Рассмотрим линейную систему
\[
\frac{d x}{d t}=[A(t)+B(t)] \boldsymbol{x},
\]

где $A(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$ и $\left.B(t) \in C \mid t_{0}, \infty\right)$.
Теорема. Пусть 1) матрицқа $A(t)$ допускает конечный предел на бесконечности
\[
A(\infty)=\lim _{t \rightarrow \infty} A(t),
\]

причем предельная матрица $A(\infty)$ имеет различные собственные значения; 2) производная $\dot{A}(t)$ и матрица $B(t)$ абсолютно инте. грируемь на $\left[t_{0}, \infty\right)$, т. $е$.
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|\dot{A}(t)\| d t<\infty, \int_{t_{0}}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty .
\]

Тогда система (5.9.1) в области $t \geqslant T \gg t_{0}$ с помощью регулярного линейного преобразования
\[
x=C(t) y
\]

может быть іриведена к L-диагональному виду
\[
\frac{d y}{d t}=[\Lambda(i)+Q(t)] y,
\]

где
\[
\Lambda(t)=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{n}(t)\right] \in C^{1}[T, \infty), \sup _{t}\|\Lambda(t)\|<\infty
\]
$u$
\[
Q(t) \in C[T, \infty) \cap L[T, \infty) .
\]

Замечание. Если производная $\dot{A}(t)$ абсолютно интегрируема на $\left[t_{0}, \infty\right)$, то существует предел (5.9.2).
Действительно, имеем
\[
\left\|A\left(t_{2}\right)-A\left(t_{1}\right)\right\|=\left\|\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{A}(t) d t\right\| \leqslant \int_{t_{1}}^{t_{2}}\|\dot{A}(t)\| d t<\varepsilon \text { при } t_{2}>t_{1}>T \geqslant t_{0} .
\]

Отсюда в силу критерия Коши существует
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} A(t)=A(\infty) .
\]

Таким образом, условия 1) и 2) не являются вполне ґезависимыми.

Доказательство (см. [€0]). Пусть $C(t)$ – регулярная матрица, приводяцая матрицу $A(t)$ к диагональному виду:
\[
C^{-1}(t) A(t) C(t)=\Lambda(t) \quad(T \leqslant t<\infty) .
\]

Такая матрица существует на основании леммы о диагонализации переменной матрицы (см. §8). Положим
\[
\boldsymbol{x}=C(t) y .
\]

Из уравнения (5.9.1) имеем
\[
C(t) \frac{d y}{d t}+\dot{C}(t) y=[A(t)+B(t)] C(t) y .
\]

Отсюда
\[
\frac{d y}{d t}=\Lambda(t) y+Q(t) y,
\]

где $\Lambda(t)$ – диагональная матрица (5.9.6) и
\[
Q(t)=-C^{-1}(t) \dot{C}(t)+C^{-1}(t) B(t) C(t) \in C[T, \infty) .
\]

Так как матрицы $C(t)$ и $C^{-1}(t)$ ограничены, то из формулы (5.9.7) вытекает, что
\[
\|Q(t)\| \leqslant c_{1}\|\dot{C}(t)\|+c_{2}\|B(t)\|,
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$ – положительные постоянные.
Если матрицы $\dot{A}(t)$ и $B(t)$ абсолютно интегрируемы на $\left[t_{0}, \infty\right)$, то $\dot{C}(t)$ абсолютно интегрируема на $[T, \infty$ ) (см. $\S 8$ ) и, следовательно,
\[
\int_{\tau}^{\infty}\|Q(t)\| d t \leqslant c_{1} \int_{T}^{\infty}\left\|\dot{C}(t) \mid d t+c_{2} \int_{T}^{\infty}\right\| B(t) \| d t<\infty .
\]

Таким образом, $Q(t) \in L[T, \infty)$.
Так как матрица $A(t)$ ограничена, то из формулы (5.9.6) следует, что $\Lambda(t)$ также ограничена.
Теорема доказана полнфстью.
Пример [60]. Рассмотрим скалярное уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+p(t) x=0,
\]

где $p(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right), \dot{p}(t) \in L\left[t_{0}, \infty\right)$, причем $p(t)>0, p(\infty)
eq 0$.
Уравнение (5.9.8) можно записать в виде системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y, \\
\frac{d y}{d t}=-\omega^{2}(t) x,
\end{array}\right\}
\]

гле $p(t)=\omega^{2}(t)$. Рассмотрим характеристическое уравнение
\[
\Delta(\lambda, t) \equiv\left|\begin{array}{lr}
\lambda & -1 \\
\omega^{2}(t) & \lambda
\end{array}\right|=0 ;
\]

его корни будут
\[
\lambda_{1}(t)=i \omega(t), \quad \lambda_{2}(t)=-i \omega(t) .
\]

Построим матрицу
\[
C(t)=\left[\begin{array}{ll}
c_{11}(t) & c_{12}(t) \\
c_{21}(t) & c_{22}(t)
\end{array}\right],
\]

приводящую матрицу системы (5.9.9)
\[
A(t)=\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\omega^{2}(t) & 0
\end{array}\right]
\]

к диагональному виду. Так как собственные векторы
\[
c^{(k)}(t)=\left[\begin{array}{c}
c_{1 k}(t) \\
c_{2 k}(t)
\end{array}\right] \quad(k=1,2)
\]
ортогональны к матрице $\Delta\left[\lambda_{k}(t), t\right]$, то при $k=1$ имеем
\[
\left[\begin{array}{cc}
i \omega(t) & -1 \\
\omega^{2}(t) & i \omega(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{11}(t) \\
c_{91}(t)
\end{array}\right]=0 .
\]

