Определение 1. Под матрицей $A=\left(a_{j k}\right)$ типа $m \times n$ (или, короче, ( $m \times n$ )-матрицей) понимается система действительных или комплексных чисел (или функций), записанная в виде прямоугольной таблицы:

Числа (функции) $a_{j k}$ называются элементами матрицы $A$, причем первый индекс $j$ есть номер строки, а второй $k$ — номер столбца (см. [1]).
Матрицы
\[
\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{m}
\end{array}\right] \equiv \operatorname{colon}\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)
\]

и
\[
\boldsymbol{y}=\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right]
\]

типа $m \times 1$ и $1 \times n$ называются, соответственно, вектором-столбцом и вектором-строкой.

Матрицу $A=\left(a_{11}\right)$ типа $1 \times 1$ принято отождествлять с числом (скаляром) $a_{11}$.

Если $A$ — квадратная матрица, то под $\operatorname{det} A$ будем понимать ее определитель.
Определение
2. Матрица (1.1.1) называется нулевой и обозначается
\[
A=0 \text {, }
\]

если $a_{j k}=0$ для всех допустимых $j$ и $k(j=1, \ldots, m ; k=1, \ldots, n)$.
Две матрицы $A=\left(a_{j k}\right)$ типа $m \times n$ и $B=\left(b_{j k}\right)$ типа $m^{\prime} \times n^{\prime}$ считаются равными:
\[
A=B,
\]

если 1) они имеют одинаковые типы, т. е. $m^{\prime}=m$ и $n^{\prime}=n$, и 2) $\left.\forall^{1}\right) a_{j k}=b_{j k}$, т. е. каждый элемент матрицы $A$ равен соответствующему элементу матрицы $B$.

Определение 3. Сумма п, соответственно, разность двух матриц $A=\left(a_{j k}\right)$ и $B=\left(b_{j k}\right)$ одинаковых типов определяется формулой
\[
A \pm B=\left(a_{j k} \pm b_{j k}\right) .
\]

Очевидно, имеет место переместительное свойство
\[
A+B=B+A \text {. }
\]

Если $A, B$ и $C$-матрицы одинаковых типов, то по определению полагаем
\[
A+B+C=(A+B)+C,
\]

причем
\[
(A+B)+C=A+(B+C) .
\]

По индукции можно определить сумму любого конечного числа матриц одинаковых типов.

Определение 4. Под произедением матрицы $A=\left(a_{j k}\right)$ на число а понимается матрица
\[
A \alpha=\alpha A=\left(\alpha a_{j k}\right) .
\]

Если $A$ и $B$-матрицы, а $\alpha$ и $\beta$-числа, вообще говоря, комплексные, то очевидны свойства:
1). $(\alpha+\beta) A=\alpha A+\beta A$
2) $\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B$
3) $\alpha(\beta A)=(\alpha \beta) A$;
4) $1 A=A$
5) $0 A=0$.
Матрица
\[
-B \equiv(-1) B=\left(-b_{j k}\right)
\]

называется противоположной для матрицы $B=\left(b_{j k}\right)$. Очевидно, имеем $B+(-B)=0$ и
\[
A-B=A+(-B) .
\]

Заметим, что если $A$ — квадратная матрица порядка $n$, то $\operatorname{det}(\alpha A)=\alpha^{n} \operatorname{det} A$.
^) Символ $\forall$ обозначает «все».

Определение 5. Под произедением матриц $A=\left(a_{j k}\right)$ типа $m \times n$ и $B=\left(b_{j k}\right)$ типа $m^{\prime} \times n^{\prime}$, где $n=m^{\prime}$, понимается матрица
\[
A B=\left(\sum_{s=1}^{n} a_{j s} b_{s k}\right)
\]

типа $m \times n^{\prime}$.
Аналогично, если $m=n^{\prime}$, то
\[
B A=\left(\sum_{j=1}^{m} a_{s k} b_{i s}\right)
\]

есть матрица типа $n \times m^{\prime}$.
Пример.
\[
\left[\begin{array}{ccc}
a_{1} & b_{1} & c_{1} \\
a_{2} & b_{2} & c_{2} \\
a_{3} & b_{3} & c_{3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z \\
a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z \\
a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z
\end{array}\right] .
\]

В общем случае даже для квадратных матриц
\[
A B
eq B A \text {. }
\]

Пример.
\[
\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right],} \\
{\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] .}
\end{array}
\]

