Теорема 1. Для каждой почти периодической функции $f(x)$ существует конечное среднее значение
\[
M\{f\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x .
\]

Доказательство (см. [66]). 1) Выведем сначала оценку для смещенного интеграла
\[
\int_{a}^{a+1} f(x) d x .
\]

Пусть $\varepsilon>0$ произвольно и $l=l_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4}\right)$ – длина, соответствуюцая числу $\frac{\varepsilon}{4}$. Пусть, далее, $\tau=\tau_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4}\right) \in[a, a+l]$ почти период
Рис. 58.

функции $f(x)$ с точностью до $\frac{\varepsilon}{4}$ (рис. 58). Имеем
\[
\begin{array}{l}
\int_{a}^{a+T} f(x) d x-\int_{0}^{T} f(x) d x= \\
=\left[\int_{\tau}^{\tau+T} f(x) d x-\int_{0}^{T} f(x) d x\right]+\int_{\tau+T}^{a+T} f(x) d x+\int_{a}^{\tau} f(x) d x=. \\
=\int_{0}^{T}[f(x+\tau)-f(x)] d x-\int_{a+T}^{\tau+T} f(x) d x+\int_{a}^{\tau} f(x) d x .
\end{array}
\]

Отсюда, учитывая, что
\[
|f(x+\tau)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{4}
\]

и
\[
0 \leqslant \tau-a \leqslant l,
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
\left|\int_{a}^{a+T} f(x) d x-\int_{0}^{T} f(x) d x\right| \leqslant \int_{0}^{T}|f(x+\tau)-f(x)| d x+ \\
+\int_{a+T}^{\tau+T}|f(x)| d x+\int_{a}^{\tau}|f(x)| d x<\frac{\varepsilon}{4} T+2 l \Gamma,
\end{array}
\]

где $\Gamma=\sup _{x}|f(x)|$.
2) Покажем, что последоватєльность
\[
\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x \quad(n=1,2, \ldots)
\]

имеет предел при $n \rightarrow \infty$.

Для этого применим критерий Коши. А именно, для любых натуральных чисел $n$ и $m$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x-\frac{1}{m} \int_{0}^{m} f(x) d x\right|= \\
=\left\lvert\,\left\{\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x-\frac{1}{n m} \int_{0}^{n m} f(x) d x\right\}+\right. \\
\left.+\left\{\frac{1}{n m} \int_{0}^{n m} f(x) d x-\frac{1}{m} \int_{0}^{m} f(x) d x\right\}\left|\leqslant \frac{1}{n m}\right| m \int_{0}^{n} f(x) d x-\int_{0}^{n} f(x) d x \right\rvert\,+ \\
+\frac{1}{n m}\left|\int_{0}^{n m} f(x) d x-n \int_{0}^{m} f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{n m} \sum_{k=1}^{m}\left|\int_{0}^{n} f(x) d x-\int_{0}^{k n} f(x) d x\right|+ \\
+\frac{1}{n m} \sum_{k=1}^{n}\left|\int_{(k-1) m}^{n m} f(x) d x-\int_{0}^{m} f(x) d x\right| .
\end{array}
\]

Отсюда, используя формулы (6.1), получим
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x-\frac{1}{m} \int_{0}^{m} f(x) d x\right| \leqslant \\
\quad \leqslant \frac{1}{n m} \cdot m\left(\frac{\varepsilon}{4} n+2 l \Gamma\right)+\frac{1}{n m} \cdot n\left(\frac{\varepsilon}{4} m+2 l \Gamma\right)=\frac{\varepsilon}{2}+2 l \Gamma\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right) .
\end{array}
\]

Выбирая теперь $N$ столь болышим, чтобы
\[
N>\frac{8 l \Gamma}{\varepsilon},
\]

при $n, m>N$ будем иметь
\[
\left|\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x-\frac{1}{m} \int_{0}^{m} f(x) d x\right|<\varepsilon .
\]

