Пусть $X$ — квадратная матрица. Тогда, используя действия над матрицами, можно определить матричные полиномы
\[
P(X)=A_{0}+A_{1} X+\ldots+A_{p} X^{p}
\]
(правый) и
\[
Q(X)=B_{0}+X B_{1}+\ldots+X^{q} B_{q}
\]
(левый), где постоянные матрицы $A_{0}, \ldots, A_{p}$ и $B_{0}, \ldots, B_{q}$ таковы, что указанные действия возможны. В частности, это могут быть квадратные матрицы одинакового с $X$ порядка или числа (скаляры).

Если $Q(X)$ — неособенная матрица, то можно определить $p a$ циональные функции матриц
\[
R_{1}(X)=P(X)[Q(X)]^{-1}
\]
(правое частное) и
\[
R_{2}(X)=[Q(X)]^{-1} P(X)
\]
(левое частное).
Пусть
\[
C_{p}=\left(c_{j k}^{(p)}\right) \quad(p=1,2, \ldots)
\]

— последовательность матриц одного и того же типа. В таком случае матрица
\[
C=\lim _{p \rightarrow \infty} C_{p} \equiv\left(\lim _{p \rightarrow \infty} C_{j k}^{(p)}\right)
\]

если она имеет смысл, называется пределом последовательности (1.7.1). Отсюда, естественно, вводится сходимость матричных рядов
\[
U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{p}+\ldots
\]

А именно, матричный ряд (1.7.2) называется сходяццися, если существует предел последовательности его частичных сумм
\[
S=\lim _{p \rightarrow \infty}\left(U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{p}\right) .
\]

Предельная матрица $S$ называется суммой ряда (1.7.2), т. е.
\[
S=\sum_{p=1}^{\infty} U_{p}
\]

Заметим, что из определений нормы матрицы вытекает, что если $C_{p} \rightarrow C$, то 1) $C-C_{p} \| \rightarrow 0$ и 2) $\left\|C_{p}\right\| \rightarrow\|C\|$ при $p \rightarrow \infty$. Если функция $F(X)$ в некоторой области $\{X\}=D$ представляет собой сумму степенного ряда
\[
F(X)=\sum_{p=0}^{\infty} A_{p} X^{p}
\]

нли
\[
F(X)=\sum_{p=0}^{\infty} X^{p} B_{p},
\]

где $A_{p}, B_{p}(p=0,1,2, \ldots)$ — постоянные матрицы, то $F(X)$ называется аналитической функцией от $X$ в области $D$.