Рассмотрим систему
\[
\frac{d x}{d t}=A x,
\]

где $A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная ( $n \times n$ )-матрица.
Положим
\[
\boldsymbol{x}=e^{A t} \boldsymbol{u}
\]

тогда, учитывая свойства экспоненциала матрицы (гл. I, § 14), будем иметь
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t} \equiv e^{A t} \frac{d \boldsymbol{u}}{d t}+A e^{A t} \boldsymbol{u}=A e^{A t} \boldsymbol{u},
\]

или
\[
e^{A t} \frac{d u}{d t}=0 .
\]

Так как $\operatorname{det} e^{A t}=e^{t \mathrm{Sp} A}
eq 0$, то матрица $e^{A t}$ неособенная. Поэтому из (2.8.2) получаем
\[
\frac{d u}{d t}=\mathbf{0}
\]

и, следовательно,
\[
u=c,
\]

где $\boldsymbol{c}$ – постоянная $(n \times 1)$-матрица.

Таким образом, общее решение системы (2.8.1) с постоянной матрицей $A$ есть
\[
\boldsymbol{x}=e^{A t} \boldsymbol{c} .
\]

Пусть $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}$. Из формулы (2.8.3) имеем
\[
\boldsymbol{x}_{0}=e^{A t_{0}} \boldsymbol{c},
\]
т. е.
\[
\boldsymbol{c}=e^{-A t_{0}} \boldsymbol{x}_{0},
\]

и, значит,
\[
\boldsymbol{x}=e^{\boldsymbol{A}\left(t-t_{0}\right)} \boldsymbol{x}_{0} .
\]

Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}(m \leqslant n)$ – собственные значения матрицы $A$, отвечающие различным клеткам Жордана, и $e_{1}, \ldots, e_{m}$-соответствующие им порядки клеток Жордана. Обозначим через $S$ неособенную матрицу, приводящую матрицу $A$ к жордановой форме:
\[
A=S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]

где $J_{p}\left(\lambda_{p}\right)(p=1, \ldots, m)$ – соответствующие клетки Жордана. Тогда на. основании свойств экспоненциала (гл. I, § 13) из формулы (2.8.4) получаем
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x}(t)=S^{-1} \operatorname{diag}\left[\exp \left(t-t_{0}\right) J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots\right. \\
\left.\ldots, \exp \left(t-t_{0}\right) J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right), \\
\end{array}
\]

где
$\exp \left[\left(t-t_{0}\right) J_{p}\left(\lambda_{p}\right)\right]=$
$=e^{\lambda_{p}\left(t-t_{0}\right)}\left[E_{e_{p}}+\frac{\left(t-t_{0}\right)}{11} I_{1}^{(p)} \rightharpoondown\right.$
\[
\left.+\frac{\left(t-t_{0}\right)^{2}}{2 !} I_{2}^{(p)}+\cdots+\frac{\left(t-t_{0}\right)^{e} p^{-1}}{\left(e_{p}-1\right) !} I_{e_{p}-1}^{(p)}\right],
\]

где $I^{(p)}\left(j=1, \ldots, e_{p}-1\right)$ – соответствующие единичные косые ряды.

Теорема 1. Линейная однородная система (2.8.1) с постоянной матрицей $A$ устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни $\lambda_{j}=\lambda_{j}(A)$ матрицы А обладают неположительными вещественными частями
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(A) \leqslant 0 \quad(j=1, \ldots, n),
\]

причем характеристические корни, имеющие нулевые вещественные части, допускают лишь простье элементарные делители (т. е. соответствующие клетки Жордана сводятся к одному элементу).

Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теоремы.

Пусть $\lambda_{j}=\alpha_{j}+i \beta_{j}(j=1, \ldots, p ; i=V-1)-$ все характеристические корни матрицы $A$ с отрицательными вещественными частями $\alpha_{j}$, отвечающие различным клеткам Жордана, и $\lambda_{k}=$ $=i \gamma_{k}(k=1, \ldots, q)$ – все характеристические корни матрицы $A$ с нулевыми вещественными частями, причем $p+q=m-$ общее число клеток Жордана в нормальной форме матрицы $A$. Тогда в силу формулы (2.8.5) любое решение системы (2.8.1) имеет вид
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t)=\sum_{j=1}^{p} e^{\alpha_{i} t}\left(\cos \beta_{j} t+i\right. & \left.\sin \beta_{j} t\right) \boldsymbol{P}_{j}(t)+ \\
& +\sum_{k=1}^{q}\left(\cos \gamma_{k} t+i \sin \gamma_{k} t\right) \boldsymbol{c}_{k},
\end{aligned}
\]

