Рассмотрим линейную систему
$$\frac{dx}{dt}=[A(t)+B(t)]\mathit{x},$$

где $A(t)\in C^1[t_0,\mathrm{\infty })$ и $B(t)\in C\mid t_0,\mathrm{\infty })$.
Теорема. Пусть 1) матрицқа $A(t)$ допускает конечный предел на бесконечности
$$A(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}A(t),$$

причем предельная матрица $A(\mathrm{\infty })$ имеет различные собственные значения; 2) производная $\dot{A}(t)$ и матрица $B(t)$ абсолютно инте. грируемь на $[t_0,\mathrm{\infty })$, т. $е$.
$${\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}\Vert \dot{A}(t)\Vert dt<\mathrm{\infty },{\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}\Vert B(t)\Vert dt<\mathrm{\infty }.$$

Тогда система (5.9.1) в области $t⩾T\gg t_0$ с помощью регулярного линейного преобразования
$$x=C(t)y$$

может быть іриведена к L-диагональному виду
$$\frac{dy}{dt}=[\mathrm{\Lambda }(i)+Q(t)]y,$$

где
$$\mathrm{\Lambda }(t)=\mathrm{diag}[{\lambda }_1(t),\dots ,{\lambda }_n(t)]\in C^1[T,\mathrm{\infty }),\underset{t}{sup}\Vert \mathrm{\Lambda }(t)\Vert <\mathrm{\infty }$$
$u$
$$Q(t)\in C[T,\mathrm{\infty })\cap L[T,\mathrm{\infty }).$$

Замечание. Если производная $\dot{A}(t)$ абсолютно интегрируема на $[t_0,\mathrm{\infty })$, то существует предел (5.9.2).
Действительно, имеем
$$\Vert A\left(t_2\right)-A\left(t_1\right)\Vert =\Vert {\int }_{t_1}^{t_2}\dot{A}(t)dt\Vert ⩽{\int }_{t_1}^{t_2}\Vert \dot{A}(t)\Vert dt<\epsilon \text{ при }{t}_2>t_1>T⩾t_0.$$

Отсюда в силу критерия Коши существует
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}A(t)=A(\mathrm{\infty }).$$

Таким образом, условия 1) и 2) не являются вполне ґезависимыми.

Доказательство (см. [€0]). Пусть $C(t)$ — регулярная матрица, приводяцая матрицу $A(t)$ к диагональному виду:
$$C^{-1}(t)A(t)C(t)=\mathrm{\Lambda }(t)(T⩽t<\mathrm{\infty }).$$

Такая матрица существует на основании леммы о диагонализации переменной матрицы (см. §8). Положим
$$\mathit{x}=C(t)y.$$

Из уравнения (5.9.1) имеем
$$C(t)\frac{dy}{dt}+\dot{C}(t)y=[A(t)+B(t)]C(t)y.$$

Отсюда
$$\frac{dy}{dt}=\mathrm{\Lambda }(t)y+Q(t)y,$$

где $\mathrm{\Lambda }(t)$ — диагональная матрица (5.9.6) и
$$Q(t)=-C^{-1}(t)\dot{C}(t)+C^{-1}(t)B(t)C(t)\in C[T,\mathrm{\infty }).$$

Так как матрицы $C(t)$ и $C^{-1}(t)$ ограничены, то из формулы (5.9.7) вытекает, что
$$\Vert Q(t)\Vert ⩽c_1\Vert \dot{C}(t)\Vert +c_2\Vert B(t)\Vert ,$$

где $c_1$ и $c_2$ — положительные постоянные.
Если матрицы $\dot{A}(t)$ и $B(t)$ абсолютно интегрируемы на $[t_0,\mathrm{\infty })$, то $\dot{C}(t)$ абсолютно интегрируема на $[T,\mathrm{\infty }$ ) (см. $\mathrm{\S }8$ ) и, следовательно,
$${\int }_{\tau }^{\mathrm{\infty }}\Vert Q(t)\Vert dt⩽c_1{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert \dot{C}(t)\mid dt+c_2{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert B(t)\Vert dt<\mathrm{\infty }.$$

Таким образом, $Q(t)\in L[T,\mathrm{\infty })$.
Так как матрица $A(t)$ ограничена, то из формулы (5.9.6) следует, что $\mathrm{\Lambda }(t)$ также ограничена.
Теорема доказана полнфстью.
Пример [60]. Рассмотрим скалярное уравнение
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+p(t)x=0,$$

где $p(t)\in C^1[t_0,\mathrm{\infty }),\dot{p}(t)\in L[t_0,\mathrm{\infty })$, причем $p(t)>0,p(\mathrm{\infty })eq0$.
Уравнение (5.9.8) можно записать в виде системы
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=y,\\ \frac{dy}{dt}=-{\omega }^2(t)x,\end{array}\}$$

гле $p(t)={\omega }^2(t)$. Рассмотрим характеристическое уравнение
$$\mathrm{\Delta }(\lambda ,t)\equiv \left|\begin{array}{lr}\lambda & -1\\ {\omega }^2(t)& \lambda \end{array}\right|=0;$$

его корни будут
$${\lambda }_1(t)=i\omega (t),{\lambda }_2(t)=-i\omega (t).$$

Построим матрицу
$$C(t)=\left[\begin{array}{ll}{c}_{11}(t)& c_{12}(t)\\ c_{21}(t)& c_{22}(t)\end{array}\right],$$

приводящую матрицу системы (5.9.9)
$$A(t)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2(t)& 0\end{array}\right]$$

к диагональному виду. Так как собственные векторы
$$c^{(k)}(t)=\left[\begin{array}{c}{c}_{1k}(t)\\ c_{2k}(t)\end{array}\right](k=1,2)$$
ортогональны к матрице $\mathrm{\Delta }[{\lambda }_k(t),t]$, то при $k=1$ имеем
$$\left[\begin{array}{cc}i\omega (t)& -1\\ {\omega }^2(t)& i\omega (t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c}_{11}(t)\\ c_{91}(t)\end{array}\right]=0.$$

Отсюда можно принять
$$c_{11}(t)=1,c_{21}(t)=i\omega (t).$$

Аналогично при $k=2$ получаем
$$\left[\begin{array}{ll}-i\omega (t)& -1\\ {\omega }^2(t)& -i\omega (t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c}_{12}(t)\\ c_{\mathrm{gg}}(t)\end{array}\right]=0$$

и, значит, можно положить
$$c_{12}(t)=1,c_{22}(t)=-i\omega (t).$$

Следовательно, матрица $C(t)$ имеет вид
$$C(t)=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ i\omega (t)& -i\omega (t)\end{array}\right].$$

Обычным способом находим обратную матрицу
$$C^{-1}(t)=\frac{i}{2\omega (t)}\left[\begin{array}{rr}-i\omega (t)& -1\\ -i\omega (t)& 1\end{array}\right].$$

Кроме того,
$$\dot{C}(t)=\left[\begin{array}{ll}0& 0\\ i\dot{\omega }(t)& -i\dot{\omega }(t)\end{array}\right].$$

Записав систему (5.9.9) в виде
$$\left[\begin{array}{l}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lr}1& 1\\ i\omega (t)& -i\omega (t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right],$$

положим
$$\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ i\omega (t)& -i\omega (t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\xi \\ \eta \end{array}\right]\text{. }$$

Отсюда
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{l}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ i\omega (t)& -i\omega (t)\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}\dot{\xi }\\ \dot{\eta }\end{array}\right]+& \left[\begin{array}{ll}0& 0\\ i\dot{\omega }(t)& -i\dot{\omega }(t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]=\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2(t)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ i\omega (t)& -i\omega (t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]\end{array}$$

