Пусть $F(t)=[f_{jk}(t)]$ — функциональная матрица типа $m\times n$ класса $C^1(a,b)$, т. е. функции $f_{fk}(t)$ непрерывно дифференцируемы в некотором интервале $a<t<b$. Тогда под производной (см. [1]) понимается матрица
$$\frac{dF}{dt}\equiv F^{\prime }(t)=(f_{jk}^{\prime }(t)).$$

Употребляется также обозначение $\frac{dF}{dt}=\dot{F}(t)$.
Если соответствующие матричные действия имеют смысл, то справедливы следующие соотношения:
1) если $C$ — постоянная матрица, то
$$\frac{dC}{dt}=O;$$
2) $\frac{d}{dt}[F(t)+G(t)]=F^{\prime }(t)+G^{\prime }(t)$;
3) $\frac{d}{dt}[CF(t)]=C{F}^{\prime }(t),\frac{d}{dt}[F(t)C]=F^{\prime }(t)C$;
4) $\frac{d}{dt}[F(t)G(t)]=F^{\prime }(t)G(t)-F(t)G^{\prime }(t)$.

Далее, пусть $F(t)$ — неособенная матрица и $F^{-1}(t)$ — ее обратная матрица. Имеем
$$F(t)F^{-1}(t)=E\text{. }$$

Дифференцируя это равенство, получаем
$$F^{\prime }(t)F^{-1}(t)+F(t){[F^{-1}(t)]}^{\prime }=0.$$

Отсюда
$${[F^{-1}(t)]}^{\prime }=-F^{-1}(t)F^{\prime }(t)F^{-1}(t).$$

Приведем еще одну формулу дифференцирования. Пусть $V$ скалярное произведение
$$V(t)=(x(t),y(t))\equiv y^{\ast }(t)x(t).$$

Учитывая, что
$$\frac{d{y}^{\ast }}{dt}={\left(\frac{dy}{dt}\right)}^{\ast }$$

имеем
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }(t)& =y^{\ast }\frac{dx}{dt}+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^{\ast }x(t)=\\ & =(\frac{dx}{dt},y(t))+(x(t),\frac{dy}{dt}).\end{array}$$

Укажем еще один результат. Пусть $(n\times n)$-матрица $X(t)\in C^1$ и
$$Y(t)=[X(t){]}^m\equiv \underset{m\text{ pa3 }}{\underbrace{X(t)\dots X(t)\dots X(t).}}$$

Имеем
$$Y^{\prime }(t)=\sum _{v=0}^{m-1}[X(t){]}^u{X}^{\prime }(t)[X(t){]}^{m-v-1}。$$

В частности, если $X(t)$ коммутирует со своей производной $X^{\prime }(t)$, T. e.
$$X(t)X^{\prime }(t)=X^{\prime }(t)X(t),$$

то получаем
$$\frac{d}{dt}[X(t){]}^m=m[X(t){]}^{m-1}{X}^{\prime }(t)=m{X}^{\prime }(t)[X(t){]}^{m-1}。$$

Пусть
$$F_p(t)=(f_{jk}^{(p)}(t))\in C^1(a,b)(p=1,2,\dots )$$

и матричный ряд
$$\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_p(t)$$

сходится при $t\in (a,b)$, а ряд гроизводных
$$\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_p^{\prime }(t)$$

сходится равномерно на ( $a,b$ ), т. е. все функциональные ряды
$$\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d}{dt}{f}_{jk}^{p_1}(t)(j=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n)$$

равномерно сходятся на $(a,b)$. Тогда при $t\in (a,b)$ справедлива формула
$$\frac{d}{dt}\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_p(t)=\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_p(t).$$

(1.). I
Доказательство проводится аналогично скалярному случаю. В цастности, формула (1.11.1) верна, если
$$\Vert F_p^{\prime }(t)\Vert ⩽c_p(p=1,2,\dots ),$$

где ряд $\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_p$ сходится.
Если матрица $F(t)\in C[a,b]$, то при $t_0\in [a,b]$ и $t\in [a,b]$ определяется ее интеграл (см. [1])
$${\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau =({\int }_{t_0}^t{f}_{jk}(\tau )d\tau ).$$

