Главная > ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ (Б. П. ДЕМИДОВИЧ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений
\[
\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{y}(\tau) d \tau\left(t \geqslant t_{0}\right),
\]

где
\[
\boldsymbol{y}(t)=\operatorname{colon}\left[y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right]
\]
– искомый $n$-вектор;
\[
\boldsymbol{f}(t)=\operatorname{colon}\left[f_{1}(t), \ldots, f_{n}(t)\right] \in C\left[t_{0}, \infty\right)
\]

一 известный $n$-вектор; $K(t, \tau)=\left[K_{j k}(t, \tau)\right], Q(\tau)=\left[Q_{j k}(\tau)\right]-$ непрерывные ( $n \times n$ )-матрицы;
\[
\boldsymbol{a}=\operatorname{colon}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)
\]
– постоянный $n$-вектор с координатами $t_{0} \leqslant T \leqslant a_{j} \leqslant+\infty$ $(j=1, \ldots, n), T$ – некоторое достаточно большое число.
Для краткости положим,
\[
j \in \mathrm{I}, \quad \text { если } a_{j}<+\infty,
\]

и
\[
j \in \mathrm{II}, \text { если } a_{j}=+\infty \text {. }
\]

Тогда систему (5.6.1) можно записать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
y_{j}(t)=f_{j}(t)+\int_{\alpha_{j}}^{t} \sum_{k, s} K_{j k}(t, z) Q_{k s}\left(\ddot{)} y_{s}(\tau) d \tau \quad(j \in \mathrm{I}),\right. \\
y_{j}(t)=f_{j}(t)-\int_{i}^{\infty} \sum_{k, s} K_{j s}(t, \tau) Q_{k s}(\tau) y_{s}(\tau) d \tau \quad(j \in \mathrm{I}) . \\
\end{array}
\]

Будем считать переменные $t$ и г действительными, а матрицы $K(t, \tau)$ и $Q(\tau)$, вообще говоря, комплексными.

Теорема. Пусть матрица $K(t, \tau)=\left[K_{j k}(t, \tau)\right]$ uмеет непрерывные ограниченные элементы $K_{j k}(t, \tau)$ в каждой из областей
\[
\omega_{j}=\{t \in[T, \infty), \tau \in[T, t]\} \text { при } j \in I
\]
$u$
\[
\omega_{j}=\{t \in[T, \infty), \tau \in[t, \infty)\} n p a \quad j \in I
\]
(рис. 52), а матрица $Q(\tau)$ непрерывна и абсолютно интегрируема на $\left[t_{0}, \infty\right)$, причем вектор-функция $f(\tau)$ непрерывна и ограничена на $\left[t_{0}, \infty\right)$. Тогда если $T$ достаточно велико, система интегральных уравнений (5.6.1) при $t_{0} \leqslant T \leqslant l<\infty$ допускает единственное непрерывное ограниченное решіение $y(t)$.
Доказательство. Пусть $R$ – совокупность всех ограниченных вектор-функций $\varphi(t) \in C[T, \infty)$, где $T \geqslant t_{0}$. Расстояние между функциями $\varphi(t)$, $\psi(t) \in R$ определим формулой $\rho(\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\Psi})=\sup _{T \leqslant t<\infty}\|\boldsymbol{\varphi}(t)-\boldsymbol{\psi}(t)\|$.

Тогда $R$ будет представлять полное метрическое пространство (§5, примеры 2 и 3).
В $R$ рассмотрим линейный олератор
\[
A \boldsymbol{\varphi}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{a}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{\varphi}(\tau) d \tau \quad(T \leqslant t<\infty) .
\]

Если считать, что значения $\tau$ берутся из соответствующей области $\omega_{j}(j \in \mathrm{I}, \mathrm{II})$, то матрица $K(t, \tau)$ в силу условия теоремы является ограниченной, т. е.
\[
\|K(t, \tau)\| \leqslant c<\infty .
\]

Гоэтому для $\|f\| \leqslant c_{1}<\infty$ и $\|\varphi\| \leqslant c_{2}<\infty$, учитывая, что $\left[a_{j}, t\right] \subset[T, \infty]$, в силу формулы (5.6.3) и абсолютной интегрируемости матрицы $Q(\tau)$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\|A \boldsymbol{\varphi}(t)\| \leqslant\|\boldsymbol{f}(t)\|+\int_{T}^{\infty}\|K(t, \tau)\|\|(\tau)\|\|\boldsymbol{\varphi}(t)\| d \tau \leqslant \\
\leqslant c_{1}+c c_{2} \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\|_{1} d \tau \leqslant c_{3}<\infty . \\
\end{array}
\]

Нетрудно убедиться также, что $A \varphi(t) \in C[T, \infty)$. Следовательно, если $\varphi \in R$, то $A \varphi \in R$.

Покажем, что отображение $A \varphi$ сжатое. В самом деле, для $\varphi \in R$ и $\boldsymbol{\Psi} \in R$ имеем
\[
A \boldsymbol{\varphi}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{\varphi}(\tau) d \tau
\]

и
\[
A \boldsymbol{\psi}(t)=\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{\Psi}(\tau) d \tau .
\]

Отсюда
\[
A \varphi(t)-A \Psi(t)=\int_{a}^{\infty} K(t, \tau) Q(\tau)[\varphi(\tau)-\Psi(\tau)] d \tau
\]

и, следовательно,
\[
\begin{array}{r}
\|A \varphi(t)-A \Psi(t)\| \leqslant \int_{T}^{\infty}\|K(t, \tau)\|\|Q(\tau)\|\|\varphi(\tau)-\Psi(\tau)\| d \tau \leqslant \\
\leqslant c \sup _{t}\|\varphi(t)-\boldsymbol{\psi}(t)\| \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\| d \tau .
\end{array}
\]

В силу абсолютной интегрируемости матрицы $Q(\tau)$ число $T$ можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство
\[
c \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\| d \tau=q<1 .
\]

Тогда из неравенства (5.6.5) получим
\[
\sup _{t}\|A \varphi(t)-A \Psi(t)\| \leqslant q \sup _{t}\|\varphi(t)-\Psi(t)\|,
\]
т. е.
\[
p(A \varphi, A \psi) \leqslant q_{p}(\varphi, \psi),
\]

где $0 \leqslant q<1$. Таким образом, отображение является сжатым.

Согласно принципу сжатых отображений ( $\$ 5$ ) в $R$ существует единственное решение $\boldsymbol{y}(t)(T \leqslant t<\infty)$ уравнения
\[
A \varphi=\varphi,
\]
т. е. система интегральных уравнений (5.6.1) допускает единственное непрерывное решение $y(t)$, ограниченное на промежутке $[T, \infty)$.
Теорема доказана.
3амечание. Решение $y(t)$ может быть найдено обычным методом последовательных приближений:
\[
\begin{aligned}
y_{0}(t) & =\boldsymbol{f}(t), \\
y_{p}(t) & =\boldsymbol{f}(t)+\int_{\boldsymbol{a}}^{t} K(t, \tau) Q(\tau) \boldsymbol{y}_{p-1}(\tau) d \tau \\
& (p=1,2, \ldots),
\end{aligned}
\]

где
\[
y_{p}(t) \underset{t}{\rightrightarrows} y(t) \text { на }[T, \infty) \text {. }
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru