Определение 1. Совокупность II всех п. п. функций $f(x)$, где $x \in(-\infty, \infty)$, будем называть пространством п. п. функций.

Если $f(x), g(x) \in \Pi$ и $\alpha, \beta$ – любые комплексные числа, то $\alpha f(x)+\beta g(x) \in$ II. Поэтому пространство П линейное.

Если $f(x), g(x) \in \Pi$, то сопряженная функция $\overline{g(x)} \in \Pi$ и $f(x) \overline{g(x)} \in$ II (§2). Следовательно, существует среднее значение
\[
M\{f(x) \overline{g(x)}\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{0}^{T} f(x) \overline{g(x)} d x .
\]

Определение 2. Под скалярным произведением функции $f(x), g(x) \in \Pi$ понимается число
\[
(f, g)=M\{f(x) \overline{g(x)}\} .
\]

Из формулы (7.1) следует, что для скалярного произведения $(f, g)$ выполнены обычные свойства:
1) $(f, f)=M\left\{|f(x)|^{2}\right\} \geqslant 0$, причем $(f, f)=0$ тогда и только тогда, когда $f(x) \equiv 0$;
2) $(g, f)=(\overline{f, g)}$;
3) $(x f, g)=\alpha(f, g),(f, \alpha g)=\bar{\alpha}(f, g)$ ( $\alpha$ – комплексиое число);
4) $\left(f_{1}+f_{2}, g\right)=\left(f_{1}, g\right)+\left(f_{2}, g\right),\left(f, g_{1}+g_{2}\right)=\left(f, g_{1}\right)+\left(f, g_{2}\right)$ $\left(f_{j}, g_{j} \in \Pi, j=1,2\right)$.

Определение 3. Под нормой функции $f(x) \in$ II понимается неогрицательное число
\[
\|f\|=\sqrt{(f, f)}=\left[M\left\{|f(x)|^{2}\right\}\right]^{\frac{1}{2}} .
\]

Введенная норма (определение 3) обладает всеми обычными свойствами нормы:
1) для $\forall f(x) \in \Pi$ имеем $\|f(x)\| \geqslant 0$, причем $\|f(x)\|=0$ тогда и только тогда, когда $f(x) \equiv 0$ (в силу теоремы 3 из § 6);
2) $\|\alpha . f(x)\|=|\alpha|\|f(x)\|$, в частности, $\|-f(x)\|=\|f(x)\|$;
3) для $\forall f(x), g(x) \in \Pi$ справедливо неравенство
\[
\|f(x)+g(x)\| \leqslant\|f(x)\|+\|g(x)\| .
\]

Действительно, при любом $T$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x)+g(x)|^{2} d x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}[f(x)+g(x)][\overline{f(x)}+\overline{g(x)} \mid d x= \\
=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x)|^{2} d x+\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left\lvert\, g(x)^{2} d x+\frac{2}{T} \int_{0}^{T} \operatorname{Re}\lfloor f(x) \overline{g(x)}] .\right.
\end{array}
\]
Так как
\[
|\operatorname{Re}[f(x) \overline{g(x)}]| \leqslant|f(x) \overline{g(x)}| \leqslant|f(x)||g(x)|,
\]

то в силу неравенства Коши – Буняковского (см. [51.1) находим
\[
\left\{\int_{0}^{T} \operatorname{Re}[f(x) \overline{g(x)}] d x\right\}^{2} \leqslant \int_{0}^{T}|f(x)|^{2} d x \int_{0}^{T}|g(x)|^{2} d x .
\]

Следовательно,
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x)+g(x)|^{2} d x \leqslant\left\{\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x)|^{2} d x}+\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|g(x)|^{2} d x}\right\}^{2} .
\]

Переходя к пределу при $T \rightarrow \infty$ в последнем неравенстве, очевидно, получим неравенство (7.3).

Если $f(x), g(x) \in I$, то, как обычно, вводим расстояние $\rho(f, g)$, полагая
\[
p(f, g)=\|f(x)-g(x)\| \equiv \sqrt{M\left\{|f(x)-g(x)|^{2}\right\}} .
\]

Из свойств нормы следует, что если $f(x), g(x), h(x) \in \Pi$, то
1) $p(f, g) \cong 0$, причем $p(f, g)=0$ тогда и только тогда, когда $f(x) \equiv g(x)$;
2) $p(f, g)=p(g, f)$ (симметрия);
3) $p(f, g) \leqslant p(f, h)+p(h, g)$ (неравенство треугольника).
Следовательно, пространство п. п. функций П представляет собой линейное метрическое пространство (см. гл. V, § 5).

Определение 4. Две функции $f(x), g(x) \in$ I называются ортогональными, если
\[
(f, g) \equiv M\{f(x) \overline{g(x)}\}=0 .
\]

Функция $f(x) \in \Pi$ называется нормированной, если $\|f(x)\|=1$, т. е.
\[
(f, f)=1 .
\]

Рассмотрим континуальную систему чистых колебаний $e_{\lambda}=e^{i \lambda x}$, где $\lambda$ – произвольное действительное число ( $-\infty<\lambda<\infty$ ). Очевидно,
\[
\left|e^{i \lambda x}\right|=|\cos \lambda x+i \sin \lambda x|=1,
\]

причем при $\lambda
eq 0$ функция $e^{i \lambda x}$ имеет период
\[
T_{\lambda}=\frac{2 \pi}{|\lambda|} \text {. }
\]

Лемма. Совоктпность чистых колебаний $\left\{e^{i, x}\right\}$ образует ортогональную и нормированныю систему, короче, ортонормированную систему, в пространстве почти периодиеских функций II, $m . e$.
\[
\left(e^{i \lambda x}, e^{i !+x}\right)=\delta_{\lambda, \mu},
\]

где $\delta_{\lambda_{\mu}}$-символ Кронекера:
\[
\delta_{\lambda \mu}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \lambda
eq \mu \\
1, & \lambda=\mu .
\end{array}\right.
\]

Доказательство. Имеем
\[
\left(e^{i \lambda x}, e^{i \mu x}\right)=M\left\{e^{i \lambda x} e^{i \overline{i \mu} x}\right\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{i(\lambda-\mu) x} d x .
\]

Так как
\[
\int_{0}^{T} e^{i(\lambda-\mu\} x} d x=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{e^{i(i-\mu) T}}{\lambda-i}, & \text { если } \lambda
eq \mu ; \\
T & \text {, если } \lambda=\mu,
\end{array}\right.
\]

то из формулы (7.5) вытекает соотношение (7.4).