Используя понятие предела матрицы, интеграл матрицы можно определить через предельный пєреход
$${\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau =\underset{max\mid \mathrm{\Delta }{t}_v\to 0}{lim}\sum _{v=0}^{n-1}F\left(t_v\right)\mathrm{\Delta }{t}_v,$$

где $t_0<t_1<\dots <t_n=t$ и
$$\mathrm{\Delta }{t}_v=t_{v+1}-t_v(v=0,1,\dots ,n-1).$$

Справедливы следующие свойства:
1) если $F(t)={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)$, то
$${\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau =\mathrm{\Phi }(t)-\mathrm{\Phi }\left(t_0\right);$$
2) если $C$ — постоянная матрица, то
$$\begin{array}{l}{\int }_{t_0}^{t}CF(\tau )d\tau =C{\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau ,\\ {\int }_{t_0}^{t}F(\tau )Cd\tau ={\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau \cdot C;\end{array}$$
3) если $F(\tau ),G(\tau )\in C[t_0,t]$, то
$${\int }_{t_0}^1[F(\tau )+G(\tau )]d\tau ={\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau +{\int }_{t_0}^{t}G(\tau )d\tau ;$$
4) если $F(\tau ),G(\tau )\in C^1[t_0,t]$, то
$${\int }_{t_0}^{t}F(\tau )G^{\prime }(\tau )d\tau =F(t)G(t)-F\left(t_0\right)G\left(t_0\right)-{\int }_{t_0}^t{F}^{\prime }(\tau )G(\tau )d\tau$$
(формула интегрирования по частям);
5)
$$\Vert {\int }_{t_0}^{t}F(\tau )d\tau \Vert ⩽{\int }_{t_0}^t\Vert F(\tau )\Vert |d\tau |.$$

Действительно, в силу свойс.ва 3) нормы матрицы для любой конечной суммы имеем
$$\Vert \sum _{u=0}^{n-1}F\left(t_u\right)\mathrm{\Delta }{t}_u\Vert ⩽\sum _{v=0}^{n-1}\Vert F\left(t_u\right)\Vert \left|\mathrm{\Delta }{t}_u\right|.$$

Отсюда, переходя к пределу при $max\left|\mathrm{\Delta }{t}_v\right|\to 0$ и учитывая непрерывность нормы, получаем формулу (1.11.2).
В дальнейшем иногда придется рассматривать вектор-функции

компоненты которых $f_j(\mathit{x})=f_j(x_1,\dots ,x_n)$ зависят от нескольких переменных $\mathit{x}=(x_1,\dots ,x_n)$. Если $f_j(\mathit{x})\in C^{\mathrm{i}}(j=1,\cdots ,m)$, то под производной такой функции по вектору $\mathit{x}$ понимается матрица Якоби
$$\frac{d\mathit{f}}{dx}\equiv {\mathit{f}}^{\prime }(\mathit{x})=\left(\frac{\partial f_j(x)}{\partial x_k}\right)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$$

Если мы имеем сложную функцию
$$\mathit{u}=\mathit{f}(\mathit{x})(\mathit{u}=(u_1,\dots ,u_m);\mathit{x}=(x_1,\dots ,x_n)),$$

где
$$\mathit{x}=\mathit{\phi }(\mathit{t}),\mathit{t}=(t_1,\dots ,t_p),$$

причем $\mathit{f}(\mathit{x})$ и $\mathit{\phi }(\mathit{t})$ непрерывнс дифференцируемы, то согласно правилу дифференцирования сложной функции получаем (см. [7])
$$\frac{d{u}_j}{d{t}_k}=\sum _{s=1}^n\frac{\partial u_j}{\partial x_s}\cdot \frac{\partial x_s}{\partial t_k}(j=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n)\text{. }$$

Отсюда, используя правило умножения матриц, будем иметь
$$\frac{d\mathit{u}}{d\mathit{t}}=\left(\sum _s\frac{\partial u_j}{\partial x_s}\frac{\partial x_s}{\partial t_k}\right)=\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\right)\left(\frac{\partial x_j}{\partial t_k}\right)$$
T. e。
$$\frac{d}{dt}f(x)=f^{\prime }(x)\frac{dx}{dt}$$