Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим систему дифференциальных уравнений где $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \in C_{t y}^{(0,1)}(Z)$ и $Z=\left\{t_{0} \leqslant t<\infty,\|\boldsymbol{y}\|<H\right\}$. Тогда будем иметь Отсюда, применяя теорему о среднем, получим где $\boldsymbol{r}(t, \tilde{x})=o(\tilde{\boldsymbol{x}})$ при $\tilde{\boldsymbol{x}} \rightarrow \mathbf{0}$ равномерно по $t$ на каждом конечном отрезке $\left[t_{0}, t_{0}+T\right](T>0)$. Линейная система представляющая линеаризированную систему (4.18.3), называется уравненияли в вариациях (см. [35], [28]) для системы (4.18.1) относительно ее решения $\boldsymbol{\eta}(t)$ (система первого приближения). то ее уравнения в вариациях совпадают с соответствующей однородной системой Лемма. Если система (4.18.1) автономная и $\eta=\eta(t)$ есть ее решение, то является решением ее уравнений в вариациях. будем иметь что и доказывает утверждение леммы. Теорема Ляпунова. Если все характеристические показатели $\lambda_{j}$ уравнения в вариациях для данного периодического решения $\boldsymbol{\eta}(t)$ имеют отрицательные вещественные части, то это периодическое решение асимптотически устойчиво при $t \rightarrow \infty$. Доказательство (см. [28]). Согласно теории Флоке (гл. III, $\S 15$ ) система (4.18.4) имеет нормированную фундаментальную матрицу вида где $\Phi(t)$ – $\omega$-периодическая матрица и $\Lambda$ – постоянная матрица, причем характеристические показатели $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ являются собственными значениями матрицы $\Lambda$. Тогда, учитывая, что будем иметь или где Отсюда на основании теоремы Ляпунова для квазилинейных систем ( $§ 10$ ) заключаем, что тривиальное решение $\boldsymbol{z}=\mathbf{0}$ системы (4.18.7) асимптотически устойчиво, что в силу формулы (4.18.6) эквивалентно асимптотической устойчивости периодического решения $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)$.
|
1 |
Оглавление
|