Пусть $\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}^{: 0+1 i}(Z), Z=\{a<t<\infty,\|\boldsymbol{x}\|<H\}$ и
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, \boldsymbol{x}) \text {, }
\]

есть приведенная система, т. е.
\[
\boldsymbol{X}(t, 0) \equiv \mathbf{0},
\]

очевидно, допускающая тривиальное решение: $\xi=c$.
Положим
\[
\begin{array}{c}
V \equiv V(t, x) \in C_{t \boldsymbol{x}}^{1,1}\left(Z_{0}\right) \\
\left(Z_{0}=\{a<t<\infty ;\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h<H\} \subset Z\right)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
V \equiv V(t, x) \in C_{t \boldsymbol{x}}^{1,1}\left(Z_{0}\right) \\
\left(Z_{0}=\{a<t<\infty ;\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h<H\} \subset Z\right)
\end{array}
\]
\[
\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x})=\operatorname{colon}\left[X_{1}(t, x), \ldots, X_{n}(t, \boldsymbol{x})\right] .
\]

Функцию
\[
\left.\dot{V}(t, \boldsymbol{x})=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} X_{i}(t, \boldsymbol{x}) \equiv \frac{\partial V}{\partial t}+\operatorname{tgrad} V, \boldsymbol{X}\right)
\]

назьвают производной (полной) по времени $t$ функции $V(t, \boldsymbol{x})$ в силу системы (4.3.1).

Если $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ есть решение системы (4.3.1), то $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})$ представляет собой полную производную по времени $t$ сложной функции $V(t, \boldsymbol{x}(t))$, т. е.
\[
\dot{V}(t, x)=\frac{d}{d t} V(t, x(t)) .
\]

Более точно, пусть $(t, \boldsymbol{x}) \in Z_{0}$ и $\boldsymbol{x}(\tau ; t, \boldsymbol{x})$ есть решение системы (4.3.1), определяемое начальными условиями: $\boldsymbol{x}(t ; t, \boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}$. Тогда
\[
\dot{V}(t, \boldsymbol{x})=\left[\frac{d}{d \tau} V(\tau, \boldsymbol{x}(\tau ; t, \boldsymbol{x}))\right]_{t=t} .
\]

Заметим, что если $V(t, \boldsymbol{x}) \bar{\in} C^{\mathbf{1}}$, то из формулы (4.3.3) может не следовать формула (4.3.2). В дальнейшем, если явно не указано противное, мы будем предполагать, что
\[
V(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t \boldsymbol{x}}^{i 1,1 i}\left(Z_{0}\right) .
\]

Если $\dot{V}(t, x)>0$ при $V(t, x)=C$, то интегральные кривые $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ в точках $(t, \boldsymbol{x})$ поверхности $V(t, \boldsymbol{x})=C$ переходят с отрицательной стороны поверхности, характеризуемой нормагью – grad $V$, на положительную ее сторону, определяемую нормалью
$+\operatorname{grad} V$ (рис. 30). При $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})<0$ имеет место обратная картина. Такого рода поверхности $V(t, \boldsymbol{x})=C$ называются поверхностями без контакта для поля интегральных кривых системы (4.3.1).
3амечание. Понятие производной $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})$ в силу системы (4.3.1) можно обобщить (см. [41]). А именно, иногда полагают
\[
\dot{V}(t, \boldsymbol{x})=\varlimsup_{h \rightarrow+0} \frac{1}{h}\{V(t+h, \boldsymbol{x}+h \boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}))-V(t, \boldsymbol{x})\} .
\]

Если $V(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}^{1.11}\left(Z_{0}\right)$, то, очевидно, имеем формулу (4.3.2). Теорема (первая теорема Ляпунова). Если для приведенной системы (4.3.1) существует положительно определенная скалярная функция
\[
V(l, x) \in C_{t x}^{(L)} .\left(Z_{0} \subset Z\right)
\]

допускающая знакоотрицательную производную по времени $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})$ в силу системы, то тривиальное решение $\xi=0(a<t<\infty)$ данной системы устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$.

