Теорема (вторая теорема Ляпунова). Пусть для призеденной сиспомь (4.3.1) существует положительно определенная рункция $V(t, x) \in C_{t \boldsymbol{x}}^{(1,1)}\left(Z_{0}\right)$, допускающая бесконечно малый высший предел при $x \rightarrow 0$ и имеющая отрицательно определенную произеодную по времени $V(t, x)$ в силу этой системь. Тогда тривиальное решение $\xi=0$ систель асимптотически устойчиво по Ляпунову npu $t \rightarrow-\infty$.

Доказательство. Так как условия теоремы являются усилением условий теоремы из $\S 3$, то тривиальное решение $\xi=0$ приведенной системы (4.3.1) устойчиво.

Согласно определению асимптотической устойчивости (гл. II, $\$ 1$, определение 4) остается доказать, что для каждого нетривиального решения
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)
eq 0 \quad\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right),
\]

ге $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) \| \leqslant h<H$ и $h$ достаточно мало, справедливо равенство
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=0 .
\]

Рассмотрим функцию
\[
v(t)=V(t, \boldsymbol{x}(t)) .
\]

Так как в силу условия теоремы
\[
\dot{v}(t)=\frac{d V}{d t}<0,
\]

то функция $v(t)$ монотонно убывающая и, будучи ограниченной снизу, имеет конечный предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} v(t)=\inf _{t} v(t)=\alpha \geqslant 0 .(4.4 .2)
\]

Покажем, что число $\alpha$ не может быть положительным. Действительно, предположим, что $x>0$. Тогда наше нетргвиальное решение $\boldsymbol{x}(t)$ удовлетворяет неравенству
\[
\boldsymbol{x}(t) \geqslant \beta>0 \text { при } t_{0} \leqslant t<\infty,
\]

где $\beta$ – положительная постоянная; т. е. траектория этого решения остается вне сферы радиуса $\beta$ (рис. 32).

В самом деле, если это так, то найдется последовательность $t_{1}, t_{3}, \ldots, t_{k}, \ldots \rightarrow+\infty^{1}$ ) такая, что
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}\left(t_{k}\right)=\mathbf{0} .
\]

Отсюда в силу существования бесконечно малого высшего предела функции $V(t, \boldsymbol{x})$ при $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\lim _{k \rightarrow \infty} v\left(t_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} V\left(t_{k}, \boldsymbol{x}\left(t_{k}\right)\right)=0 . \\
\rightarrow T<\infty, \text { то } \\
\lim _{k \rightarrow \infty} x\left(t_{k}\right)=x(T)=0 .
\end{array}
\]
\[
\text { 1) Если бы } t_{k} \rightarrow T<\infty \text {, то }
\]

Огсюда в силу теоремы единственности получим $\boldsymbol{x}(t) \equiv \mathbf{0}$, что противорсчит нашему предположению.

А это противоречит при $\alpha>0$ формуле (4.4.2), так как если $\alpha$ есть предел функции $v(t)$ при $t \rightarrow+\infty$, то для любой последовательности $t_{k} \rightarrow+\infty$ должно быть выполнено условие $v\left(t_{k}\right) \rightarrow x$.

Итак, в случае $a>0$ имеет место неравенство (4.4.3) и, кроме того, можно предполагать, что $\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant h<H$ (в силу устойчивости тривиального решения $\xi=0$ ).

Пусть $W_{1}(\boldsymbol{x})$ – непрерывная положительно определенная функция, удовлетворяющая неравенству
\[
\dot{\Phi}(t)=\dot{V}(t, x) \leqslant-W_{1}(x) .
\]

Такая функция существует, так как согласно условию теоремы $\dot{V}(t, x)$ – отрицательно определенная функция.
Введем обозначение:
\[
\gamma=\inf _{\beta \leqslant i\left|x_{i}\right| \leqslant h} W_{1}(\boldsymbol{x})>0 .
\]

Тогда, интегрируя неравенство (4.4.4) в пределах от $t_{0}$ до $t$ и учитывая, что $\beta \leqslant\|\boldsymbol{x}(\tau)\| \leqslant h$ при $t_{0} \leqslant \tau \leqslant t$, будем иметь
\[
v(t)=v\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} \dot{V}(\tau, \boldsymbol{x}(:)) d \tau \leqslant v\left(t_{0}\right)-\int_{t_{0}}^{t} W_{1}(\tau) d \tau,
\]