Если $A, B, C$ — матрицы и $\alpha$ — число, то справедливы следующие свойства:
1) $(A+B) C=A C+B C$
2) $A(B C)=(A B) C$
3) $\alpha(A B)=(\alpha A) B=A(\alpha B)$.
Из определения 5 следует, чго квадратные матрицы $A=\left(a_{j k}\right)$ и $B=\left(b_{j k}\right)$ допускают перемножение друг на друга в любом порядке тогда и только тогда, когда они одинакового порядка. В этом случае
\[
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A)=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B .
\]

Единичная ( $n \times n$ )-матрица
\[
E_{n}=E \equiv\left(\delta_{j k}\right),
\]

где $\delta_{j k}$-символ Кронекера, т. е.
\[
\delta_{j k}=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если } j=k, \\
0, \text { если } j
eq k,
\end{array}\right.
\]

играет роль единицы при умножении:
\[
E A=A E=A,
\]

где $A$-любая квадратная матрица, одинакового с $E$ порядка.
Определение 6. Матрицу

где
\[
\gamma_{j, j+p}=1 \quad(j=1, \ldots, n-p)
\]

и
\[
\gamma_{j k}=0 \text { при } k-j
eq p(0 \leqslant p \leqslant n-1),
\]

будем называть $p$-м единичным косым рядом (верхним) порядка $n$ (см. [1]).
Очевидно,
\[
I_{0}=E \text {. }
\]

Лемма. Если $I_{p}$ и $I_{q}$ — единичные косые ряды одного и того же порядка $n$, то
\[
I_{p} I_{q}=I_{p+q} \quad \text { npu } \quad 0 \leqslant p+q \leqslant n-1
\]
$u$
\[
I_{p} I_{q}=0 \quad \text { npu } \quad p+q \geqslant n .
\]

Доказательство. Пусть
\[
I_{p}=\left(a_{j k}\right), \quad I_{q}=\left(b_{j k}\right), \quad I_{p} I_{q}=\left(c_{j k}\right) .
\]

Имеем
\[
c_{j k}=\sum_{s} a_{j s} b_{s k} .
\]

Из определения 6 следует, что $c_{i k}$ равно 0 или 1 , причем $c_{j k}=1$ тогда и только тогда, когда для некоторого $s$ имеем
\[
s-j=p, \quad k-s=q .
\]

Отсюда при $p+q<n$ получаем
\[
k-j=p+q \text {. }
\]

Следовательно,
\[
I_{p} I_{q}=I_{p+q} \text { при } 0 \leqslant p+q<n .
\]

Если же $p+q \geqslant n$, то равенства (1.1.2) не могут быть выполнены одновременно. Поэтому
\[
I_{p} I_{q}=0 \text { при } p+q \geqslant n \text {. }
\]
3амечание. Если условно полагать $I_{p}=0$ при $p \geqslant n$, то всегда
\[
I_{p} I_{q}=I_{p+q} \quad(p, q \geqslant 0) .
\]

Следствие. Если $p$ — натуральное число, то
\[
\underbrace{I_{1} \ldots I_{1}}_{p \text { pa3 }}=I_{1}^{p}=I_{p} .
\]

Определение 7. Если $A=\left(a_{j k}\right)$ есть матрица типа $m \times n$, то матрица
\[
A^{T}=\left(a_{k j}\right)
\]

типа $n \times m$ называется mранспонированной по отношению к матрице $A$.
Матрица $A$ называется симметрической, если
\[
A^{T}=A
\]

и кососимметрической, если
\[
A^{T}=-A .
\]

Для матриц $A$ и $B$, допускающих указанные действия, справедливы соотношения:
1) $\left(A^{T}\right)^{T}=A$
2) $(\alpha A+\beta B)^{T}=\alpha A^{T}+\beta B^{T}$ ( $\alpha$ и $\beta-$ числа);
3) $(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$.
Если $A$ — квадратная матрица, то
\[
\operatorname{det} A^{T}=\operatorname{det} A \text {. }
\]

Определение 8. Если $A=\left(a_{j k}\right)$, то матрица
\[
\bar{A}=\overline{\left(a_{j k}\right)}
\]
(где $\overline{a_{j k}}$ — сопряженные величины для $a_{j k}$ ) называется комплексно-сопряюенной для матрицы $A$.
Если $A$ — квадратная матрица, то, очевидно,
\[
\operatorname{det} \bar{A}=\overline{\operatorname{det} \bar{A}} \text {. }
\]

Матрица
\[
A^{*}=\bar{A}^{T} \equiv\left(a_{k j}\right)
\]

называется эрмитово-сопряженной или просто сопряженной для матрицы $A$.
Очевидно, выполнены соотношения:
1) $\left(A^{*}\right)^{*}=A$
2) $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$;
3) $(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$.
Если
\[
A^{*}=A,
\]

то матрица $A$ называется эрмитовой или самосопряженіной.
Действительная матрица $A$ является самосопряженной тогда и только тогда, когда она симметрическая:
\[
A^{T}=A \text {. }
\]

Определение 9. Матрица $A^{-1}$ называется обратной данной матрице $A$, если
\[
A^{-1} A=A A^{-1}=E,
\]

где $E$ — единичная матрица соответствующего порядка.
Из условия (1.1.4) следует, что если матрица $A$ имеет обратную $A^{-1}$, то матрицы $A$ и $A^{-1}$ — квадратные и одного и того же порядка.