Доказательство. На основании условия теоремы имеется непрерывная положительно определенная функция $W(\boldsymbol{x})$ такая, что
\[
V(t, \boldsymbol{x}) \geqslant W(\boldsymbol{x})>0 \text { при } \boldsymbol{x}
eq \mathbf{0}
\]

и
\[
V(t, 0)=W(0)=0 .
\]

В пространстве $\mathscr{R}_{x}$ рассмотрим сферу $S_{s}$ :
\[
\|\boldsymbol{x}\|=\varepsilon,
\]

целиком лежащую в $Z_{0}$, где $0<\varepsilon \leqslant h<H$.
Так как сфера $S_{\varepsilon}$ – компактное множество и функция $W(\boldsymbol{x})$ непрерывна и положительна на $S_{\varepsilon}$, то в силу теоремы Вейерштрасса нижняя грань этой функции достигается в некоторой точке $\boldsymbol{x} * \in S_{\varepsilon}$ и, следовательно,
\[
\inf _{x \in S_{z}} W(x)=W\left(x^{*}\right)=\alpha>0 .
\]

Пусть $t_{0} \in(a, \infty)$ произвольно. Функция $V\left(t_{0}, \boldsymbol{x}\right)$ непрерывна по $\boldsymbol{x}$, причем $V\left(t_{0}, \boldsymbol{0}\right)=0$. Следовательно, существует окрестность $\|\boldsymbol{x}\|<\delta<\varepsilon$ такая, что
\[
0 \leqslant V\left(t_{0}, \boldsymbol{x}\right)<\alpha \text { при },\|\boldsymbol{x}\|<\delta .
\]

Рассмотрим любое нетривиальное решение
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)
\]
Рис. 31.
с начальным условием: $\left\|\boldsymbol{x}_{0}\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ (рис. 31). Докажем, что траектория этого решения целиком остается внутри сферы $S_{a}$, т. е.
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|<\varepsilon \quad \text { при } t_{0} \leq t<\infty .
\]

Действительно, при $t=t_{0}$ имеем
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\hat{\alpha}<\varepsilon \text {. }
\]

Пусть неравенство (4.3.9) выполнено не для всех $t \in\left[t_{0}, \infty\right.$ ) и $t_{1}>t_{0}$ – первая точка выхода решения $\boldsymbol{x}(t)$ на границу $\S_{3}$, т. е. $\boldsymbol{x}(t) \|<\varepsilon$ при $t_{0} \leqslant t<t_{1}$ и $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right\|=\varepsilon$. Изучим поведение функции
\[
v(t)=V(t, \boldsymbol{x}(t))
\]

вдоль решения $\boldsymbol{x}(t)$. Так как в силу условия теоремы
\[
v(t)=\frac{d V}{d t} \leqslant 0,
\]

то функция $v(t)$ невозрастающая. Следовательно, учитывая формулы (4.3.7) и (4.3.6), имеем
\[
\text { \% }>V\left(t_{0}, x\left(t_{0}\right)\right) \geqslant V\left(t_{1}, x\left(t_{1}\right)\right) \geqslant W\left(x\left(t_{1}\right)\right) \geqslant x,
\]

что невозможно.
Таким образом, решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ при любом конечном $t \in$ $\in\left[t_{0}, \infty\right)$ остается внутри сферы $S_{s}$ и, так как $\varepsilon<H$, это решение определено при $t_{0} \leqslant t<\infty$ (бесконечно продолжаемо вправо), причем
\[
\| \boldsymbol{x}(t):<\quad \text { при } t_{0} \leqslant t<\infty,
\]

если только $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$. А это и значит (гл. $I$, $\S 1$, определение 1), что тривиальное решение $\xi=0$ устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \frac{1}{1} \infty$.

Следствие 1. При наличи условий первой теоремь Ляпунова все решения $\boldsymbol{x}(t)$ системы (4.3.1) с достаточно мальми по норме начальными значениями $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\left(t_{0} \in(a, \infty)\right.$ ) бесконечно продолжаемы вправо и ограничены на полуоси $\left[t_{0}, \infty\right)$.
Следствие 2. Если для линейной однородной системь
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x \quad\left(A(t) \in C\left[t_{1}, \infty\right)\right)
\]

существует положительно определенная функция $V(t, \boldsymbol{x})$, для которой производная в силу системы $\dot{V}(t, \boldsymbol{x}) \leqslant 0$, то все решения $\boldsymbol{x}(t)$ системы (4.3.10) определеньі и ограничень на полуоси $\left[t_{0}, \infty\right.$ ).