где $\boldsymbol{P}_{j}(t)$ – некоторые полиномиальные вектор-функции, степень которых ниже кратности корня $\lambda_{j}$, и $\boldsymbol{c}_{k}$ – постоянные векторстолбцы. Так как $\alpha_{j}<0$, то
\[
\boldsymbol{e}^{a_{i}{ }^{t}} \boldsymbol{P}_{j}(t) \rightarrow 0 \text { при } t \rightarrow+\infty .
\]

Кроме того,
\[
\left|\cos \gamma_{k} t+i \sin \gamma_{k} t\right|=1 \text {. }
\]

Поэтому из формулы (2.8.6) вытекает, что каждое решение $\boldsymbol{x}(t)$ ограничено на полуоси $t_{0} \leqslant t<\infty$.

Следовательно, на основании теоремы 1 из § 7 система (2.8.1) устойчива.
2) Докажем теперь необходимость условий теоремы (см. [17]).

Пусть система (2.8.1) устойчива. Покажем сначала, что все характеристические корни $\lambda_{j}$ матрицы $A$ имеют неположительные вещественные части. Действительно, предположим, что найдется собственное значение $\lambda_{s}=\sigma+i \tau$ матрицы $A$ такое, что
\[
\operatorname{Re} \lambda_{s}=\sigma>0 \text {. }
\]

Тогда, как известно, система (2.8.1) имеет нетривиальное решение вида
\[
\xi=e^{\lambda} s^{t} c,
\]

где $\|\boldsymbol{c}\|
eq 0$. Отсюда
\[
\|\boldsymbol{\xi}\|=\left|e^{\lambda} s^{t}\right|\|\boldsymbol{c}\|=e^{\sigma t}\|\boldsymbol{c}\| \rightarrow \infty \quad \text { при } t \rightarrow \infty
\]

и, таким образом, решение неограниченно, что противоречит устой:чивости системы. Поэтому
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j} \leqslant 0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Покажем теперь, что каждый характеристический корень $\lambda_{j}$ с нулевой вещественной частью $\operatorname{Re} \lambda_{j}=0$ имеет простые элементарные делители.

В самом деле, предположим, что матрица $A$ приведена к жордановой форме
\[
A=S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]

где $\operatorname{det} S
eq 0$, причем некоторому характеристическому корню $\lambda_{s}=i \mu_{s}\left(\operatorname{Re} \lambda_{s}=0\right)$ соответствует клетка Жордана
\[
J_{s}\left(\lambda_{s}\right)=\left[\begin{array}{ccccc}
\lambda_{s} & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{s} & \ldots & 0 & 0 \\
\cdot & . & . & . & \cdot \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{s} & 1 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda_{s}
\end{array}\right]
\]

типа $e_{s} \times e_{s}$, где $e_{s}>1$. Тогда
\[
\Xi(t)=S^{-1} \operatorname{diag}\left[0, \ldots, e^{t J_{s}\left(\lambda_{s}\right)}, \ldots, 0\right] S
\]

будет являться матричным решением системы (2.8.1), так как
\[
\begin{aligned}
\dot{\Xi}(t)=S^{-1} \operatorname{diag} & {\left[0, \ldots, J_{s}\left(\lambda_{s}\right) e^{t J_{s}\left(\lambda_{s}\right)}, \ldots, 0\right] S=} \\
=S^{-1} \operatorname{diag} & {\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{s}\left(\lambda_{s}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S \times } \\
\times & \mathcal{S}^{-1} \operatorname{diag}\left[0, \ldots, e^{t J_{s}\left(\lambda_{s}\right)}, \ldots, 0\right] S=A \Xi(t) .
\end{aligned}
\]

Из формулы (2.8.8) получаем
\[
\operatorname{diag}\left[0, \ldots, e^{t J_{s}\left(\lambda_{s}\right)}, \ldots, 0\right]=S \Xi(t) S^{-1} .
\]

Отсюда, оценивая по норме, будем иметь
\[
\begin{aligned}
\| \operatorname{diag}\left[0, \ldots, e^{\left.t s^{(} \lambda_{s}\right)}, \ldots,\right. & 0] \|= \\
& =\left\|\left.e^{\left.t s^{\left(\lambda_{s}\right.}\right)}\right|_{j} \leqslant\right\| S\|\| \Xi(t)\left\|S^{-1}\right\| .
\end{aligned}
\]

