1. Исследовать на почти периодичность функции: $\sin (\sin x \sqrt{2}), \sin |x|$, $\sin x^{2}, \cos \sqrt[3]{x}, \ln (2+\cos x+\cos x \sqrt{2}), \operatorname{sgn}(\sin x)$.
2. Доказать, что если $f(x)$ – действительная п. п. функцин, то

и
\[
\begin{array}{l}
f_{+}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & f(x) \geqslant 0, \\
0, & f(x)<0
\end{array}\right. \\
f_{-}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & f(x) \leqslant 0, \\
-f(x), & f(x)<0
\end{array}\right.
\end{array}
\]

также п. п. функции.
3. Доказать, что если $f(x)$ – действительная п. п. функция и
\[
\gamma \in\left(\inf _{x} f(x), \sup _{x} f(x)\right),
\]

то существует относительно плотное множество точек $\left\{\right.$ 嗮 $\in I_{x}$ таких, что
\[
f(\xi)=\gamma .
\]
4. Показать, что если $f(x)$ – непрерывная $\omega$-периодическая функция на $(-\infty,+\infty)$, то
\[
M\{f(x)\}=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} f(x) d x .
\]
5. Пусть $f(x)-$ п. п. функция и
\[
M\{f(x)\}=0 .
\]

Доказать, что функция $f(x)$ имеет относительно плотное множество нулей.
6. Показать, что для функции
\[
f(x)=e^{i x^{2}}
\]

при $\forall \lambda \in(-\infty,+\infty)$ имеем
\[
M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=0 .
\]
7. Пусть $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ ) почти периодичаа по $x$ при $y \in Y$, где $Y$-компакт, и равномерно непрерывна по $y$ на множестве $I_{x} \times Y$.

Доказать, что $f(x, y)$ почти периодична по $x$ равномерно относительно параметра $y \in Y$.
8. Пусть $x$ – скаляр и
\[
\frac{d x}{d t}=a(t) x+b(t),
\]

где $a(t)$ и $b(t)$-действительные почти периодические функции, причем
\[
a(t) \geqslant \alpha>0,
\]

где $\alpha$-положительная постоянная.
Доказать, что уравнение (*) имеет единственное почти периодическое решение (см. [78]).
9. Пусть в скалярном уравнении первого порядка
\[
\frac{d x}{d t}=f(x)+g(t),
\]

$f(x)$ – монотонно возрастающая функция такая, что
\[
f^{\prime}(x) \geqslant k>0
\]
$(k-$ постоянная), и $g(t)$ – почти перкодическая функция.
Доказать, что существует единственное почти периодическое решение уравнения (
10. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x),
\]
– неавтономная система, где $f(t, x) \in C_{t \boldsymbol{x}}^{(0,1)}\left(I_{t} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right)$ и $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ ш-периодичиа по $t$.

Если система (*\%) допускает ограниченные на $I_{t}$ рещения, которые являются разделенными в некоторой области $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}\left(\bar{B}_{\boldsymbol{x}}\right.$-компакт $)$, то все эти решения $\omega$-периодичны.
11. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A x+f(x)+\mu g(t),
\]

где $A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица, $f(x) \in C^{1}\left(\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}\right), \quad g(t)-$ п. п. вектор-функция и $\mu$-скалярный парсметр, причем
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)
eq 0 \text { и } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=0 .
\]

Доказать, что при малых $|\mu|$ уравнение (***) имеет единственное п. п. решение (см. [28]).
12. Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t)
\]

где $A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица и $f(t)$-конечный тригонометрический полином:
\[
f(t)=\sum_{p=0}^{N}\left(a_{p} \cos \lambda_{p} t+b_{p} \sin \lambda_{p} t\right) .
\]

Доказать (см. [80]), что система (1) имеет почти периодическое решение тогда и только тогда, когда вынолнены условия ортогональности:
\[
\left(\psi_{s}(t), f(t)\right)=M\left\{\Psi_{s}(t) \bar{f}(t)\right\}=0 \quad(s=1, \ldots, q),
\]

где $\Psi_{s}(t)(s=1, \ldots, q)$ – полная совокупность линейно независимых п. п. решений сопряженной системы
\[
\frac{d x}{d t}=-A^{*} x .
\]
13. Модулем называется числовое множество $\mathscr{M}=\{\alpha\}$ такое, что если $\alpha, \beta \in \mathcal{M}$, то $\alpha-\beta \in \mathscr{M}$.
Пусть линейная система
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t)
\]

с постоянной матрицей $A$ и с почти периодическим свободным членом $f(t)$ допускает единственное почти периодическое решение $\eta=\eta(t)$, причем почти периодическая вектор-функция $f(t)$ имеет множество показателей Фурье, принадлежащее модулю $\mathscr{M}$. Доказать, что показатели Фурье решения $\eta(t)$ принадлежат этому же модулю.
14. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=f(x)
\]
– автономная система, где $f(x) \in C^{1}\left(\mathscr{R}_{x}^{n}\right)$ и
\[
\operatorname{div} \boldsymbol{f}(x) \equiv \sum_{j} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{j}}=0 .
\]

Доказать, что: а) для каждого ограниченного измеримого множества $A \in \mathscr{R}_{x}^{n}$ его объем
\[
V(A)=\int \underset{A}{\ldots} \int d x_{1} \ldots d x_{n}
\]

инвариантен относительно данной системы (см. [12], [35]);
б) всякое ограниченное решение $\vdots(t)$ системы, двусторонне устойчивое по Ляпунову при $t \rightarrow \pm \infty$, является почти периодическим (см. [81]).