Пусть линейная дифференциальная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
с ограниченной действительной матрицей $A(t) \in C\left[t_{\theta}, \infty\right)$ имеет спектр
\[
-\infty<x_{1}<\ldots<x_{m}<+\infty \quad(m \leqslant n) .
\]
Обозначим через $X(t)=\left(x_{j k}(t)\right)$ ее фундаментальную матрицу, где первый индекс $j$, как всегда, обозначает номер координаты, а второй $k$ – номер решения, и пусть
\[
\sigma_{X}=\sum_{k=1}^{n} \chi\left[\boldsymbol{x}^{(k)}\right]=\sum_{s=1}^{m} n_{s} x_{s}
\]
– сумма характеристических показателей всех решений из $X(t)$, где число $n_{s}\left(n_{s} \geqslant 1\right)$ показывает, сколько решений с характеристическим показателем $\alpha_{s}$ содержится в системе $X(t)$.
Рассмотрим определитель Вронского
\[
W(t)=\operatorname{det} X(t) .
\]
Развертывая определитель $W(t)$, согласно обычным правилам, будем иметь
\[
W(t)=\sum_{\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)}(-1)^{x} x_{p_{1} 1}(t) \ldots x_{p_{n} n}(t),
\]
где сумма (3.7.2) распространена на все перестановки $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right.$ ) из $n$ элементов $1, \ldots, n$ и (-1) – сигнатура перестановки, равная +1 , если перестановка четная, и – 1 , если перестановка нечетная. Используя теоремы о характеристических показателях суммы и произведения (§1) и учитывая равенство (3.7.2), получим
\[
\chi[W(t)] \leqslant \max _{\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)}\left\{\chi\left[x_{p_{1} 1}(t)\right]+\cdots+\chi\left[x_{p_{n^{n}}}(t)\right]\right\} \leqslant \sigma_{X} .
\]
С другой стороны, на основании формулы Остроградского – Лиувилля (гл. II, §3) имеем
\[
W(t)=W\left(t_{0}\right) \exp \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} ;
\]
поэтому
\[
\chi[W(t)]=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |W(t)|=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Отсюда на основании неравенствє (3.7.4) получаем неравенство Ляпунова
\[
\sigma_{X}=\sum_{k=1}^{m} n_{k} \alpha_{k} \geqslant \overline{\lim }_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \mathrm{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Так как матрица $A(t)$ ограничена, то, очевидно,
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Следовательно,
\[
\sigma_{X} \geqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Таким образом, для линейной однородной дифференциальной системы с непрерьвной ограниченной матрицей сумма характеристических показателей решений из любой ее фундаментальной системы $X$ не меньше верхнего прдела от сьеднего значения следа матрицы системы. В частности, неравенство (3.7.5) справедливо для нормальной фундаментальной системы $X$, где сумма $\sigma_{X}$ имеет наименьшее значение. ство Ляпунова (3.7.5), очевидно, имеет вид
\[
\sigma_{X} \geqslant \overline{\varlimsup i m}_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Приведем достаточное условие нормальности фундаментальной системы решений.
Теорема. Если для фундаментальной сцстемь решений $X(t)$ линейной однородной дифференциальной системь с матрицей $A(t)$ выполнено равенство Ляпунова
\[
\sigma_{X}=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]
то эта система нормальная.
Доказательство. Действительно, если система $X$ пс явдля которой
\[
\sigma_{Z}<\sigma_{X}=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{\imath}\right) d t_{1},
\]
что противоречит неравенству Ляпунова (3.7.6).
3 амечание. Существуют нормальные фундаментальные системы, для которых не выполнено равенство Ляпунова.
П риме р. Пусть
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y[\sin (\ln t)+\cos (\ln t)], \\
\frac{d y}{d t}=x[\sin (\ln t+\cos (\ln t)] \\
(1 \leqslant t<\infty) .
\end{array}\right\}
\]
Тогда получаем
\[
\left.\begin{array}{c}
x+y=2 c_{1} e^{t \sin (\ln t)}, \\
x-y=2 c_{2} e^{-t_{\sin }(\ln t)},
\end{array}\right\}
\]
где $c_{1}$ и $c_{2}$ – произвольные постоянные. Отсюда
\[
\left.\begin{array}{l}
x=c_{1} e^{t \sin (\ln t)}+c_{2} e^{-t \sin (\ln t)} \\
y=c_{1} e^{t \sin (\ln t)}-c_{2} e^{-t \sin (\ln t)}
\end{array}\right\}
\]
Так как при $\left|c_{1}\right|+\left|c_{2}\right|
eq 0$ имеем
\[
\chi[x]=\chi[y]=1,
\]
то любая фундаментальная система $X=\{x, y\}$ является нормальной и
\[
\sigma_{X}=2 \text {. }
\]
Однако для матришы $A(t)$ системы (3.7.9), очевидно, имеем
\[
A(t)=\left[\begin{array}{cc}
0 & \sin (\ln t)+\cos (\ln t) \\
\sin (\ln t)+\cos (\ln t) & 0
\end{array}\right] .
\]
Отсюда
и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{Sp} A(t)=0 \\
\sigma_{X}>\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{1}^{t} \mathrm{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} . \\
\end{array}
\]