Следовательно, критерий Коши выполнен и, таким образом, существует
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x
\]
3) Теперь нетрудно доказать: что
\[
M\{f\}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x .
\]

Действительно, полагая
\[
T=n+q,
\]

где $n$ – натуральное число и $0 \leqslant q<1$, и учитывая ограниченность выражения $\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x$, при $T \rightarrow \infty$ будем иметь
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x-\frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x) d x=\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{n}\right) \int_{0}^{n} f(x) d x+\frac{1}{T} \int_{n}^{T} f(x) d x= \\
=-\frac{q}{T} \cdot \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f(x)+\frac{1}{T} \int_{0}^{o} f(n+x) d x=0\left(\frac{1}{T}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда непосредственно вытекае? равенство (6.2).
Теорема о среднем доказана.
Теорема 2 (усиленная теорема о среднем). Для всякой почти периодической функции $f(x)$ равномерно по параметру $a \in(-\infty, \infty)$ имеет место предельное соотношение
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{a}^{T} f(x) d x \equiv M\{f(x+a)\}=M\{f(x)\} .
\]

Доказательство. Из формулы (6.1) при любом а имеем
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{a}^{a} f(x) d x-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{4}+\frac{2 i \mathrm{~T}}{T},
\]

где $l=l_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4}\right)$ и $\Gamma=\sup _{x}|f(x)|$.
Отсюда, в частности, получаем
\[
\begin{array}{c}
\left|\frac{1}{T} \int_{(
u-1, T}^{
u} f(x) d x-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{4}+\frac{2 l \Gamma}{T} \\
(
u=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Следовательно, для среднего арифметического
\[
\frac{1}{n} \sum_{v=1}^{n}\left\{\frac{1}{T} \int_{(v)}^{v} f(x) d x-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x\right\}=\frac{1}{n T} \int_{0}^{n T} f(x) d x-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x
\]

также будем иметь
\[
\left|\frac{1}{n T} \int_{0}^{n T} f(x) d x-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{4}+\frac{2 l \Gamma}{T} .
\]

Іереходя к пределу в последнем неравенстве при $n \rightarrow \infty$, в силу существования среднего значения $M\{f(x)\}$ находим
\[
\left|M\{f(x)\}-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{4}+\frac{2 l \Gamma}{T} .
\]

Из неравенств (6.4) и (6.5) выводим
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{a}^{a+t^{T}} f(x) d x-M\{f(x)\}\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}+\frac{4 l T}{T}<\varepsilon,
\]

если только
\[
T>\frac{8 l \Gamma}{\varepsilon} .
\]

А это и значит, что
\[
\frac{1}{T} \int_{a}^{a+T} f(x) d x \rightarrow \underset{a}{\rightarrow} M\{f(x)\} \quad \text { при } T \rightarrow \infty .
\]

Следствие 1. При любом $a=a(T)$ имеем
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{a(T)}^{a(T)+T} f(x) d x=M\{f(x)\} .
\]

Действительно, из формулы (6.6) находим
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{a(T)}^{a(T)+T} f(x) d x-M\{f(x)\}\right|<\varepsilon
\]

при $T>\frac{8 l \Gamma}{\varepsilon}$. А это,. очевидно, эквивалентно формуле (6.6).
Следствие 2. Полагая $a(T)=-T$ в формуле (6.7), получим
\[
M\{f(x)\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{0} f(x) d x=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 T} \int_{-T}^{T} f(x) d x .
\]

Среднее значение п. п. фуюкции $f(x)$ обладает следующими очевидными свойствами:
1) если $f(x)=c=$ const, то $M_{\{c\}}=c$;
2) $M\{f(x)\} \geqslant 0 \quad$ при $f(x) \geqslant 0, \quad M\{\overline{f(x)}\}=\overline{M\{f(x)}\}$;
3) $M\{f(x-a)\}=\{f(x)\}$
( $a$ – произвольное действительное число);
4) $M\{f(a x+b)\}=M\{f(x)\}$
( $a
eq 0$ и $b$-произвольные действительные числа);

