Пусть линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
(где $A(t)$-ограниченная непрерывная действительная матрица) с помощью преобразования Ляпунова
\[
\boldsymbol{x}=L(t) \boldsymbol{y}
\]

преобразуется в систему
\[
\frac{d y}{d t}=0
\]

с нулевой матрицей. Так как общее решение системы (3.9.3) есть
\[
y=c,
\]

то в этом случае семейство интегральных кривых линейной системы (3.9.1) в пространстве $I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}$ (рис. 18) может быть взаимно однозначно и непрерывно отображено на семейство параллельных прямых в пространстве $I_{t}^{t} \times \mathscr{R}_{y}^{n}$ (рис. 19), т. е. при отображении (3.9.2) различным интегральным кривым $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ соответствуют различные прямые $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}$ и обратно.

Заметим, что если линейная система (3.9.1) преобразуется в систему с нулевой матрицей, то в силу формул (3.9.2) и (3.9.4) все ее решения ограничены.
Рис. 18.
Рис. 19.
Теорема. Если 1) все решения $\boldsymbol{x}(t)$ линейной однородной дифференциальной системы (3.9.1) ограничены в промежутке $\left[t_{0}, \infty\right)$; 2) интеграл от следа матрицы системы ограничен снизу, т. е.
\[
\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} \geqslant a>-\infty,
\]

дде а-постоянная, то система (3.9.1) с помощью преобразования Ляпунова может быть преобразована в систему с нулевой матрицей.

Доказательство (см. [12]). Пусть $X(t)-$ фундаментальная матрица системы (3.9.1). Покажем, что $X(t)$ есть матрица Ляпунова. Действительно, очевидно, $X(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$. Далее, на основании условия 1) имеем
\[
\|X(t)\| \leqslant c, \quad\|\dot{X}(t)\| \leqslant\|A(t)\| X(t) \| \leqslant c_{1},
\]

где $c$ и $c_{1}$ — некоторые положительные постоянные. Кроме того, используя формулу Остроградского — Лиувилля (гл. II, § 3)
\[
\operatorname{det} X(t)=\operatorname{det} X\left(t_{0}\right) \exp \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

в силу условия (2) получаем
\[
|\operatorname{det} X(t)|=\left|\operatorname{det} X\left(t_{0}\right)\right| \exp \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} \geqslant\left|\operatorname{det} X\left(t_{0}\right)\right| e^{a}=c_{2}>0
\]

при $t \geqslant t_{1}$, где $c_{2}$ — постоянная. Таким образом, $X(t)$ — матрица Ляпунова.
В уравнении (3.9.1) положим
\[
\boldsymbol{x}=X(t) \boldsymbol{y},
\]

тогда
\[
\frac{d x}{d t} \equiv X(t) \frac{d y}{d t}+\dot{X}(t) y=A(t) X(t) y,
\]

или так как
\[
\dot{X}(t)=A(t) X(t),
\]

то
\[
X(t) \frac{d y}{d t}=\mathbf{0} .
\]

Так как $X(t)$ — неособенная магрица, то, умножая на $X^{-1}(t)$ обе части уравнения (3.9.5), окончательно будем иметь
\[
\frac{d y}{d t}=0 \text {. }
\]

Теорема доказана.
Следствие. Если матрица $A(t)$ системы (3.9.1) абсолютно интегрируема, т. е.
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}=k<\infty,
\]

то эта система приводима к системе с нулевой матрицей. Действительно, из уравнения (3.9.1) при $t \geqslant t_{0}$ имеем
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|+\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} .
\]

Используя лемму Гронуолла-Беллмана (гл. ІІ, § 10) и условие (3.9.6), получаем
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| \exp \int_{t_{0}}^{\vdots}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} \leqslant\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| e^{k} .
\]

Следовательно, все решения системы (3.9.1) ограничены в промежутке $\left.\llbracket t_{0}, \infty\right)$.

Кроме того, если $A(t)=\left[a_{j p}(t)\right]$, то, очевидно, имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}\right| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}\left|\operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right)\right| d t_{1} \leqslant \int_{t_{0}}^{t} \sum_{j}\left|a_{j j}\left(t_{1}\right)\right| d t_{1} \leqslant \\
\leqslant n \int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} \leqslant n K .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} \geqslant-\left|\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}\right| \geqslant-n K .
\]

Таким образом, все условия теоремы выполнены и система (3.9.1) приводима к системе с нулевой матрицей.