Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений
$$\mathit{y}(t)=\mathit{f}(t)+{\int }_{\mathit{a}}^{t}K(t,\tau )Q(\tau )\mathit{y}(\tau )d\tau (t⩾t_0),$$

где
$$\mathit{y}(t)=\mathrm{colon}[y_1(t),\dots ,y_n(t)]$$
— искомый $n$-вектор;
$$\mathit{f}(t)=\mathrm{colon}[f_1(t),\dots ,f_n(t)]\in C[t_0,\mathrm{\infty })$$

一 известный $n$-вектор; $K(t,\tau )=[K_{jk}(t,\tau )],Q(\tau )=[Q_{jk}(\tau )]-$ непрерывные ( $n\times n$ )-матрицы;
$$\mathit{a}=\mathrm{colon}(a_1,\dots ,a_n)$$
— постоянный $n$-вектор с координатами $t_0⩽T⩽a_j⩽+\mathrm{\infty }$ $(j=1,\dots ,n),T$ — некоторое достаточно большое число.
Для краткости положим,
$$j\in \mathrm{I},\text{ если }{a}_j<+\mathrm{\infty },$$

и
$$j\in \mathrm{II},\text{ если }{a}_j=+\mathrm{\infty }\text{. }$$

Тогда систему (5.6.1) можно записать в следующем виде:
$$\begin{array}{l}{y}_j(t)=f_j(t)+{\int }_{{\alpha }_j}^t\sum _{k,s}{K}_{jk}(t,z)Q_{ks}(\ddot{)}{y}_s(\tau )d\tau (j\in \mathrm{I}),\\ y_j(t)=f_j(t)-{\int }_i^{\mathrm{\infty }}\sum _{k,s}{K}_{js}(t,\tau )Q_{ks}(\tau )y_s(\tau )d\tau (j\in \mathrm{I}).\end{array}$$

Будем считать переменные $t$ и г действительными, а матрицы $K(t,\tau )$ и $Q(\tau )$, вообще говоря, комплексными.

Теорема. Пусть матрица $K(t,\tau )=[K_{jk}(t,\tau )]$ uмеет непрерывные ограниченные элементы $K_{jk}(t,\tau )$ в каждой из областей
$${\omega }_j=\{t\in [T,\mathrm{\infty }),\tau \in [T,t]\}\text{ при }j\in I$$
$u$
$${\omega }_j=\{t\in [T,\mathrm{\infty }),\tau \in [t,\mathrm{\infty })\}npaj\in I$$
(рис. 52), а матрица $Q(\tau )$ непрерывна и абсолютно интегрируема на $[t_0,\mathrm{\infty })$, причем вектор-функция $f(\tau )$ непрерывна и ограничена на $[t_0,\mathrm{\infty })$. Тогда если $T$ достаточно велико, система интегральных уравнений (5.6.1) при $t_0⩽T⩽l<\mathrm{\infty }$ допускает единственное непрерывное ограниченное решіение $y(t)$.
Доказательство. Пусть $R$ — совокупность всех ограниченных вектор-функций $\phi (t)\in C[T,\mathrm{\infty })$, где $T⩾t_0$. Расстояние между функциями $\phi (t)$, $\psi (t)\in R$ определим формулой $\rho (\mathit{\phi },\mathbf{\Psi })=\underset{T⩽t<\mathrm{\infty }}{sup}\Vert \mathit{\phi }(t)-\mathit{\psi }(t)\Vert$.

