Пусть $A=\left[a_{i_{k}}\right]$ – квадратная матрица порядка $n$ и
\[
\left.\Delta(\lambda) \equiv \operatorname{det}(\lambda E-A)=0^{1}\right)
\]
– ее характеристическое или вековое уравнение [4], [5]. В раскрытом виде имеем

Обозначим через $\lambda_{p}(p=1, \ldots, n)$ корни характеристического уравнения (1.6.1) (характеристические корни или собственные значения матрицы $A$ ). Можно доказать (см. приложение), что с помощью преобразования подобия
\[
J=S A S^{-1}
\]
1) Иногда характеристическое уравнение матрицы записывают в эквивалентном виде $\operatorname{det}(A-\lambda E)=0$.

( $\operatorname{det} S
eq 0$ ) матрица $A$ может быть приведена к квазидиагональной форме Жордана
\[
J=\operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] \quad(m \leqslant n),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
J_{p}\left(\lambda_{p}\right)=\left[\begin{array}{ccccc}
\lambda_{p} & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_{p} & 1 & \ldots & 0 \\
\cdot & \cdot & . & . & \cdot \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_{p}
\end{array}\right]=\lambda_{p} E_{e_{p}}+I_{1}^{\left(e_{p}\right)} \\
\left(p=1, \ldots, m ; e_{1} \geqslant 1, \ldots, e_{m} \geqslant 1\right) \\
\end{array}
\]
– так называемые клетки Жордана, причем каждому характеристическому корню $\lambda_{p}$ кратности $\alpha_{p}$ соответствует одна или несколько клеток Жордана размерами $e_{p}^{(1)}, \ldots, e_{p}^{(r)}$ такие, что
\[
e_{p}^{(1)}+\ldots+e_{p}^{(r)}=\alpha_{p}
\]

Легко убедиться, что каждой клетке Жордана $J_{p}\left(\lambda_{p}\right)$ порядка $e_{p}$ с точностью до нулевого скалярного множителя отвечает один и только один собственный вектор матрицы $A$, имеющий в надлежащем базисе вид
\[
x_{p}=\operatorname{colon}\left(0, \ldots, 0, \xi_{p}, 0, \ldots, 0\right),
\]

где $\xi_{p} \in E_{e_{p}}$ и
\[
J_{p}\left(\lambda_{p}\right) \xi_{p}=\lambda_{p} \xi_{p} \quad\left(\xi_{p}
eq 0\right),
\]

причем различным клеткам Жордана соответствуют линейно независимые собственные векторы. Поэтому постоянная $r$, так называемая степень вырождения соответствующего собственного значения $\lambda_{p}$, представляет собой максимальное число линейно независимых собственных векторов матрицы $A$, соответствующих $\lambda_{p}$.

В общем случае $r \leqslant \alpha_{p}$. Если степень вырождения характеристического корня $\lambda_{p}$ равна его кратности, т. е. $r=\alpha_{p}$, то, очевидно, $e_{p}^{(1)}=\ldots=e_{p}^{(r)}=1$. Таким образом, в этом случае все соответствующие клетки Жордана будут содержать по одному элементу (простые клетки).
Так как
\[
\lambda E=S^{-1} \lambda S \quad \text { и } \quad A=S^{-1} J S,
\]

то характеристический полином $\Delta(\lambda)$ (1.6.1) может быть представлеи в виде
\[
\Delta(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda E-J)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{1}} \ldots\left(\lambda-\lambda_{m}\right)^{e} m\left(e_{1}+\ldots+e_{m}=n\right),
\]

где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – характеристические числа матрицы $A$, соответ ствующие различным клеткам Жордана (не обязательно различные между собой).

Множители $\left(\lambda-\lambda_{p}\right)^{e} p(p=1, \ldots, m)$ называются элементарными делителями матрицы $A$, а натуральные числа $e_{p}$ (т. е. размеры (порядки) клеток Жордана) – показателями элементарных делителей, соответствующих характеристическому чиспу $\lambda_{p}$ или линейному множителю $\lambda-\lambda_{p}$.

