Лемма 1. Для двух почти периодических функций при любом в $>0$ существует относительно плотное множество их общих в-почти периодов.

Доказательство. Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – п. п. функции и $\delta_{1}=\delta_{f}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right), \delta_{2}=\delta_{g}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$ – числа, характеризующие их равномерную непрерывность (§2).
Положим
\[
\eta=\min \left(\hat{\delta}_{1}, \delta_{2}\right) .
\]

В силу следствия $2(\$ 2)$ существуют числа $l_{1}=l_{f}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$ и $l_{2}=$ $=l_{g}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$ такие, что каждый из отрезков $\left[a, a+l_{1}\right]$ и $\left[a, a+l_{2}\right]$ будет содержать соответствующие $\frac{\varepsilon}{2}$-почти периоды $\tau_{f}$ и $\tau_{g}$, кратные числу $\eta$. Если поножить $l=\max \left(l_{1}, l_{2}\right)$, то на каждом отрезке $[a, a+l]$ найдется пара $\frac{\varepsilon}{2}$-почти периодов $\tau_{f}=n^{\prime} \eta_{1}$ и $\tau_{g}=$ $=n^{\prime \prime} \eta_{i}$, где $n^{\prime}$ и $n^{\prime \prime}-$ целье чиста и $\left|\tau_{j}-\tau_{g}\right| \leqslant l$.

Так как $\tau_{f} \cdots \tau_{g}=\left(n^{\prime}-n^{\prime \prime}\right) \eta=n \eta_{1}$, где $n$– целое число, причем $\left|n r_{i}\right| \leqslant l$, то $n$ может принимать лишь конечное число значений; пусть это будут величины $n_{1} \eta_{1}, n_{2} \eta_{1}, \ldots, n_{p} \eta$, и пусть «представителями» их являются пары $\frac{\varepsilon}{2}$-почти периодов ( $\left.\tau_{f}^{(1)}, \tau_{g}^{(1)}\right)$, $\left(\tau_{f}^{(2)}, \tau_{g}^{(2)}\right), \ldots,\left(\tau_{f}^{(p)}, \tau_{g}^{(p)}\right)$, т. е.
\[
\tau_{f}^{(s)}-\tau_{g}^{(s)}=n_{s} \eta \quad(s=1, \ldots, p) .
\]

Положим
\[
\max _{s}\left|\tau_{f}^{(s)}\right|=T
\]

Покажем, что каждый отрезок длины $L=l+2 T$ содержит по меньшей мере один о бщи й $\varepsilon$-почти период $\tau=\tau_{f}(\varepsilon)=\tau_{g}(\varepsilon)$ функций $f(x)$ и $g(x)$.

Действительно, пусть $[a, a+l+2 T]$ есть произвольный отрезок длины $L$. Возьмем на отрезке $[a+T, \ldots+l+T]$ длины $l$ два $\frac{\varepsilon}{2}$-почти периода $\tau_{f}=n^{\prime} \eta_{\text {и }} \tau_{g}=n^{\prime \prime} \eta$, и пусть $\tau_{f}-\tau_{g}=n_{s} \eta=$ $=\tau_{f}^{(s)}-\tau_{g}^{i s)}$.
Отсюда получаем
\[
\tau=\tau_{f}-\tau_{f}^{(s)}=\tau_{g}-\tau_{g}^{(s)} .
\]

Так как $\tau_{f} \in[a+T, a+l+T]$ и $\left|\tau_{f}^{(s)}\right| \leqslant T$, то $\tau \in[a, a+l+2 T]$. Нетрудно видеть, что число т является общим $\varepsilon$-почти периодом функций $f(x)$ и $g(x)$.
В самом деле, на основании формулы (3.1) имеем
\[
\begin{aligned}
|f(x+\tau)-f(x)| & \leqslant\left|f\left(\left(x-\tau_{f}^{(s)}\right)+\tau_{f}\right)-f\left(x-\tau_{f}^{(s)}\right)\right|+ \\
& +\left|f\left(x-\tau_{f}^{(s)}\right)-f\left(\left(x-\tau_{f}^{(s)}\right)+\tau_{f}^{(s)}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{aligned}
g(x+\tau)-g(x) \mid \leqslant & \left|g\left(\left(x-\tau_{g}^{(s)}\right)+\tau_{g}\right)-g\left(x-\tau_{g}^{(s)}\right)\right|+ \\
& +\left|g\left(x-\tau_{g}^{(s)}\right)-g\left(\left(x-\tau_{g}^{(s)}\right)+\tau_{g}^{(s)}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
\end{aligned}
\]

Лемма доказана.
Замечание. Лемма 1 легко распространяется на конечное число функций.