Отсюда можно принять
\[
c_{11}(t)=1, c_{21}(t)=i \omega(t) .
\]

Аналогично при $k=2$ получаем
\[
\left[\begin{array}{ll}
-i \omega(t) & -1 \\
\omega^{2}(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
c_{12}(t) \\
c_{\mathrm{gg}}(t)
\end{array}\right]=0
\]

и, значит, можно положить
\[
c_{12}(t)=1, \quad c_{22}(t)=-i \omega(t) .
\]

Следовательно, матрица $C(t)$ имеет вид
\[
C(t)=\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
i \omega(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right] .
\]

Обычным способом находим обратную матрицу
\[
C^{-1}(t)=\frac{i}{2 \omega(t)}\left[\begin{array}{rr}
-i \omega(t) & -1 \\
-i \omega(t) & 1
\end{array}\right] .
\]

Кроме того,
\[
\dot{C}(t)=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
i \dot{\omega}(t) & -i \dot{\omega}(t)
\end{array}\right] .
\]

Записав систему (5.9.9) в виде
\[
\left[\begin{array}{l}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lr}
1 & 1 \\
i \omega(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right],
\]

положим
\[
\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
i \omega(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\xi \\
\eta
\end{array}\right] \text {. }
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
i \omega(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}
\dot{\xi} \\
\dot{\eta}
\end{array}\right]+} & {\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
i \dot{\omega}(t) & -i \dot{\omega}(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\xi \\
\eta
\end{array}\right]=} \\
& =\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\omega^{2}(t) & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
i \omega(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\xi \\
\eta
\end{array}\right]
\end{aligned}
\]

или, после упрощений,
\[
\left[\begin{array}{l}
\dot{\xi} \\
\dot{\eta}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
i \omega(t) & 0 \\
0 & -i \omega(t)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\xi \\
\eta
\end{array}\right]-\frac{\dot{\omega}(t)}{2 \omega(t)}\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\hat{z} \\
\eta
\end{array}\right] .
\]

Система (5.9.11) является $L$-диагональной, причем выполнено свойство $A$ :
\[
\operatorname{Re}\left[\lambda_{1}(t)-\lambda_{2}(t)\right]=\operatorname{Re}[2 i \omega(t) \mid=0 .
\]

Имеем
\[
\frac{\dot{\omega}(t)}{\omega(t)}=\frac{\frac{d}{d t} \sqrt{p(t)}}{\sqrt{\rho(t)}}=\frac{\dot{p}(t)}{2 p(t)} .
\]

Так как $p(t) \geqslant c>0$, то
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\left|\frac{\dot{\omega}(t)}{\omega(t)}\right| d t \leqslant \frac{1}{2 c} \int_{t_{0}}^{\infty}|\dot{p}(t)| d t<\infty .
\]

Следовательно, для фундаментальной матрицы системы (5.9.11) справедлива асимптотическая формула
\[
\Xi(t)=\left[\begin{array}{cc}
\exp \left[i \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]+\varepsilon_{1}(t) & \varepsilon_{2}(t) \\
\varepsilon_{3}(t) & \exp \left[-i \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]+\varepsilon_{4}(t)
\end{array}\right],
\]

где $\varepsilon_{j}(t) \rightarrow 0 \quad(j=1,2,3,4)$ при $t \rightarrow \infty$.
Возвращаясь к прежним переменным $x$ и $y$ и учитывая ограниченность функции $\omega(t)$, для системы (5.9.9) получим фундаментальную матрицу
\[
\begin{array}{l}
\tilde{X}(t)=\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
i \omega(t) & -i \omega(t)
\end{array}\right] \Xi(t)= \\
=\left[\begin{array}{cc}
\exp \left[i \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]+\tilde{\varepsilon}_{1}(t) & \exp \left[-i \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]+\tilde{\varepsilon}_{2}(t) \\
i \omega(t) \exp \left[i \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]+\tilde{\varepsilon}_{3}(t) & -i \omega(t) \exp \left[-i \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]+\tilde{\varepsilon}_{4}(t)
\end{array}\right],
\end{array}
\]

где $\tilde{\varepsilon}_{j}(t) \rightarrow 0 \quad(j=1,2,3,4)$ при $t \rightarrow \infty$.
Полагая
\[
X(t)=\tilde{X}(t)\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2 i} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2 i}
\end{array}\right],
\]

получим фундаментальную матрицу вида
\[
X(t)=\left[\begin{array}{lc}
\cos \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}+\eta_{1}(t) & \sin \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}+\eta_{2}(t) \\
-\omega(t) \sin \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}+\eta_{3}(t) & \omega(t) \cos \int_{t_{0}}^{t} \omega\left(t_{1}\right) d t_{1}+\eta_{4}(t)
\end{array}\right],
\]

где $\eta_{j}(t) \rightarrow 0(j=1,2,3,4)$ при $t \rightarrow \infty$, причем в силу первого из уравнений (5.9.9) имеем
\[
\eta_{3}(t)=\dot{\eta}_{1}(t) \text { и } \eta_{4}(t)=\dot{\eta}_{2}(t) .
\]

Таким образом, уравнение (5.9.8) имеет при $t \rightarrow \infty$ общее решение асимптотического вида
\[
x=c_{1} \cos \int_{t_{0}}^{t} \sqrt{p\left(t_{1}\right)} d t_{1}+c_{2} \sin \int_{t_{0}}^{t} \sqrt{p\left(t_{1}\right)} d t_{1}+\eta(t),
\]

где $c_{1}$ и $c_{3}$ – произвольные постоянные и $\eta_{1}(t), \dot{\gamma}_{i}(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$.