Если все характеристические числа $\lambda_{p}$ имеют простые элементарные делители ( $e_{p}=1$ ), то матрица Жордана $J$ будет чисто диагонального вида:
\[
J=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_{n}
\end{array}\right]=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right),
\]

причем числа $i_{p}(p=1, \ldots, n)$ не обязательно различны. Это обстоятельство, например, имеет место для симметрической матрицы (см. [4]).

Заметим, что, вообще говоря, характеристические числа $\lambda_{p}-$ комплексные и, следовательно, в общем случае как матрица преобразования $\mathcal{S}$, так и матрица Жордана $J$ имеют комплексные элементы. Если ограничиться действительными преобразованиями, то соответствующая модифицированная матрица Жордана имеет более сложный вид (см. [4]).

Можно доказать, что форма Жордана обладает свойством единственности, т. е. данную матрицу с помощью преобразования подобия (1.6.2) можно привести только к единственной форме Жордана, с точностью до порядка клеток, и, в частности, размеры набора клеток Жордана не зависят от выбора матрицы $S$ (см. [4], [5]). Например, форма Жордана матрицы $A$ будет полностью определена, если упорядочить ее характеристические числа $\lambda_{p}(p=1, \ldots, m)$, а клетки Жордана, соответствующие одному и тому же характеристическому числу, расположить в порядке возрастания их размеров.

Пусть $B \approx A$, т. е. существует неособенная матрица $T(\operatorname{det} T
eq 0$ ) такая, что
\[
B=T A T^{-1}
\]

Отсюда
\[
A=T^{-1} B T \text {. }
\]

Теорема 1. Подобные матрицы имеют одинаковые формы Жордана (с почностью до порядка клеток).

Доказательство. Действительно, из формулы (1.6.3) имеем
\[
\lambda E-A=T^{-1}(\lambda E-B) T \text {, }
\]

отсюда
\[
\operatorname{det}(\lambda E-A)=\operatorname{det} T^{-1} \operatorname{det}(\lambda E-B) \operatorname{det} T=\operatorname{det}(\lambda E-B)
\]

и, следовательно, характеристические полиномы матриц $A$ и $B$, а значит, и их собственные значения $\lambda_{p}(p=1, \ldots, n)$, совпадают между собяй.
Кроме того, если
\[
A=S^{-1} J S,
\]

где $l$-форма Жордана, то
\[
B=T A T^{-1}=T S^{-1} J S T^{-1}=\left(S T^{-1}\right)^{-1} J\left(S T^{-1}\right) .
\]

Таким образом, $J$ есть также форма Жордана матрицы $B$. Следствие. Собственные значения $\lambda_{p}(p=1, \ldots, n)$ матрицы $A$ и ее элементарные делители $\left(\lambda-\lambda_{p}\right)^{e}{ }^{p}(p=1, \ldots, m)$ являются инвариантами для прєобразований подобия (1.6.3).
Отметим еще один полезный результат.
Теорема 2. Верхняя треугольная ( $n \times n$ )-матрица
\[
K(\lambda)=\left[\begin{array}{llll}
\lambda & \gamma_{12} & \cdots & \gamma_{1 n} \\
0 & \lambda & \cdots & \gamma_{2 n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & \ldots & \gamma_{n-1, n} \\
0 & 0 & \ldots & \lambda
\end{array}\right] \equiv \lambda E+\Gamma,
\]

где переый косой ряд отличен от нуля, т. е.
\[
\gamma_{12} \gamma_{23} \cdots \gamma_{n-1, n}
eq 0 \text {, }
\]

подобна соответствующей клетке Жордана
\[
J(\lambda)=\left[\begin{array}{llll}
\lambda & 1 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda & \ldots & 0 \\
. & . & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & \ldots & 1 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda
\end{array}\right] \equiv \lambda E+I_{1} .
\]

