1. Доказать, ч́то
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t)-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \psi(t) \leqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty}[\varphi(t)-\psi(t)] \leqslant \lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)-\overline{\lim }_{t \rightarrow \infty} \psi(t),
\]

предполагая, что $\mathcal{i}(t)$ и $\psi(t)$ определены и ограничены в интервале $\left(t_{0}, \infty\right)$.
2. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$. Доказать, что
\[
\|x(t)\| \leqslant\left\|x\left(t_{0}\right)\right\| \exp \int_{i_{0}}^{t}\|A(\tau)\| d \tau
\]

и
\[
\int_{t_{0}}^{t}\|\dot{\boldsymbol{x}}(\tau)\| d \tau \leqslant\left\|x\left(t_{0}\right)\right\| \cdot\left[\exp \int_{t_{0}}^{t}\|A(\tau)\| d \tau-1\right]
\]

при $t \geqslant t_{0}$.
Вывести отсюда, что если
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|A(\tau)\| d \tau<\infty,
\]

то для каждого решения $x(t)$ существует $\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)$.
3. Пусть нелинейная система
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x)
\]

такова, что $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t}(Z)$, где $Z=\left\{t_{0} \leqslant t<\infty,\|x\|<H\right\}$ и в $Z$ выполнено условие Линшица:
\[
\left\|f\left(t, x^{\prime}\right)-f(t, x)\right\| \leqslant L\left\|x^{\prime}-x\right\|,
\]

где $L$ – положительная постоянная.
Доказать, что каждое решение системы $\boldsymbol{x}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ ‘имсет конеч. ный характеристический показатель ? $[x]$.
4. Пользуясь неравенством Важевского, исследовать на устойчивость скалярную систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-x \sin ^{2} t+\left(a+\frac{2 b}{t}\right) y, \\
\frac{d y}{d t}=-a x-y \cos ^{2} t,
\end{array}\right\}
\]

где $a$ и $b$-действительные постоянные.
5. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]
ис $A(t)=\left|a_{j k}(t)\right|-$ действительная $(n \times n)$-матрица и
\[
\begin{array}{l}
r(t)=\min _{j}\left[a_{j j}(t)=\sum_{k
eq j} \frac{a_{j k}(t)|+| a_{k j}(t) \mid}{2}\right], \\
R(t)=\max _{j}\left[a_{i j}(t)+\sum_{k
eq j} \frac{a_{j k}(t) !+a_{k j}(t) !}{2}\right] .
\end{array}
\]

Доказать, что
\[
x\left(t_{11}\right) \exp \int_{r_{10}}^{t} r\left(t_{1}\right) d t_{1} \leqslant i x(t) \leqslant x\left(t_{0}\right) \exp \int_{i_{0}}^{t} R\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]

при $t \geqslant t_{0}$, где $\boldsymbol{x}(t)$ евкаидова норма ренения $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})$.
6. Ilyсть
\[
\frac{d x_{j}}{d t}=\sum_{k=1}^{n} p_{j k}(t) x_{k} \quad(j=1, \ldots, n),
\]
sиe $p_{i k}(t) \in C\left[t_{1}, \infty\right)$, ирнчем $\lim _{t \rightarrow \infty} p_{j k}(t)=0$ при $j
ot
eq k$ и
\[
\operatorname{Re}\left[p_{k-1}, k-1(t)-p_{k k}(t)\right] \geqslant c>0 \quad(k=2, \ldots, n),
\]
$c$ – постоянная.
Доказать, чго
\[
\alpha_{k}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{1}}^{t} \operatorname{Re} p_{k k}(\tau): d \tau \quad(k=1, \ldots, n)
\]

являются характеристическими показстелями Ляпунова данной системы (см. [25], [12]).
7. Доказать, что для линейной системы
\[
\frac{d x}{d t}=J x
\]

с ностоянной матрицей Жордана $J$ ее фупдаментальная система
\[
X(t)=e^{\left(t-t_{0}\right) J}
\]

является нормальной.
8. Доказать, чю фундаментальая матриа $X(t)$ действительной џриводимой системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