Теорема 1. Сумма двух почти периодических функций есть функция также почти периодическая.

Доказательство. Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – п. п. функции и, следовательно, $f(x), g(x) \in C(-\infty, \infty)$. Отсюда $f(x)+g(x) \in$ $\in C(-\infty, \infty)$. Согласно лемме 1 для функций $f(x)$ и $g(x)$ при каждом $\varepsilon>0$ существует относительно плотное множество их общих почти периодов $\tau=\tau_{f}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)=\tau_{g}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$. Отсюда имеем
\[
\begin{aligned}
\mid[f(x+\tau)+ & g(x+\tau)]-[f(x)+g(x)] \mid \leqslant \\
& \leqslant|f(x+\tau)-f(x)|-|g(x+\tau)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,
\end{aligned}
\]
т. е. $\tau=\tau_{f+g}(\varepsilon)$ что и доказывает почти периодичность суммы $f(x)+g(x)$.

Следствие 1. Сумма конечного числа почти периодических функций (или периодических функций с любыми периодами) есть функция почти периодическая.
Следствие 2. Линейная комбинация
\[
f(x)=\sum_{k=1}^{n} c_{k} f_{k}(x) \quad\left(c_{k} \text { – постоянные }\right)
\]

почти периодических функций $f_{k}(x)(k=1, \ldots, n)$ есть функция почти периодическая.
В частности, каждый тригонометрический полином
\[
P(x)=\sum_{k=1}^{n} c_{k} e^{i \lambda_{k} x}
\]
$\left(\lambda_{k}\right.$ действительны) является п. п. функцией.
3амечание. Существуют п. п. функции, не являющиеся периодическими.

Например, $f(x)=\sin x+\sin (x \sqrt{2})$ есть п. п. функция, не сводящаяся к периодической.

Теорема 2. Произведение овву почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Доказательство. Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – п. п. функции и $\{\tau\}$ – относительно плотное множество их общих є-почти периодов:
\[
\tau=\tau_{f}(\varepsilon)=\tau_{g}(\varepsilon) .
\]

Замечая, что $f(x) g(x) \in C(-\infty, \infty)$ и полагая ( $\$ 2)$
\[
M=\sup _{x}|f(x)| \text { и } N=\sup _{x}|g(x)|,
\]

будем иметь
\[
\begin{aligned}
\mid f(x+\tau) g(x+\tau) & -f(x) g(x)|\leqslant g g(x+\tau)||f(x+\tau)-f(x)|+ \\
& +|f(x)||g(x+\tau)-g(x)|<N \varepsilon+M \varepsilon=(M+N) \varepsilon .
\end{aligned}
\]

Так как число $(M+N)$ в может быть произвольно малым, то отсюда вытекает почти периодичность произведения $f(x) g(x)$.

Следствие 1. Произедение конечного числа почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Следствие 2. Целая положительная степень почти периодической функции есть функция почти периодическая.
Лемма 2. Если $f(x)$ – почти периодическая функция и
\[
\operatorname{in}_{-\infty<x<\infty}|f(x)|=h>0,
\]

то $\frac{1}{f(x)}$ также почти периодическая функция.
Действительно, если $\tau=\tau_{f}\left(\varepsilon h^{2}\right)$, то имеем
\[
\left|\frac{1}{f(x+\tau)}-\frac{1}{f(x)}\right|=\frac{|f(x+\tau)-f(x)|}{|f(x)||f(x+\tau)|}<\frac{\varepsilon h^{2}}{h^{2}}=\varepsilon .
\]

Теорема 3. Частное $\frac{f(x)}{g(x)}$ дзух почти периодических функций $f(x)$ и $g(x)$, где
\[
\inf _{x}|g(x)|>0,
\]

есть функция почти периодическая.
Доказательство непосредственно следует из формулы
\[
\frac{f(x)}{g(x)}=f(x) \cdot \frac{1}{g(x)},
\]

теоремы 2 и следствия 2.