Доказательство. Покажем, что существует неособенная матрица $S=\left[s_{j k}\right]$ такая, что
\[
S^{-1}(\lambda E+\Gamma) S=\lambda E+I_{1},
\]

где $I_{1}$ – первый единичный косой ряд (см. § 1), или
\[
\Gamma S=S I_{1} .
\]

Положим
\[
S=\left[\begin{array}{lllll}
s_{11} & s_{19} & \ldots & s_{1, n-1} & 0 \\
0 & s_{22} & \cdots & s_{1, n-1} & 0 \\
. & . & \cdots & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & \ldots & s_{n-1, n-1} & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]

Тогда

U

Приравнивая в силу (1.6.7) соответствующие элементы вторых диагоналей матриц $S I_{1}$ и $\Gamma S$, будем иметь
\[
\left.\begin{array}{r}
s_{11}=\gamma_{12} s_{22}, \\
s_{22}=\gamma_{23} s_{33}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \\
s_{n-1, n-1}=\gamma_{n-1, n} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда, учитывая условие (1.6.5), получим

Приравнивая соответствующие элементы третьих диагоналей матриц $S I_{1}$ и $\Gamma S$, находим
\[
\left.\begin{array}{c}
s_{12}=\gamma_{12} s_{23}+\gamma_{13} s_{33}, \\
s_{Ð 3}=\gamma_{23} s_{34}+\gamma_{24} s_{44}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot s_{n-2, n-1}=\gamma_{n-2, n-1} s_{n-1, n}+\gamma_{n-2, n},
\end{array}\right\}
\]

где $s_{n-1, n}=0$. Отсюда последовательно определяются элементы $s_{j, j+1}(j \geqslant 1)$.

Аналогично находятся все остальные элементы матрицы $S$. Так как на основании (1.6.8) имеем $\operatorname{det} S=s_{11} s_{22} \ldots s_{n-1, n-1}
eq 0$, то матрица- неособенная и, следовательно, теорема доказана.
Следствие 1. Если матрица $A$ имеет вид
\[
A=S^{-1} \operatorname{diag}\left[K_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, K_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S
\]

где $\operatorname{det} S
eq 0$ и $K_{p}\left(\lambda_{p}\right) \quad(p=1, \ldots, m)$ – верхние треугольные матрицы специальной формы
\[
K_{p}\left(\lambda_{p}\right)=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_{p} & \gamma_{12}^{(p)} & \cdots & \gamma_{1 n}^{(p)} \\
0 & \lambda_{p} & \cdots & \gamma_{2 n}^{(p)} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{p}
\end{array}\right],
\]

то числа $\lambda_{p}(p=1, \ldots, m)$ суть собственные значения матрицы $A$, причем если
\[
\gamma_{2}^{(p)} \cdots \gamma_{n-1, n}^{(p)}
eq 0 \quad(p=1, \ldots, m)
\]

по размеры клеток $K_{p}\left(\lambda_{p}\right)$ представляют собой показатели эле,иентарных делителей матрицы $A$.

Следствие 2. Всякую квадратную матрицу А с помощью преобразования подобия
\[
B=S A S^{-1}
\]

можно привести к почти диагональному виду

где $: b_{j k} \leqslant \varepsilon$ при $j
eq k$ и

Действительно, матрица $A$ подобна матрице
\[
J=\operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right],
\]

где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}(m \leqslant n)$ – характеристические корни матрицы $A$ и $J_{p}\left(\lambda_{p}\right)(p=1, \ldots, m)$ – соответствующие клетки Жордана. Так как в силу теоремы 2 имеем
\[
J_{p}\left(\lambda_{p}\right) \propto K_{p}\left(\lambda_{p}\right) \quad(p=1, \ldots, m),
\]

где

то, очевидно, матрица $A$ подобна матрице
\[
B=\operatorname{diag}\left[K_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, K_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] .
\]

обладающей нужным свойством.