ивляется нормалый тогда и только тогда, когда цля суммы характеристических показателей ${ }_{X}$ ее ренений выполнено равенство Ляпунова
\[
\sigma_{X}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A(\tau) d \tau
\]

В частности, для системы
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]

где $A$-действительная постоянная матрица, ес фундаментальная система $X^{\prime}(t)$ нормальна лишь тогда, когда
\[
\sigma_{\mathrm{X}}=\mathrm{Sp} A .
\]
9. Пусть для линейной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
$X(t)=\left\{x^{k}(t)\right\}$ – нормальная фундаментальная система и $Z(t)=\left\{z^{(k)}(t)\right\}$ какая-нибудь фундаментальная система, причем
\[
\alpha_{1} \leqslant \alpha_{2} \leqslant \cdots \leqslant \alpha_{n}
\]

и
\[
\alpha_{1}^{\prime} \leqslant \alpha_{2}^{\prime} \leqslant \cdots \leqslant \alpha_{n}^{\prime},
\]

где $\alpha_{k}=\chi\left[x^{(k)}(t)\right], \quad \alpha_{k}^{\prime}=\chi\left[z^{(k)}(t)\right\} \quad(k=1, \ldots, n)$.
Доказать, что
\[
\alpha_{k} \leqslant \alpha_{k}^{\prime} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]
10. Пусть линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right), \sup _{t}\|A(t)\|<\infty$, приводима к системе
\[
\frac{d z}{d t}=C z \text {, }
\]

матрица которой $C$ постоянна и имеет собственные значения с простым элементарными делителями. Тогда сислема
\[
\left.\frac{d y}{d t}=\mid A(t)+B(t)\right] y,
\]

де $B(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$ и $\int_{t_{0}}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty$, также приводима.
11. Показать, что линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,(t \geqslant 1)
\]

с матрицей
\[
A(t)=\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{2}{t^{2}} & 0
\end{array}\right]
\]

неприводима (ср. 10).
12. Пусть действительная линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
\[
8 *
\]

$(A(t) \in C[0, \infty)$ и $\sup \|A(t)\|<\infty)$, имеющая спектр $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$, обладает нормальной фундаментальной матрицей $X(t)$ такой, что
\[
\sup _{t}\left\|X(t) e^{-\Delta t}\right\|<\infty
\]

и
\[
\sup _{t}\left|\exp \left[t \sum_{k} \lambda_{k}-\int_{0}^{t} \operatorname{Sp} A(\tau) d \tau\right]\right|<\infty,
\]

где $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$.
Доказать, что система (*) приводима (см. [13]).
\[
x=X(t) e^{-t \Delta} y .
\]
13. Доказать, что если линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$, устойчива и приводима, то она равномерно устойчива (см. $[37])$.
14. Действительная линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
$\left(A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)\right)$ называется ограниченно устойчивой (см. [37]), если она устойчива одновременно с сопряженной системой
\[
\frac{d y}{d t}=-A^{T}(t) y .
\]

Доказать, что система (ж) ограниченно устойчива тогда и только тогда, когда она приводима к системе с нулевой матрицей.
15. Доказать, что если система (
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty,
\]

то система
\[
\frac{d z}{d t}=[A(t)+B(t)] \boldsymbol{z}
\]

также ограниченно устойчива (Конги).
16. Две матрицы $A(t)$ и $B(t)$, непрерывные и ограниченные на $\left[t_{0}, \infty\right)$, называются кинематически подобными [13], если существует матрица Ляпунова $L(t)$ такая, что
\[
L^{-1}(t) A(t) L(t)-L^{-1}(t) \dot{L}(t)=B(t) .
\]

Доказать, что ссли матрицы сисгем
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x \quad \text { и } \quad \frac{d y}{d t}=B(t) y
\]

ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right)$ и кинематически подобны, то эти системы обладают одинаковыми спектрами, причем одновременно являются правильными или неправильными (Л я пу нов).