или, так как
\[
-W_{1}(\boldsymbol{x}) \leqslant-\gamma \text { при } \beta \leqslant\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h,
\]

то
\[
v(t) \leqslant v\left(t_{0}\right)-\int_{t_{0}}^{t} \gamma d z=v\left(t_{0}\right)-\gamma\left(t-t_{0}\right) .
\]

Из неравенства (4.4.6) получаем, что при $t$ достаточно большом
\[
v(t)=V(t, \boldsymbol{x}(t))<0,
\]

что противоречит положительности функции $V(t, \boldsymbol{x})$.
Итак,
\[
\alpha=\lim _{t \rightarrow \infty} V(t, \boldsymbol{x}(t))=0 .
\]

Покажем теперь, что $\boldsymbol{x}(t) \rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow+\infty$. Действительно, пусть $\varepsilon>0$ произвольно мало и
\[
l=\inf W(x)>0 \text { при } \varepsilon \leqslant\|x\| \leqslant h .
\]

Из формулы (4.4.7) следует, что существует момент $T>t_{0}$ такой, что
\[
V(T, \boldsymbol{x}(T))<l .
\]

Отсюда в силу монотопного убывания функции $V(x, \boldsymbol{x}(t))$ потучаем
\[
V(t, x(t))<l \text { при } t \geqslant T
\]
1. следовательно,
\[
\mid x(t) \|<\varepsilon \text { при } t>T .
\]

Действительно, если для некоторого момента $t_{1}>T$ выполняется противоположное неравенство
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right\| \geqslant \varepsilon,
\]

то, учитывая формулы (4.4.9) и (4.4.8), мы имели бы
\[
l>V\left(t_{1}, \boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right) \geqslant W\left(\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right) \geqslant l,
\]

что, очевидно, невозможно.
Итак, на основании неравенства (4.4.10) имеем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}(t)=\mathbf{0}
\]

что и требовалось доказать.
Следствие 1. В условиях второй теоремь Ляпунова множество $\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h<H \leqslant \infty$ принадлежит области притяжения тривиального решения $\xi=0$.
Следствие 2. Если для линейной однородной системь
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

существует положительно определенная функция $V(t, \boldsymbol{x})$, удовлетворяющая условиям второй теоремь Ляпунова, то каждое решение этой системь асимптотически устойчиво в целом.
П ри ме р. Пусть
\[
V=V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]
– положительно оиределенная функция класса $C^{2}$ такая, что $V(0)=$ $=\frac{\partial V(0)}{\partial x_{1}}=\cdots=\frac{\partial V(0)}{\partial x_{n}}=0$ и $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$.
Рассмотрим систему уравнений (см. [13])
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x_{1}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial x_{1}} \\
\cdots \cdots \cdot \\
\frac{d x_{n}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial x_{n}}
\end{array}\right\}
\]

пмеющую, очевидно, тривиальное решение: $x_{1}=0, \ldots, x_{n}=0$.
Принимая $V$ за функцию Ляпунова для производной $\dot{V}$ но $t$, в силу системы (4.4.11) получим такое выражение:
\[
\dot{V}=-\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\cdots+\left(\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right)^{2}\right] .
\]

Следоватсльно в силу теоремы из $\$ 3$ тривиальное решение $x=0$ системы (4.4.11) устойчиво но Ляпунову пири $t \rightarrow+\infty$.

Устойчивость будет асимптотической, если $\dot{V}$ представляет собой отрицательно определенную функцию. Дла этого необходимо и достаточно, чтобы система
\[
\frac{\partial V}{\partial x_{1}}=0, \ldots, \frac{\partial V}{\partial x_{n}}=0
\]

имела единств енное нулевое решение $x_{1}=0, \ldots, x_{n}=0$ в некоторой окрестности $\|x\|<h$. На основании теории неявных функций для этого лостаточно, чтобы гессиан
\[
\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right)
\]

был отличен от нуля в точке $O$.