Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений
\[
\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{y}(\tau) d \tau\left(t \geqslant t_{0}\right),
\]

где
\[
\boldsymbol{y}(t)=\operatorname{colon}\left[y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right]
\]
– искомый $n$-вектор;
\[
\boldsymbol{f}(t)=\operatorname{colon}\left[f_{1}(t), \ldots, f_{n}(t)\right] \in C\left[t_{0}, \infty\right)
\]

一 известный $n$-вектор; $K(t, \tau)=\left[K_{j k}(t, \tau)\right], Q(\tau)=\left[Q_{j k}(\tau)\right]-$ непрерывные ( $n \times n$ )-матрицы;
\[
\boldsymbol{a}=\operatorname{colon}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)
\]
– постоянный $n$-вектор с координатами $t_{0} \leqslant T \leqslant a_{j} \leqslant+\infty$ $(j=1, \ldots, n), T$ – некоторое достаточно большое число.
Для краткости положим,
\[
j \in \mathrm{I}, \quad \text { если } a_{j}<+\infty,
\]

и
\[
j \in \mathrm{II}, \text { если } a_{j}=+\infty \text {. }
\]

Тогда систему (5.6.1) можно записать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
y_{j}(t)=f_{j}(t)+\int_{\alpha_{j}}^{t} \sum_{k, s} K_{j k}(t, z) Q_{k s}\left(\ddot{)} y_{s}(\tau) d \tau \quad(j \in \mathrm{I}),\right. \\
y_{j}(t)=f_{j}(t)-\int_{i}^{\infty} \sum_{k, s} K_{j s}(t, \tau) Q_{k s}(\tau) y_{s}(\tau) d \tau \quad(j \in \mathrm{I}) . \\
\end{array}
\]

Будем считать переменные $t$ и г действительными, а матрицы $K(t, \tau)$ и $Q(\tau)$, вообще говоря, комплексными.

Теорема. Пусть матрица $K(t, \tau)=\left[K_{j k}(t, \tau)\right]$ uмеет непрерывные ограниченные элементы $K_{j k}(t, \tau)$ в каждой из областей
\[
\omega_{j}=\{t \in[T, \infty), \tau \in[T, t]\} \text { при } j \in I
\]
$u$
\[
\omega_{j}=\{t \in[T, \infty), \tau \in[t, \infty)\} n p a \quad j \in I
\]
(рис. 52), а матрица $Q(\tau)$ непрерывна и абсолютно интегрируема на $\left[t_{0}, \infty\right)$, причем вектор-функция $f(\tau)$ непрерывна и ограничена на $\left[t_{0}, \infty\right)$. Тогда если $T$ достаточно велико, система интегральных уравнений (5.6.1) при $t_{0} \leqslant T \leqslant l<\infty$ допускает единственное непрерывное ограниченное решіение $y(t)$.
Доказательство. Пусть $R$ – совокупность всех ограниченных вектор-функций $\varphi(t) \in C[T, \infty)$, где $T \geqslant t_{0}$. Расстояние между функциями $\varphi(t)$, $\psi(t) \in R$ определим формулой $\rho(\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\Psi})=\sup _{T \leqslant t<\infty}\|\boldsymbol{\varphi}(t)-\boldsymbol{\psi}(t)\|$.

Тогда $R$ будет представлять полное метрическое пространство (§5, примеры 2 и 3).
В $R$ рассмотрим линейный олератор
\[
A \boldsymbol{\varphi}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{a}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{\varphi}(\tau) d \tau \quad(T \leqslant t<\infty) .
\]

Если считать, что значения $\tau$ берутся из соответствующей области $\omega_{j}(j \in \mathrm{I}, \mathrm{II})$, то матрица $K(t, \tau)$ в силу условия теоремы является ограниченной, т. е.
\[
\|K(t, \tau)\| \leqslant c<\infty .
\]

Гоэтому для $\|f\| \leqslant c_{1}<\infty$ и $\|\varphi\| \leqslant c_{2}<\infty$, учитывая, что $\left[a_{j}, t\right] \subset[T, \infty]$, в силу формулы (5.6.3) и абсолютной интегрируемости матрицы $Q(\tau)$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\|A \boldsymbol{\varphi}(t)\| \leqslant\|\boldsymbol{f}(t)\|+\int_{T}^{\infty}\|K(t, \tau)\|\|(\tau)\|\|\boldsymbol{\varphi}(t)\| d \tau \leqslant \\
\leqslant c_{1}+c c_{2} \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\|_{1} d \tau \leqslant c_{3}<\infty . \\
\end{array}
\]

Нетрудно убедиться также, что $A \varphi(t) \in C[T, \infty)$. Следовательно, если $\varphi \in R$, то $A \varphi \in R$.

Покажем, что отображение $A \varphi$ сжатое. В самом деле, для $\varphi \in R$ и $\boldsymbol{\Psi} \in R$ имеем
\[
A \boldsymbol{\varphi}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{\varphi}(\tau) d \tau
\]

и
\[
A \boldsymbol{\psi}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{\Psi}(\tau) d \tau .
\]

Отсюда
\[
A \varphi(t)-A \Psi(t)=\int_{a}^{\infty} K(t, \tau) Q(\tau)[\varphi(\tau)-\Psi(\tau)] d \tau
\]

и, следовательно,
\[
\begin{array}{r}
\|A \varphi(t)-A \Psi(t)\| \leqslant \int_{T}^{\infty}\|K(t, \tau)\|\|Q(\tau)\|\|\varphi(\tau)-\Psi(\tau)\| d \tau \leqslant \\
\leqslant c \sup _{t}\|\varphi(t)-\boldsymbol{\psi}(t)\| \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\| d \tau .
\end{array}
\]

В силу абсолютной интегрируемости матрицы $Q(\tau)$ число $T$ можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство
\[
c \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\| d \tau=q<1 .
\]

Тогда из неравенства (5.6.5) получим
\[
\sup _{t}\|A \varphi(t)-A \Psi(t)\| \leqslant q \sup _{t}\|\varphi(t)-\Psi(t)\|,
\]
т. е.
\[
p(A \varphi, A \psi) \leqslant q_{p}(\varphi, \psi),
\]

где $0 \leqslant q<1$. Таким образом, отображение является сжатым.

Согласно принципу сжатых отображений ( $\$ 5$ ) в $R$ существует единственное решение $\boldsymbol{y}(t)(T \leqslant t<\infty)$ уравнения
\[
A \varphi=\varphi,
\]
т. е. система интегральных уравнений (5.6.1) допускает единственное непрерывное решение $y(t)$, ограниченное на промежутке $[T, \infty)$.
Теорема доказана.
3амечание. Решение $y(t)$ может быть найдено обычным методом последовательных приближений:
\[
\begin{aligned}
y_{0}(t) & =\boldsymbol{f}(t), \\
y_{p}(t) & =\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{y}_{p-1}(\tau) d \tau \\
& (p=1,2, \ldots),
\end{aligned}
\]

где
\[
y_{p}(t) \underset{t}{\rightrightarrows} y(t) \text { на }[T, \infty) \text {. }
\]