Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=4(t) x
\]
– однородная система, где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$. Рассмотрим фундаментальную матрицу $X(t)=\left[x_{j k}(t)\right]$, элементы которой, вообще говоря, комплексные.

Лемма. Всякую фундаментальную матрицу $X(t)$ ложно представить в виде произведения непрерывно дифференцируемых унитарной матрицы $U(t)$ и верхней треугольной матрицы $R(t)$ с положительными диагональными элементами, $m$. $e$.
\[
X(t)=U(t) R(t),
\]
$2 \partial e$
\[
\begin{array}{c}
U^{*}(t) U(t)=E, \\
R(t)=\left[r_{j k}(t)\right], \quad r_{j j}(t)>0, \quad r_{j k}(t)=0 \quad \text { при } \quad k>j .
\end{array}
\]

Доказательство. Для доказательства применим известный метод ортогонализации Шмидта.
Пусть
\[
x^{(k)}=\operatorname{colon}\left[x_{1 k}(t), \ldots, x_{n k}(t)\right] \quad(k=1, \ldots, n)
\]
– решения, входящие в фундаментальную матрицу $X(t)$.

Положим
\[
\begin{array}{l}
\xi^{(1)}=x^{(1)}, \\
\xi^{(2)}=x^{(2)}-\left(x^{(2)}, e^{(1)}\right) e^{(1)}, \\
e^{(1)}=\frac{\xi^{(1)}}{\left\|\xi^{(1)}\right\|} \\
e^{(2)}=\frac{\xi^{(2)}}{\left\|\xi^{(2)}\right\|} ; \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\xi^{(n)}=x_{n}^{(n)}-\sum_{s=1}^{n-1}\left(x^{(n)}, e^{s)}\right) e^{(s)}, \quad e^{(n)}=\| \frac{\xi^{(n)}}{\xi^{(n+} \|} \cdot \\
\end{array}
\]

Так как решения $\boldsymbol{x}^{(k)}(k=1, \ldots, n)$ линейно независимы, то приведенная конструкция всегда возможна. Нетрудно проверить, что вектор-функции $\boldsymbol{e}^{(s)}$ образуют ортонормированную систему
\[
\left(e^{(s)}, e^{(r)}\right)=\delta_{s r} .
\]

Из соотношений (3.14.3) получаем
\[
\begin{array}{l}
x^{(1)}=\left\|\xi^{(1)}\right\| e^{(1)}, \\
x^{(2)}=\left(x^{(2)}, e^{(1)}\right) e^{(1)}+\left\|\xi^{(2)}\right\| e^{(2)}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\boldsymbol{x}^{(n)}=\sum_{s=1}^{n-1}\left(x^{(n)}, e^{(s)}\right) e^{(s)}+\left\|\xi^{(n)}\right\| e^{(n)} . \\
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
X(t)=U(t) R(t),
\]

где
\[
U(t)=\left[e^{(1)}, \ldots, e^{(n)}\right] \equiv\left[e_{s r}\right]
\]

ท

Пусть
\[
U^{*}(t)=\left[\bar{e}_{r s}\right]
\]
– эрмитово-сопряженная матрица для $U(t)$. Учитывая соотношения (3.14.4), имеем
\[
U(t) U^{*}(t)=\left[\sum_{j} e_{s j} \dot{e}_{r j}\right]=\left[\delta_{s r}\right\rfloor=E .
\]

Таким образом, матрица $U(t)$ унитарная. Кроме того, из вида треугольной матрицы $R(t)$ непосредственно вытекает, что ее диагональные элементы положительны: $r_{j j}=\| \xi^{(j)} \mid$. Очевидно,
\[
U(t), R(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right) \text {. }
\]

Лемма доказана.
3амечание. Если матрица $X(t)$ вещественная, то матрица $U(t)$ действительная и ортогональная, а треугольная матрица $R(t)$ действительная.

Теорема Перрона (см. [26]). Всякую линейную однородную систему (3.14.1) с помощью унитарного преобразования $\boldsymbol{x}=U(t) \boldsymbol{y}$ можно привести к системе с верхней треугольной матрицей, диагональные коэффициенты которой вещественны:
\[
\frac{d y}{d t}=B(t) y,
\]

дде $B(t)=\left\lfloor b_{j k}(t)\right\rfloor, b_{j k}(t)=0$ npu $j>k$ и $\operatorname{Im} b_{j j}(t)=0$.
Eсли матрица $A(t)$ ограничена на $\left[t_{0}, \infty\right)$, то треугольные матричь $B(t)$ и $\dot{U}(t)$ также ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right)$.

