Рассмотрим линейную однородную дифференциальную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C\left(I^{+}\right)$. Пусть $t_{0} \in I^{+}$и $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ — решение системы (2.4.1), определяемое начальным условием
\[
\boldsymbol{x}\left(t_{9}\right)=\boldsymbol{x}_{0},
\]

где $\boldsymbol{x}_{0}$ — некоторый вектор-столбец. Для аналитического представления решения $\boldsymbol{x}(t)$ применим метод последовательных приближений в специальной форме. Из уравнения (2.4.1) с учетом (2.4.2) получаем интегральное уравнение
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Заменяя в последнем интеграле $\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)$ суммой
\[
\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t_{1}} A\left(t_{2}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{2}\right) d t_{2},
\]

будем иметь
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{3}}^{t} A\left(t_{1}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) d t_{1}+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} A\left(t_{2}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{2}\right) d t_{2} .
\]

Повторяя этот процесс неограниченное число раз, получим формальное представление решения
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) d t_{1}+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} A\left(t_{2}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{2}\right) d t_{2}+\ldots
\]

или
\[
\boldsymbol{x}(t)=\Omega_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right),
\]

где
\[
Q_{t_{4}}^{t}=E+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) d t_{1}+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} A\left(t_{2}\right) d t_{2}+\ldots
\]

Матрица $Q_{t_{0}}^{t}$ называется матрицантом дифференциальной системы (2.4.1). Покажем, что ряд (2.4.4) сходится абсолютно для всякого $t \in I^{+}$, причем сходимость равномерна на каждом конечном отрезке $[\alpha, \beta] \subset I^{+}$.

Действительно, оценивая члены ряда (2.4.4) по первой норме (см. формулу (1.11.2)), получим ряд
\[
\|E\|+\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left|d t_{1}\right|+\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left|d t_{1}\right| \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\|A\left(t_{3}\right)\right\|\left|d t_{2}\right|+\ldots
\]

Пусть $[\alpha, \beta] \subset\left[t_{0}-A, \quad t_{0}+B\right] \subset I^{+}(A>0, B>0)$ (рис. 6), $C=\max (A, B)$ и $M=\max _{t_{0}-A \leqslant t \leqslant t_{0}+B}\|A(t)\|$.
При $t \in[\alpha, \beta]$ последовательно имеем
\[
\begin{array}{c}
\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left|d t_{1}\right| \leqslant M\left|t-t_{0}\right| ; \\
\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left|d t_{1}\right| \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\|A\left(t_{2}\right)\right\|\left|d t_{2}\right| \leqslant M^{2} \int_{t_{0}}^{t}\left|t_{1}-t_{0}\right|\left|d t_{1}\right| \leqslant \frac{M^{2}}{2 !}\left|t-t_{0}\right|^{2} ;
\end{array}
\]

Так как $\left|t-t_{0}\right| \leqslant C$, то, следовательно, ряд (2.4.5) мажорируется сходящимся знакоположительным рядом
\[
\|E\|+M C+\frac{M^{2} C^{2}}{2 !}+\ldots=\|E\|-1+\exp (M C) .
\]

Отсюда на основании известного признака Вейерштрасса получаем, что знакоположительный функциональный ряд (2.4.5) сходится
Рис. 6.

равномерно на любом отрезке $[2, \beta] \subset I^{+}$. Следовательно, матричный ряд (2.4.4) также сходится абсолютно и равномерно на $[\alpha, \beta]$.

Дифференцируя почленно ряд (2.4.4), получаем равномерно сходящийся на $[x, \beta]$ ряд
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \Omega_{t_{0}}^{t}}{d t}=A(t)+A(t) \int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{2}\right) d t_{3}+ \\
\quad+A(t) \int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{3}\right) d t_{2} \int_{t_{0}}^{t_{2}} A\left(t_{3}\right) d t_{3}+\ldots \equiv A(t) \mathrm{Q}_{t_{0}}^{t} ;
\end{array}
\]

кроме того,
\[
\mathbf{Q}_{t_{0}}^{t_{0}}=E \text {. }
\]

Следовательно, матрицант $Q_{t_{0}}^{t}$ представляет собой нормированную фундаментальную матрицу однородной дифференциальной системы (2.4.1), причем любое решение этой системы $x(t)$ выражается по формуле (2.4.3).

В силу свойства единственности решений линейной дифференциальной системы имеет место тождество
\[
\Omega_{t_{0}}^{t} \equiv K\left(t, t_{0}\right),
\]

где $K\left(t, t_{0}\right)$— матрица Коши.
Формулы (2.4.3) и (2.4.4) впервые были получены итальянским математиком Пеано. На основании теоремы единственности получаем основное свойствоматрицанта
\[
\Omega_{t_{1}}^{t} Q_{t_{0}}^{t_{1}}=\Omega_{t_{0}}^{t} \quad\left(t_{0}, t_{1}, t \in I^{+}\right) .
\]