Тогда $R$ будет представлять полное метрическое пространство (§5, примеры 2 и 3).
В $R$ рассмотрим линейный олератор
$$A\mathit{\phi }(t)=\mathit{f}(t)+{\int }_a^{t}K(t,\tau )Q(\tau )\mathit{\phi }(\tau )d\tau (T⩽t<\mathrm{\infty }).$$

Если считать, что значения $\tau$ берутся из соответствующей области ${\omega }_j(j\in \mathrm{I},\mathrm{II})$, то матрица $K(t,\tau )$ в силу условия теоремы является ограниченной, т. е.
$$\Vert K(t,\tau )\Vert ⩽c<\mathrm{\infty }.$$

Гоэтому для $\Vert f\Vert ⩽c_1<\mathrm{\infty }$ и $\Vert \phi \Vert ⩽c_2<\mathrm{\infty }$, учитывая, что $[a_j,t]\subset [T,\mathrm{\infty }]$, в силу формулы (5.6.3) и абсолютной интегрируемости матрицы $Q(\tau )$ имеем
$$\begin{array}{l}\Vert A\mathit{\phi }(t)\Vert ⩽\Vert \mathit{f}(t)\Vert +{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert K(t,\tau )\Vert \Vert (\tau )\Vert \Vert \mathit{\phi }(t)\Vert d\tau ⩽\\ ⩽c_1+c{c}_2{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert Q(\tau ){\Vert }_{1}d\tau ⩽c_3<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Нетрудно убедиться также, что $A\phi (t)\in C[T,\mathrm{\infty })$. Следовательно, если $\phi \in R$, то $A\phi \in R$.

Покажем, что отображение $A\phi$ сжатое. В самом деле, для $\phi \in R$ и $\mathbf{\Psi }\in R$ имеем
$$A\mathit{\phi }(t)=\mathit{f}(t)+{\int }_{\mathit{a}}^{t}K(t,\tau )Q(\tau )\mathit{\phi }(\tau )d\tau$$

и
$$A\mathit{\psi }(t)=\mathit{f}(t)+{\int }_{\mathit{a}}^{t}K(t,\tau )Q(\tau )\mathbf{\Psi }(\tau )d\tau .$$

Отсюда
$$A\phi (t)-A\mathrm{\Psi }(t)={\int }_a^{\mathrm{\infty }}K(t,\tau )Q(\tau )[\phi (\tau )-\mathrm{\Psi }(\tau )]d\tau$$

и, следовательно,
$$\begin{array}{r}\Vert A\phi (t)-A\mathrm{\Psi }(t)\Vert ⩽{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert K(t,\tau )\Vert \Vert Q(\tau )\Vert \Vert \phi (\tau )-\mathrm{\Psi }(\tau )\Vert d\tau ⩽\\ ⩽c\underset{t}{sup}\Vert \phi (t)-\mathit{\psi }(t)\Vert {\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert Q(\tau )\Vert d\tau .\end{array}$$

В силу абсолютной интегрируемости матрицы $Q(\tau )$ число $T$ можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство
$$c{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\Vert Q(\tau )\Vert d\tau =q<1.$$

Тогда из неравенства (5.6.5) получим
$$\underset{t}{sup}\Vert A\phi (t)-A\mathrm{\Psi }(t)\Vert ⩽q\underset{t}{sup}\Vert \phi (t)-\mathrm{\Psi }(t)\Vert ,$$
т. е.
$$p(A\phi ,A\psi )⩽q_p(\phi ,\psi ),$$

где $0⩽q<1$. Таким образом, отображение является сжатым.

Согласно принципу сжатых отображений ( $\mathrm{\$}5$ ) в $R$ существует единственное решение $\mathit{y}(t)(T⩽t<\mathrm{\infty })$ уравнения
$$A\phi =\phi ,$$
т. е. система интегральных уравнений (5.6.1) допускает единственное непрерывное решение $y(t)$, ограниченное на промежутке $[T,\mathrm{\infty })$.
Теорема доказана.
3амечание. Решение $y(t)$ может быть найдено обычным методом последовательных приближений:
$$\begin{array}{rl}{y}_0(t)& =\mathit{f}(t),\\ y_p(t)& =\mathit{f}(t)+{\int }_{\mathit{a}}^{t}K(t,\tau )Q(\tau ){\mathit{y}}_{p-1}(\tau )d\tau \\ & (p=1,2,\dots ),\end{array}$$

где
$$y_p(t)\underset{t}{\rightrightarrows }y(t)\text{ на }[T,\mathrm{\infty })\text{. }$$