Доказательство. Для доказательства используем способ Винограда (см. [27]). Положим
\[
\boldsymbol{x}=U(t) \boldsymbol{y},
\]

где $U(t)$ – унитарная матрица, определяемая формулой (3.14.2). Имеем
\[
\frac{d x}{d t}=U(t) \frac{d y}{d t}+\dot{U}(t) y .
\]

Следовательно, система (3.14.1) примет вид
\[
d y=B(t) y,
\]

где
\[
B(t)=U^{-1}(t) A(t) U(t)-U^{-1}(t) \dot{U}(t) .
\]

С другой стороны, на основании формулы (3.14.6) для фундаментальной матрицы $X(t)$ однородной системы (3.14.1) имеем
\[
X(t)=U(t) Y(t),
\]

где $Y(t)$ – фундаментальная матрица системы (3.14.7), т. е.
\[
\dot{Y}(t)=B(t) Y(t) .
\]

Сопоставляя формулы (3.14.2) и (3.14.8), находим
\[
Y(t)=R(t) \text {, }
\]

где $R(t)$ – верхняя треугольная матрица. Из формулы (3.14.9), учитывая, что производная и обратная матрицы треугольной суть также треугольные матрицы того же типа, выводим:
\[
B(t)=\dot{Y}(t) Y^{-1}(t)=\dot{R}(t) R^{-1}(t)=R_{1}(t),
\]

где $R_{1}(t)$– верхняя треугольная матрица.
Так как
\[
[R(t)]_{j j}=\left\|\xi^{(j)}\right\|
\]
(см. лемму), то из формулы (3.14.10) следует вещественность диагональных коэффициентов
\[
\left.b_{j j}(t)=\frac{d}{d t}\left\|\xi^{(j)}\right\| \cdot \frac{1}{\| \xi^{(j)} i \mid}=\frac{d}{d t} \ln \right\rvert\, \xi^{(j)} \| \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Выразим теперь матрицу $B(t)$ через матрицу $A(t)$. Прежде всего, заметим, что матрица $U^{-1}(t) \dot{U}(t)$ эрмитово-кососимметрическая. Действительно, учитывая унитарность матрицы $U(t)$, имеем
\[
\begin{array}{l}
{\left[U^{-1}(t) \dot{U}(t)\right]^{*}=\dot{U}^{*}(t)\left[U^{*}(t)\right]^{-1}=\frac{d}{d t}\left[U^{-1}(t)\right] \cdot U(t)=} \\
=-U^{-1}(t) \dot{U}(t) U^{-1}(t) U(t)=-U^{-1}(t) \dot{U}(t) . \\
\end{array}
\]

Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы $U^{-1}(t) \dot{U}(t)$ чисто мнимые. Пусть
\[
\tilde{A}(t)=U^{-1}(t) A(t) U(t) \equiv\left[\tilde{a}_{j k}(t)\right] .
\]

Так как матрица $B(t)=\left[b_{j k}(t)\right]$ – верхняя треугольная с вещественной диагональю, то, полагая $V(t)=U^{-1}(t) \dot{U}(t) \equiv\left[v_{j k}(t)\right]$, из формулы (3.14.7) будем иметь
\[
\left.\begin{array}{lll}
v_{j j}(t)=i \operatorname{Im} \tilde{a}_{j j}(t), & & \\
v_{j k}(t)=\tilde{a}_{j k}(t) & \text { при } & j>k, \\
v_{j k}(t)=-\tilde{a}_{k j} & \text { при } & j<k .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно,
\[
\left.\begin{array}{rl}
b_{j j}(t) & =\operatorname{Re} \tilde{a}_{j j}(t), \\
b_{j k}(t) & =0 \quad \text { при } \quad j>k, \\
b_{j k}(t) & =\tilde{a}_{j k}(t)+\overline{\tilde{a}}_{k_{i}}(t) \quad \text { при } j<k .
\end{array}\right\}
\]

Если матрица $A(t)$ ограничєна, то матрица $\tilde{A}(t)$, очевидно, также ограничена; отсюда на основании формул (3.14.12) и (3.14.13) вытекает ограниченность матриц $\dot{U}(t)$ и $B(t)$.

Замечание. Если матрица $A(t)$ действительная, то матрицу $U(t)$ можно выбрать действительной и ортогональной.

Следствие 1. Если система (3.14.1) правильная, то треугольная система (3.14.5) также правильная.
Действительно, пусть $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – спектр системы (3.14.1) и
\[
\sum_{j} x_{j}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Из формулы (3.14.7) получаем
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{ReSp} B(t)= \\
\quad=\operatorname{ReSp}\left[U^{-1}(t) A(t) U(t)\right]-\operatorname{ReSp}\left[U^{-1}(t) \dot{U}(t)\right]=\operatorname{ReSp} A(t) .
\end{array}
\]

Отсюда, учитывая, что при унитарном преобразовании характеристические числа решений сохраняются, будем иметь
\[
\sum_{j} \alpha_{j}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{3}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} B\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

что и доказывает правильность системы (3.14.7).
Следствие 2. Если минеинная система (3.14.1) правильная, то для каждого ее нетривиального решения $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ существует строгий характеристический показатель ([26])
\[
x=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \|x(t)\| .
\]

Пусть решение $\boldsymbol{x}(t)$ включено в фундаментальную систему $X(t)$ и $\boldsymbol{x}(t) \equiv \boldsymbol{x}^{(1)}(t)$. Тогда на основании теоремы Ляпунова о правильности треугольной системы (§13) и формулы (3.14.11) имеем
\[
\begin{aligned}
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} b_{11}\left(t_{1}\right) d t_{1}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \frac{d}{d t_{1}} \ln \left\|\xi^{(1)}\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} & = \\
& =\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left\|\xi^{(1)}(t)\right\| .
\end{aligned}
\]

Но по способу построения функций $\xi^{(k)}(t)$ (см. лемму) $\xi^{(1)}(t)=$ $=\boldsymbol{x}^{(1)}(t)=\boldsymbol{x}(t)$. Следовательно, существует
\[
x=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \|x(t)\|,
\]

что и требовалось доказать.