17. Доказать, что если система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

с непрерывной и ограниченной матрицей $A(t)$ правильная, то ее с помощью сохраняющего характеристические числа линейного непрерывного преобразования
\[
x=S(t) y
\]

можно привести к системе с постоянной матрицей
\[
\frac{d y}{d t}=B y
\]
$(B=$ const $)$.
18. Пусть $A(t)=\left[a_{j k}(t)\right] \in C\left(I_{t}^{+}\right)$- ограниченная треугольная матрица и система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

правильная.
Доказать; что существует ее нормальная фундаментальная матрица
\[
X(t)=\Phi(t) e^{\int_{t_{0}}^{t} D\left(t_{1}\right) d t_{1}},
\]

где $D(t)=\operatorname{diag}\left[a_{11}(t), \ldots, a_{n n}(t)\right]$ и
\[
\chi[\Phi(t)]=\chi\left[\Phi^{-1}(t)\right]=0 .
\]
19. Доказать, что если $p(t)$ – непрерывная $\omega$-периодическая функция такая, что
\[
p(t)
eq 0, \overline{p(t)}=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} p(t) d t \geqslant 0,
\]

и выполнено условие
\[
\omega \int_{0}^{\omega}|p(t)| d t \leqslant 4,
\]

то все решения скалярного уравнения
\[
\ddot{x}+p(t) x=0
\]

ограничены (см. [39]).
20. Пусть для $\omega$-периодической системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t+\omega)=A(t)$, все мультипликаторы по модулю отличны от единицы. Доказать, что неоднородная система
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+\exp (\text { iat }) f(t),
\]

где $\alpha=$ const и $f(t)$ – $\omega$-периодическая вектор-функция, имеет единственное ограниченное решение $y(t)$, обладающее свойством
\[
y(t+\omega)=\exp (i \alpha \omega) y(t)
\]
(cм. [40]).
21. Характеристические показатели Ляпунова $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ линейной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

называются устойчивыми, если для всякого $\varepsilon>0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что при
\[
\|B(t)\|<\delta
\]

соответствующие характеристические показатели $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ возмущенной системы
\[
\frac{d y}{d t}=\lfloor A(t)+B(t)\rfloor y
\]

удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\beta_{k}-\alpha_{k}\right|<\varepsilon \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Доказать, что если $A(t)=$ const и собственные значения ее имеют простые элементарные делители, то характеристические показатели системы (\$:*) устойчивы.

Замечание. Теорема для постоянной матрицы $A$ верна в общем случае (Персидский), однако доказательство ее значительно сложнее.
22. Показать, что характеристичегкие ноказатели скалярной системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-x \\
\frac{d y}{d t}=[\sin (\ln t)+\cos (\ln t)-2] y
\end{array}\right\}
\]

не являются устойчивыми (см. [21ђ).
23. Пусть нелинейная система
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t, y),
\]

где $A$ – постоянная матрица и $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y})$ – непрерывный нелинейный член, такова, что: а) $\operatorname{Re} \lambda_{j}(A) \leqslant 0(j=1, \ldots, n)$, причем корни $\lambda_{j}(A)$ с нулевой вещественной частью имеют простые элементарные делители; 6$)\|f(t, y)\| \leqslant$ $\leqslant k(t)\|y\|$, где
\[
\int_{t_{0}}^{\infty} k(t) d t<\infty .
\]

Доказать, что эта система асимптотически эквивалентна соответствующей линейной системе
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]
(cм. $\lfloor 24]$ ).

24. нусть постоянная матрица $A$ имеет характеристические корни $\lambda_{j}=\lambda_{j}(A) \quad(j=1, \ldots, n)$ с простыми элементарными делителями и
\[
\frac{d y}{d t}=[A+B(t)] y,
\]

где
\[
\int_{0}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty .
\]

Доказать, что существует фундаментальная система решений $\boldsymbol{y}_{i}(t)$ $(j=1, \ldots, n)$ таких, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y_{j}(t) e^{-\lambda_{j} t}=c_{j}
\]

гле $c_{j}$-соответствующие собственные векторы матрицы $A$ (см. [28]).
25. Доказать теорему: Пусть $X(t)(X(0)=E)$ – нормированная фундаментальная матрица системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C[0, \infty)$, и пусть $B(t) \in C[0, \infty)-(n \times n)$-матрица такая, что
\[
\int_{0}^{\infty}\left\|X^{-1}(t) B(t) X(t)\right\| d t<\infty .
\]