или, после упрощений,
$$\left[\begin{array}{l}\dot{\xi }\\ \dot{\eta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}i\omega (t)& 0\\ 0& -i\omega (t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\xi \\ \eta \end{array}\right]-\frac{\dot{\omega }(t)}{2\omega (t)}\left[\begin{array}{rr}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\hat{z}\\ \eta \end{array}\right].$$

Система (5.9.11) является $L$-диагональной, причем выполнено свойство $A$ :
$$\mathrm{Re}[{\lambda }_1(t)-{\lambda }_2(t)]=\mathrm{Re}[2i\omega (t)\mid =0.$$

Имеем
$$\frac{\dot{\omega }(t)}{\omega (t)}=\frac{\frac{d}{dt}\sqrt{p(t)}}{\sqrt{\rho (t)}}=\frac{\dot{p}(t)}{2p(t)}.$$

Так как $p(t)⩾c>0$, то
$${\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{\dot{\omega }(t)}{\omega (t)}\right|dt⩽\frac{1}{2c}{\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}|\dot{p}(t)|dt<\mathrm{\infty }.$$

Следовательно, для фундаментальной матрицы системы (5.9.11) справедлива асимптотическая формула
$$\mathrm{\Xi }(t)=\left[\begin{array}{cc}\exp \left[i{\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1\right]+{\epsilon }_1(t)& {\epsilon }_2(t)\\ {\epsilon }_3(t)& \exp [-i{\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1]+{\epsilon }_4(t)\end{array}\right],$$

где ${\epsilon }_j(t)\to 0(j=1,2,3,4)$ при $t\to \mathrm{\infty }$.
Возвращаясь к прежним переменным $x$ и $y$ и учитывая ограниченность функции $\omega (t)$, для системы (5.9.9) получим фундаментальную матрицу
$$\begin{array}{l}\tilde{X}(t)=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ i\omega (t)& -i\omega (t)\end{array}\right]\mathrm{\Xi }(t)=\\ =\left[\begin{array}{cc}\exp \left[i{\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1\right]+{\tilde{\epsilon }}_1(t)& \exp [-i{\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1]+{\tilde{\epsilon }}_2(t)\\ i\omega (t)\exp \left[i{\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1\right]+{\tilde{\epsilon }}_3(t)& -i\omega (t)\exp [-i{\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1]+{\tilde{\epsilon }}_4(t)\end{array}\right],\end{array}$$

где ${\tilde{\epsilon }}_j(t)\to 0(j=1,2,3,4)$ при $t\to \mathrm{\infty }$.
Полагая
$$X(t)=\tilde{X}(t)\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2i}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2i}\end{array}\right],$$

получим фундаментальную матрицу вида
$$X(t)=\left[\begin{array}{lc}\cos {\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1+{\eta }_1(t)& \sin {\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1+{\eta }_2(t)\\ -\omega (t)\sin {\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1+{\eta }_3(t)& \omega (t)\cos {\int }_{t_0}^t\omega \left(t_1\right)d{t}_1+{\eta }_4(t)\end{array}\right],$$

где ${\eta }_j(t)\to 0(j=1,2,3,4)$ при $t\to \mathrm{\infty }$, причем в силу первого из уравнений (5.9.9) имеем
$${\eta }_3(t)={\dot{\eta }}_1(t)\text{ и }{\eta }_4(t)={\dot{\eta }}_2(t).$$

Таким образом, уравнение (5.9.8) имеет при $t\to \mathrm{\infty }$ общее решение асимптотического вида
$$x=c_1\cos {\int }_{t_0}^t\sqrt{p\left(t_1\right)}d{t}_1+c_2\sin {\int }_{t_0}^t\sqrt{p\left(t_1\right)}d{t}_1+\eta (t),$$

где $c_1$ и $c_3$ — произвольные постоянные и ${\eta }_1(t),{\dot{\gamma }}_i(t)\to 0$ при $t\to \mathrm{\infty }$.