Так как

то, воспользовавшись, например, первой нормой при $t \geqslant 0$, получаем
\[
\left\|e^{t s^{\prime} \lambda^{\prime}}\right\|=e^{s t}\left[1+\frac{t}{1 !}+\cdots+\frac{t^{e} s^{-1}}{\left(e_{s}-1\right) !}\right]>\frac{t^{e} s^{-1}}{\left(e_{s}-1\right) !},
\]

где $\sigma=\operatorname{Re} \lambda_{s}=0$. Из неравенства (2.8.9) выводим
\[
\|\Xi(t)\| \geqslant \frac{\left\|e^{\left.t s^{(\lambda} s^{\prime}\right)}\right\|}{\|S\|\left\|S^{-1}\right\|}>\frac{t^{e} s^{-1}}{\left(e_{s}-1\right) ! \mid S\|\| S^{-1} \|}
\]

при $t \geqslant 0$.
Таким образом, $\|\Xi(t)\| \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$, что невозможно для устойчивой системы.
Теорема доказана.
Замечание. Устойчивая линейная однородная система с постоянной матрицей $A$ равномерно устойчива относительно начального момента $t_{0} \in(-\infty,+\infty)$.

Действительно, так как решения устойчивой линейной системы ограничены, то имеем
\[
e^{A t} \| \leqslant c \quad \text { при } t \geqslant 0 .
\]

Пусть $\boldsymbol{x}(t)$ – произвольное решение нашей системы. Тогда
\[
\boldsymbol{x}(t)=e^{\left(t-t_{0}\right) A} \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)
\]

и, следовательно, при $t \geqslant t_{0}$ получаем
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant\left\|e^{\left(t-t_{0}\right) A}\right\|\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| \leqslant c\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\varepsilon,
\]

если
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{c}=\delta,
\]

причем число $\delta$ не зависит от начального момента $t_{0}$. Таким образом, тривиальное решение $\boldsymbol{x} \equiv \mathbf{0}$ равномерно устойчиво при $t \rightarrow \infty$, а значит, и все решения этой системы также равномерно устойчивы при $t \rightarrow \infty$ (§6, теорема 2 ).

Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система (2.8.1) с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни $\lambda_{j}=\lambda_{j}(A)$ матрицы А имеют отрццательные вещественные части, т. е.
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)<0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условия теоремы. Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}(m \leqslant n)$ – все характеристические корни матрицы $A$, отвечающие различным клеткам Жордана, причем
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}<0 \quad(j=1, \ldots, m) .
\]

Из формулы (2.8.5) вытекает, что каждое решение системы (2.8.1) имеет вид
\[
\boldsymbol{x}(t)=\sum_{j=1}^{n} e^{\lambda} i^{t} \boldsymbol{P}_{j}(t)
\]

где $\boldsymbol{P}_{f}(t)$ – полиномиальные матрицы. Отсюда на основании условия (2.8.10) получаем
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} x(t)=0
\]

и, следовательно, в силу теоремы 2 из $\S 7$ система (2.8.1) асимптотически устойчива.
2) Докажем теперь необходимость условия (2.8.10). Пусть система (2.8.1) асимптотически устойчива. Тогда эта система устойчива по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$, и, следовательно, на основании теоремы 1 имеем
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j} \leqslant 0 \quad(j=1, \ldots, m) .
\]

Допустим, что найдется хотя бы один характеристический корень $\lambda_{s}=i \mu_{s}(1 \leqslant s \leqslant m)$ такой, что
\[
\operatorname{Re} \lambda_{s}=0 .
\]

Тогда система (2.8.1) имеет решение вида
\[
\xi=e^{\lambda} s^{t} c\left(\cos \mu_{s} t+i \sin \mu_{s} t\right) c,
\]

где $\boldsymbol{c}$ – ненулевой вектор-столбец. Поэтому
\[
\|\xi\|=\|\boldsymbol{c}\|
eq 0
\]

и, значит, $\boldsymbol{\xi}
rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow \infty$, что противоречит асимптотической устойчивости системы (2.8.1). Следовательно,
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}<0 \quad(j=1, \ldots, m) .
\]

Теорема доказана полностью.
Замечание. Таким образом, чтобы доказать асимптотическую устойчивость линейной однородной системы (2.8.1), достаточно убедиться, что все корни $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ ее векового уравнения
\[
\operatorname{det}(A-\lambda E)=0
\]

обладают отрицательными вещественными частями. В следующем параграфе мы дадим необходимые и достаточные условия, при которых алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корни лишь с отрицательными вещественными частями.