quad(j, k=1, \ldots, n),
\]

в силу известных свойств определителя получаем
\[
\begin{array}{l}
=\sum_{i=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} a_{j s}(t) \delta_{j s} W(t)=W(t) \sum_{j=1}^{n} a_{i j}(t), \\
\end{array}
\]
т. е.
\[
\frac{d W^{\prime}}{d t}=\mathrm{Sp} A(t) W(t) .
\]

Следовательно,
\[
\frac{d W}{W(t)}=\mathrm{Sp} A(t) d t .
\]

Интегрируя последнее уравнение в пределах от $t_{0}$ до $t$, где $t_{0} \in I^{+}$ и $t \in I$, приходим к формуле Остроградского-лиувнлля (см. [9]-[11])
\[
W(t)=W\left(t_{0}\right) \exp \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]