Тогда решения системы
\[
\frac{d y}{d t}=[A(t)+B(t)] y
\]

представимы в виде
\[
\boldsymbol{y}=X(t) c(t),
\]

где существует $\lim _{t \rightarrow \infty} c(t)=c_{\infty}$, причем $\left\{c_{\infty}\right\} \equiv(-\infty,+\infty$ ) (Б е бернес).
26. Доказать теорему Беллмана: Если
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x, \frac{d y}{d t}=B(t) y
\]

и
\[
\int_{0}^{\infty}\|B(t)-A(B)\|\|X(t)\|\left\|X^{-1}(t)\right\| d t<\infty,
\]

где $\dot{X}(t)=A(t) X(t), X(0)=E$, то
\[
y=X(t) c-o(\|X(t)\|)
\]
( $c$ – постоянный вектор).
27. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
— действительная $\omega$-периодическая система и $\rho_{i}(j=1, \ldots, n)$ – ее мультипликаторы.

Показать, что мультипликаторами сопряженной системнт
\[
\frac{d \xi}{d t}=-A^{T_{\xi}}
\]

являются числа $\frac{1}{p_{j}}(j=1, \ldots, n)$.
28. Доказать, что если действительное скалярное уравнсние
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x),
\]

где $f(t, x) \in C\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{\mathrm{I}}\right), f(t+\omega, x) \equiv f(t, x)$, имеет положительно ограниченное решение $\xi=\tilde{\xi}(t) \quad\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$, то существует $\omega$-нериодическое решение уравнения (жна) ( $M$ а с с е ра).
29. Пусть
\[
\dot{x}=F(t, x),
\]

где $\boldsymbol{F} \in C\left(I_{t}^{+} \times \boldsymbol{x} \|<H\right)$, причем
\[
\|\boldsymbol{F}(t, x)\| \leqslant \psi(t)\|x\|
\]

и
\[
\int_{t_{0}}^{\infty} \psi(t) d t<\infty .
\]

Доказать, что если $x\left(t_{0}\right)$ достаточно мало по норме, то: 1) решение $\boldsymbol{x}(t)$ определено при $t \in\left[t_{0}, \infty\right)$ и 2) существует
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=x_{\infty}
\]

отличный от нуля, если $\boldsymbol{x}(t)
eq 0$.
30. Показать, что уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=f(t),
\]

где $f(t) \in C(-\infty,+\infty)$ и $f(t+\omega) \equiv f(t)$, имеет $\omega$-периодическое общее решение тогда и только тогда, когда
\[
\int_{0}^{\omega} f(t) d t=0 .
\]
31. Пусть $J(\lambda)-(n \times n)$-клетка Жордана, имеющая собственнос значение $\lambda$, и
\[
f(t)=\operatorname{colon}\left[f_{1}(t), \ldots, f_{n}(t)\right]
\]
– непрерывная $\omega$-периодическая вектор-функция.
Доказать, что уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=J(\lambda) y+e^{\lambda t} f(t)
\]

имеет решение вида
\[
y=e^{\lambda t} \varphi(t),
\]

Іде $\varphi(t)$ – ш-лериодическая вектор-функция, тогда и только тогда, когда
\[
\int_{0}^{\omega} f_{n}(t) d t=0 .
\]

32. Пусть линейная однородная система
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]

с постояной матрицей $A$ асимптотически устойчива, а неоднородная возмущенная система
\[
\frac{d y}{d t}=[A+B(t)] \boldsymbol{y}+\boldsymbol{f}(t)
\]

такова, что: 1) $B(t), f(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$ и 2$) \int_{t_{1}}^{\infty} \| B(t) d t<\infty, \quad f(t) \rightarrow 0 \quad$ при $t \rightarrow \infty$, или же 2’) $B(t) \rightarrow 0$ ири $t \rightarrow \infty$ и $\int_{t_{0}}^{\infty}\|f(t)\| d t<\infty$. Тогда все peнения $y(t)$ системы (II) имеют предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0 .
\]