5) $M\{x f(x)+\beta g(x)\}=x M\{f(x)\}+\beta M\{g(x)\}$, в частности,
\[
M\{\alpha f(x)\}=\mathcal{M} M\{f(x)\}
\]
( $f(x)$ и $g(x)$ – п. п. функции, д. и $\beta$-произвольные комплексные числа);
6) $|M\{f(x)\}| \leqslant M\{|| f(x) \mid\} \leqslant \sup _{x}|f(x)|$
7) если $f_{n}(x) \quad(n=1,2, \ldots)-$ – п. п. функции и
\[
f_{n}(x) \underset{x}{\rightarrow} f(x) \text { на }(-\infty, \infty) \text {, }
\]

то
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} M\left\{f_{n}(x)\right\}=M\{f(x)\} .
\]

Действительно, при $n>N(\varepsilon)$ имеем
\[
\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon .
\]

Поэтому
\[
\left|M\left\{f_{n}(x)\right\}-M\{f(x)\}\right| \leqslant M\left\{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\right\} \leqslant M\{\varepsilon\}=\varepsilon
\]

и, значит, справедлива формула (6.8).
В частности, для равномерно сходящегося на $(-\infty, \infty)$ ряда $\sum_{n} \varphi_{n}(x)$ п. п. функций $\varphi_{n}(x)$ имеем
\[
M\left\{\sum_{n} \varphi_{n}(x)\right\}=\sum_{n} M\left\{\varphi_{n}(x)\right\} .
\]

Если $f(x)$ – п. п. функция, то $|f(x)|$ является также п. п. функцией (см. §1). Следовательно, существует
\[
M\{|f(x)|\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x)| d x .
\]

Очевидно, $\quad M\{|f(x)|\} \geqslant 0, \quad$ причем $\quad M\{0\}=0$. Докажем, что $M\{|f(x)|\}=0$ тогда и только тогда, когда $f(x) \equiv 0$. С этой целью докажем следующее предложение.
Теорема 3. Если почти периодическая функция $f(x)
eq 0$, то
\[
M\{|f(x)|\}>0 .
\]

Доказательство. Пусть
\[
\left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant x>0 \text {. }
\]

В силу известного свойства п. т. функции ( 1 , замечание) существует число $l>0$ такое, что каждый отрезок $[(k-1) l, k l]$

$\left(k=1,2, \ldots\right.$ ) длины $l$ содержит гочку $\xi_{k}=x_{0}+\tau\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, которая $\frac{\alpha}{2}$-конгруэнтна точке $x_{0}$, т. е.
\[
\begin{array}{l}
\left|f\left(\xi_{k}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\frac{\alpha}{2} \\
(k=1,2, \ldots) \text {. Отсюда } \\
\left|f\left(\xi_{k}\right)\right|=\left|f\left(x_{0}\right)-\left\{f\left(x_{0}\right)-f\left(\xi_{k}\right)\right\}\right| \geqslant \\
\geqslant\left|f\left(x_{0}\right)\right|-\left|f\left(x_{0}\right)-f\left(\xi_{k}\right)\right|>\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2} . \\
\end{array}
\]

На основании свойства равномерной непрерывности п. п. функции $f(x)\left(\S 2\right.$, теорема 2) сущес вует $\delta=\delta\left(\frac{\alpha}{4}\right)>0\left(\delta<\frac{l}{2}\right)$ такое, чTO
\[
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\frac{a}{4} \text { при }\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| \leqslant \delta .
\]

Поэтому на каждом отрезке $[(k-1) l, k l]$ найдется правый или левый подотрезок $I_{k}=\left[\xi_{k}, \xi_{k}+\Delta\right] \subset[(k-1) l, k l]$, где $\Delta= \pm \delta$
Рис. 59.
(рис. 59), для любой точки которого $x \in\left[\xi_{k}, \xi_{k}+\Delta\right]$ справедливо неравенство
\[
\left|f(x)-f\left(\xi_{k}\right)\right|<\frac{\alpha}{4} .
\]