Обратная матрица для данной матрицы $A$ единственна. Действительно, если, кроме $A^{-1}$, существует обратная матрица $B$, т. е. $B A=A B=E$, то
\[
B A=A^{-1} A \text {. }
\]

Отсюда, умножая последнее равенство справа на $A^{-1}$, получим
\[
B A A^{-1}=A^{-1} A A^{-1},
\]
T. e.
\[
B=A^{-1} .
\]

Определение 10. Матрица $A$ называется неособенной (несингулярной), если она квадратная и
\[
\operatorname{det} A
eq 0 \text {. }
\]

В противном случае матрица $A$ называется особенной (сингулярной).
Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную.

Доказательство. Пусть $A=\left[a_{j k}\right]$ — неособенная матрица и
\[
A^{S}=\left[A_{j k}\right]^{T} \equiv\left[A_{k j}\right]
\]
— союзная матрица, представляющая собой транспонированную матрицу $\left[A_{j k}\right]$, элементами которой служат алгебраические дополнения $A_{j k}$ элементов $a_{j k}$.
Рассмотрим матрицу
\[
B=\frac{A^{S}}{\operatorname{det} A} .
\]

Согласно известному свойству (см. [2]) имеем
\[
A B=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\sum_{s} a_{i s} A_{k s}\right)=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\delta_{j k} \cdot \operatorname{det} A\right)=E
\]

и
\[
B A=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\sum_{s} a_{s i} A_{s k}\right)=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\delta_{i k} \cdot \operatorname{det} A\right)=E .
\]

Следовательно, на основании формулы (1.1.4) получаем
\[
B=A^{-1} \text {. }
\]

Таким образом,
\[
A^{-1}=\left(\frac{A_{j k}}{\operatorname{det} A}\right)^{T} .
\]

Замечание. Из формулы (1.1.4) вытекает
1) $\operatorname{det} A^{-1}=(\operatorname{det} A)^{-1}$;
2) $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$;
3) если $A$ и $B$ — неособенные матрицы одинакового порядка, то
\[
(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \text {. }
\]

Определение 11. Действительная квадратная матрица $S$, удовлетворяющая условию:
\[
S^{-1}=S^{T},
\]

называется ортогональной.
Из соотношения (1.1.5) получаем
\[
\operatorname{det} S= \pm 1 .
\]

Пример. Если а действительно, то матрица
\[
A=\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha-\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right],
\]

как нетрудно проверить, является ортогональной.

Заметим, что матрица, обратная ортогональной матрице $\mathcal{S}$, есть матрица ортогональная. Действительно,
\[
S^{-1}\left(S^{-1}\right)^{T}=S^{T}\left(S^{T}\right)^{-1}=E .
\]

Таким образом,
\[
S=\left(S^{-1}\right)^{T} .
\]

Определение свойством

называется унитарной.
Очевидно, имеем
\[
U U^{*}=U^{*} U=E .
\]

На основании (1.1.6) выводим
\[
|\operatorname{det} U|=1 \text {. }
\]

Заметим, что если $U$ унитарна, то $U^{-1}$ также унитарна и, следовательно,
\[
\left|\operatorname{det} U^{-1}\right|=1 \text {. }
\]

Определение 13. Под следом $\mathrm{Sp} A$ квадратной матрицы $A=\left[a_{i k}\right]$ понимается сумма всех ее диагональных элементов:
\[
\operatorname{Sp} A=\sum_{j} a_{j j} \text {. }
\]

Очевидно, имеем
\[
\mathrm{Sp} A^{T}=\mathrm{Sp} A
\]

и
\[
\mathrm{Sp}(\alpha A)=\alpha \mathrm{Sp} A \text { ( } \alpha \text { — скаляр) } .
\]

Если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного и того же порядка, то справедливы следующие соотношения:
1) $\mathrm{Sp}(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathrm{Sp} A+\beta \mathrm{Sp} B$ ( $\alpha$ и $\beta-$ числа);
2) $\mathrm{Sp}(A B)=\mathrm{Sp}(B A)$.