Рассмотрим нелинейную дифференциальную систему
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x)
\]
где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}$ — искомый действительный ( $n \times 1$ )-вектор, $t \in I_{t}=\{-\infty, \infty\}$ и $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ — данный $(n \times 1)$-вектор.
Предположим, что
1) $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}), \in C\left(I_{t} \times A_{x}\right)$,
где $A_{x}$ — область действительного евклидова пространства $\mathscr{R}_{x}^{n}$, причем $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}$ ) равномерно непрерывна по $\boldsymbol{x}$ на каждом замкнутом подмножестве $I_{t} \times \bar{B}_{x}$, где $\bar{B}_{x} \subset A_{x}$ — компакт (т. е. ограниченное замкнутое множество) (рис. 65);
2) $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ почти периодична по $\boldsymbol{t}$ равномерно по $\boldsymbol{x}$ на любом $\bar{B}_{x} \subset A_{x}$.
В этом случае в силу теоремы существования [11] для любых начальных данных $t_{0} \in I_{t}$ и $\boldsymbol{x}_{0} \in A_{\boldsymbol{x}}$ будет существовать решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ системы $S_{t}$ такое, что $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}$ (вообще говоря, не единственное).
Рис. 65. Из условия 1) и 2) вытекает, что $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ ограничена на каждом множестве $I_{t} \times \vec{B}_{\boldsymbol{x}}$. Действительно, пусть $\varepsilon>0$ фиксировано и $\delta=\bar{\delta}(\varepsilon)$ — соответствующее положительное число, определяемое на основе равномерной непрерывности по $x$ вектор-функции $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ на $I_{t} \times \bar{B}_{x}$. Для каждой точки $\boldsymbol{x} \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ построим сферу $S_{\delta}(\boldsymbol{x})$. Из бесконечного покрытия $_{x \in \bar{B}_{x}} S_{i}(\boldsymbol{x}) \supset \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ выберем конечное подпокрытие
\[
\bigcup_{k=1}^{N} S_{\delta}\left(x_{k}\right) \supset \bar{B}_{x} .
\]
Так как вектор-функции $\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{x}_{k}\right)(k=1, \ldots, N)$ почти периодические по $t$, то они ограничены (§2), и пусть
\[
\Gamma_{\varepsilon}=\max _{k}\left\|\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{x}_{k}\right)\right\| .
\]
Для любой точки $\boldsymbol{x} \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ найдется сфера $S_{\hat{\delta}}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \supset \boldsymbol{x}$. Поэтому
\[
\|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})\| \leqslant\left\|\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{x}_{k}\right)\right\|+\left\|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{x}_{k}\right)\right\|<\Gamma_{\boldsymbol{e}}+\varepsilon,
\]
т. е. $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ ограничена на $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$.
Пусть $\left\{h_{p}\right\}$ — произвольная последовательность действительных чисел. Так как вектор-функция $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ почти периодична по $t$,
то в силу обобщенной теоремы Бохнера (§16) для каждого $\boldsymbol{x} \in A_{\boldsymbol{x}}$ существует подпоследовательность $\left\{h_{q}\right\}(q=q(p)$ ) такая, что последовательность $\left\{\boldsymbol{f}\left(t+h_{q}, \boldsymbol{x}\right)\right\}$ сходится равномерно по $t$ на оси $-\infty<t<\infty$. В силу условий 1) и 2) на множестве $C=I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ число $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ для равномерной непрерывности по $t$ векторфункции $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ можно выбрать не зависящим от точки $(t, \boldsymbol{x})$, а длина $l=l$ ( $)>0$ для почти периодической вектор-функции $\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{x}_{0}\right)\left(\boldsymbol{x}_{0} \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}\right)$ может быть ззята не зависящей от точки $\boldsymbol{x}_{0}$. Поэтому, выбирая на множестве $C$ всюду плотное множество точек $\left(t_{r}, \boldsymbol{x}_{r}\right)$ ( $\left.r=1,2, \ldots\right)$, по аналогии с доказательством обобщенной теоремы Бохнера (§16) легко доказать, что существует последовательность $\left\{h_{r}\right\}$, для которой последовательность $\left\{\boldsymbol{f}\left(t+h_{r}, \boldsymbol{x}\right)\right\}$ сходится при $r \rightarrow \infty$ равномерно по совокупности переменных $(t, \boldsymbol{x})$ на $C=I_{t} \times \bar{B}_{x}$, где $\bar{B}_{x}$ — данный компакт.
Более того, полагая
\[
A_{x}=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bar{B}_{x}^{(k)}, \quad \bar{B}_{x}^{(k)} \subset \bar{B}_{x}^{(k+1)} \quad(k=1,2, \ldots),
\]
где $\bar{B}_{x}^{(k)}$ — компакты, и используя диагональный процесс, можно построить последовательность $\left\{\boldsymbol{f}\left(t+h_{s}, \boldsymbol{x}\right)\right\}(s=1,2, \ldots)$, которая будет сходиться равномерно на любом замкнутом множестве $I_{t} \times \bar{B}_{x}$, где $\bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ — компакт. В этом случае предельная функция
\[
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, t)=\lim _{s \rightarrow \infty} f\left(t+h_{s}, \boldsymbol{x}\right)
\]
будет равномерно непрерывна по $\boldsymbol{x}$ на каждом множестве $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ и почти периодична по $t$ равномерно по $\boldsymbol{x}$ на этом множе стве и, следовательно, непрерывна по совокупности переменных $(t, \boldsymbol{x})$ на $I_{t} \times A_{x}$.
Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=f\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right) \quad(p=1,2, \ldots), \quad\left(S_{t+h_{p}}\right)
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right) \underset{t, \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{\rightarrow}} g(t, \boldsymbol{x}) \text { при } \quad p \rightarrow \infty \\
\left(t \in I_{t}, \quad x \in \bar{B}_{x} \subset A_{x}\right) . \\
\end{array}
\]
В таком случае будем говорить, что система $S_{t+h_{p}}$ при $p \rightarrow \infty$ сходится к системе
\[
\frac{d x}{d t}=\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{x}), \quad\left(S_{t+h}\right)
\]
где $h$ обозначает последовательность $\left\{h_{1}, h_{2}, \ldots\right\}$, что условно записывается следующим образом:
\[
S_{t+h}=\lim _{p \rightarrow \infty} S_{t+h_{p}}
\]
Близость систем $\left(S_{t+h_{p}}\right.$ ) и $\left(S_{t+h}\right.$ ) в точке $(t, \boldsymbol{x})$ будем оценивать абсолютной величиной
\[
\left|S_{t+h}-S_{t+h_{p}}\right|=\left\|\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right)\right\|,
\]
обладающей обычными свойствами. Заметим, что в силу предыдущих рассуждений сходимость
\[
S_{t+h_{p}} \rightarrow S_{t+h} \text { при } \quad p \rightarrow \infty .
\]
можно предполагать равномерной по совокупности переменных $(t, \boldsymbol{x})$ на каждом множестве $I_{t} \times \bar{B}_{x}$, где $\bar{B}_{x}$ — компакт.
Для краткости будем называть системы $\left(S_{t+h}\right.$ ) присоединенными к системе $\left(S_{t}\right)$. Заметим, что каждая присоединенная система, очевидно, является почти периодической и для нее справедливы условия њ) и 2).
Определение (см. [76], [73]). Совокупность всех присоединенных систем $S_{t+h}$, соответствующих всем последовательностям $\left\{h_{p}\right\}$, для которых существуют равномерные пределы (19.1), будем называть $H$-классом почти периодической системы $S_{t}$, т. е.
\[
H\left(S_{t}\right)=\left\{S_{t+h}\right\},
\]
а всякую систему $S_{t+h} \in H\left(S_{t}\right)$ будем называть представителем $H$-класса.
Таким образом, $H$-класс системы $S_{t}$ является замыканием всех смещенных систем $S_{t+h}$.
Заметим, что в $H$-класс системы $S_{t}$ входят все системы вида
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}=\boldsymbol{f}(t+a, \boldsymbol{y}) \quad(a=\text { const }),
\]
так как в качестве последовательности $\left\{h_{p}\right\}$ можно выбрать сходящуюся последовательность $a, a, \ldots$
Отметим основное свойство $H$-класса почти периодической системы $S_{t}$.
Лемма. $H$-класс почти периодической системы $S_{t}$ определяется любым своим представителем $S_{t+h}$, т. $е$.
\[
H\left(S_{t}\right) \equiv H\left(S_{t+h}\right) \text {. }
\]
Доказательство. Пусть
\[
\tilde{S}_{t} \equiv S_{t+h}=\lim _{p \rightarrow \infty} S_{t+h p}
\]
и
\[
\tilde{S}_{t+k} \in H\left(\tilde{S}_{t}\right),
\]
т. e.
\[
\tilde{S}_{t+k}=\lim _{q \rightarrow \infty} \tilde{S}_{t+k} \text {. }
\]
Имеем
\[
\left|\tilde{S}_{t}-S_{t+h_{p}}\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]
при $p>N_{1}, \quad(t, \boldsymbol{x}) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ и
\[
\left|\tilde{S}_{t+k}-\tilde{S}_{t+k p}\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]
при $p>N_{2}, \quad(t, \boldsymbol{x}) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$.
Заменяя в неравенстве (19.2) $t$ на $t+k_{p}$, будем иметь
\[
\left|\tilde{S}_{t+k_{p}}-S_{t+h_{p}+k_{p}}\right|<\frac{\varepsilon}{2}
\]
при $p>N_{1},(t, \boldsymbol{x}) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$.
Из неравенств (19.3) и (19.4) при $p>\max \left(N_{1}, N_{2}\right),(t, \boldsymbol{x}) \in$ $\in I_{t} \times \bar{B}_{x}$ получаем
\[
\left|\tilde{S}_{t+k}-S_{t+h^{+k} p}\right|<\varepsilon,
\]
т. e.
\[
\tilde{S}_{t+k}=\lim _{p \rightarrow \infty} S_{t+\left(h_{p}+k p\right)}
\]
и, значит,
\[
\tilde{S}_{t+k} \in H\left(S_{t}\right) \text {. }
\]
Таким образом,
\[
H\left(\tilde{S}_{t}\right) \equiv H\left(S_{t+h}\right) \subset H\left(S_{t}\right) .
\]
Аналогично показывается, что
\[
H\left(S_{t}\right) \subset H\left(S_{t+h}\right) .
\]
Следовательно,
\[
H\left(S_{t}\right) \equiv H\left(S_{t+h}\right) .
\]