Следовательно,
\[
|f(x)| \geqslant\left|f\left(\xi_{k}\right)\right|-\left|f\left(\xi_{k}\right)-f(x)\right|>\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{4}=\frac{\alpha}{4}
\]

при $x \in\left[\xi_{k}, \xi_{k}+\Delta\right] \quad(k=1,2, \ldots)$. Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{n l} \int_{0}^{n l}|f(x)| d x=\frac{1}{n l} \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) l}^{k l}|f(x)| d x \geqslant \\
\geqslant \frac{1}{n l} \cdot \sum_{k=1}^{n} \int_{I_{k}}|f(x)| d x>\frac{1}{n l} \cdot n \cdot \frac{\alpha}{4} \hat{\delta}=\frac{\alpha \grave{ }}{4 l} .
\end{array}
\]

Переходя в этом неравенстве к иределу при $n \rightarrow \infty$, будем иметь
\[
M\{\mid f(x)\} \geqslant \frac{a \hat{\delta}}{4 \bar{l}}>0,
\]

что и требовалось доказать.
Следствие. Длякаждой почти периодической функции $f(x)
eq 0$ выполнено неравенство
\[
M\left\{|f(x)|^{2}\right\}>0 .
\]

Замечание. Отметим еще одно свойство среднего значения, которое нам понадобится в дальнейшем. А именно, если $f_{n}(x)$ $(n=1,2, \ldots)$ – п. п. функции и
\[
f_{n}(x) \underset{x}{\rightarrow} f(x) \text { при } n \rightarrow \infty,
\]

то
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} M\left\{\left|f_{n}(x)\right|^{2}\right\}=M\left\{|f(x)|^{2}\right\} .
\]

Действительно, из условия (6.9) получаем, что $f(x)$ – п. п. функция (§ 4) и
\[
\left|f_{n}(x)-f_{-}(x)\right|<\varepsilon \text { при } n>N_{\varepsilon}(0<\varepsilon \leqslant 1) .
\]

Отсюда находим
\[
\left|f_{n}(x)\right|<|f(x)|+\varepsilon \leqslant \sup ^{\prime} f(x) \mid+1=\Gamma_{1} \text { при } n>N_{1} .
\]

Следовательно, при $n>\stackrel{x}{N_{\varepsilon}}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\|\left|f_{n}(x)\right|^{2}-|f(x)|^{2} \mid= \\
\quad=|| f_{n}(x)|-| f(x)|| \cdot|| f_{n}(x)|+| f(x)|| \leqslant \\
\quad \leqslant\left|f_{n}(x)-f(x)\right| 2 \Gamma_{1}<2 \Gamma_{1} \cdot \varepsilon .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\left|f_{n}(x)\right|^{2} \underset{\boldsymbol{x}}{\rightarrow}|f(x)|^{2} \text { при } n \rightarrow \infty .
\]

А так как $\left|f_{n}(x)\right|^{2}$ и $|f(x)|^{2}$ – п. п. функции, то на основании свойства 7) справедливо соотношение (6.10).

Полезно отметить, что если $f(x)$ и $g(x)$ – п. п. функции, то среднее значение их произведения удовлетворяет обобщенному неравенству Коии – Буняковскозо:
\[
|M\{f(x) g(x)\}|^{2} \leqslant M\left\{|f(x)|^{2}\right\} M\left\{|g(x)|^{2}\right\} .
\]

Действительно, при любом $T>0$ имеем
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) g(x) d x\right|^{2} \leqslant \frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x)|^{2} d x \frac{1}{T} \int_{0}^{T}|g(x)|^{2} d x .
\]

Отсюда, переходя к иределу при $T \rightarrow \infty$, получим неравенство (6.11).