Пусть $F(t)=\left[f_{j k}(t)\right]$ – функциональная матрица типа $m \times n$ класса $C^{1}(a, b)$, т. е. функции $f_{f k}(t)$ непрерывно дифференцируемы в некотором интервале $a<t<b$. Тогда под производной (см. [1]) понимается матрица
\[
\frac{d F}{d t} \equiv F^{\prime}(t)=\left(f_{j k}^{\prime}(t)\right) .
\]

Употребляется также обозначение $\frac{d F}{d t}=\dot{F}(t)$.
Если соответствующие матричные действия имеют смысл, то справедливы следующие соотношения:
1) если $C$ – постоянная матрица, то
\[
\frac{d C}{d t}=O ;
\]
2) $\frac{d}{d t}[F(t)+G(t)]=F^{\prime}(t)+G^{\prime}(t)$;
3) $\frac{d}{d t}[C F(t)]=C F^{\prime}(t), \frac{d}{d t}[F(t) C]=F^{\prime}(t) C$;
4) $\frac{d}{d t}[F(t) G(t)]=F^{\prime}(t) G(t)-F(t) G^{\prime}(t)$.

Далее, пусть $F(t)$ – неособенная матрица и $F^{-1}(t)$ – ее обратная матрица. Имеем
\[
F(t) F^{-1}(t)=E \text {. }
\]

Дифференцируя это равенство, получаем
\[
F^{\prime}(t) F^{-1}(t)+F(t)\left[F^{-1}(t)\right]^{\prime}=0 .
\]

Отсюда
\[
\left[F^{-1}(t)\right]^{\prime}=-F^{-1}(t) F^{\prime}(t) F^{-1}(t) .
\]

Приведем еще одну формулу дифференцирования. Пусть $V$ скалярное произведение
\[
V(t)=(x(t), y(t)) \equiv y^{*}(t) x(t) .
\]

Учитывая, что
\[
\frac{d y^{*}}{d t}=\left(\frac{d y}{d t}\right)^{*}
\]

имеем
\[
\begin{aligned}
V^{\prime}(t) & =y^{*} \frac{d x}{d t}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{*} x(t)= \\
& =\left(\frac{d x}{d t}, y(t)\right)+\left(x(t), \frac{d y}{d t}\right) .
\end{aligned}
\]

Укажем еще один результат. Пусть $(n \times n)$-матрица $X(t) \in C^{1}$ и
\[
Y(t)=[X(t)]^{m} \equiv \underbrace{X(t) \ldots X(t) \ldots X(t) .}_{m \text { pa3 }}
\]

Имеем
\[
Y^{\prime}(t)=\sum_{v=0}^{m-1}[X(t)]^{
u} X^{\prime}(t)[X(t)]^{m-v-1} 。
\]

В частности, если $X(t)$ коммутирует со своей производной $X^{\prime}(t)$, T. e.
\[
X(t) X^{\prime}(t)=X^{\prime}(t) X(t),
\]

то получаем
\[
\frac{d}{d t}[X(t)]^{m}=m[X(t)]^{m-1} X^{\prime}(t)=m X^{\prime}(t)[X(t)]^{m-1} 。
\]

Пусть
\[
F_{p}(t)=\left(f_{j k}^{(p)}(t)\right) \in C^{1}(a, b) \quad(p=1,2, \ldots)
\]

и матричный ряд
\[
\sum_{p=1}^{\infty} F_{p}(t)
\]

сходится при $t \in(a, b)$, а ряд гроизводных
\[
\sum_{p=1}^{\infty} F_{p}^{\prime}(t)
\]

сходится равномерно на ( $a, b$ ), т. е. все функциональные ряды
\[
\sum_{p=1}^{\infty} \frac{d}{d t} f_{j k}^{p_{1}}(t) \quad(j=1, \ldots, m ; k=1, \ldots, n)
\]

равномерно сходятся на $(a, b)$. Тогда при $t \in(a, b)$ справедлива формула
\[
\frac{d}{d t} \sum_{p=1}^{\infty} F_{p}(t)=\sum_{p=1}^{\infty} F_{p}(t) .
\]

(1.). I
Доказательство проводится аналогично скалярному случаю. В цастности, формула (1.11.1) верна, если
\[
\left\|F_{p}^{\prime}(t)\right\| \leqslant c_{p} \quad(p=1,2, \ldots),
\]

где ряд $\sum_{p=1}^{\infty} c_{p}$ сходится.
Если матрица $F(t) \in C[a, b]$, то при $t_{0} \in[a, b]$ и $t \in[a, b]$ определяется ее интеграл (см. [1])
\[
\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau=\left(\int_{t_{0}}^{t} f_{j k}(\tau) d \tau\right) .
\]

Используя понятие предела матрицы, интеграл матрицы можно определить через предельный пєреход
\[
\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau=\lim _{\max \mid \Delta t_{v} \rightarrow 0} \sum_{v=0}^{n-1} F\left(t_{v}\right) \Delta t_{v},
\]

где $t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}=t$ и
\[
\Delta t_{v}=t_{v+1}-t_{v}(v=0,1, \ldots, n-1) .
\]

Справедливы следующие свойства:
1) если $F(t)=\Phi^{\prime}(t)$, то
\[
\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau=\Phi(t)-\Phi\left(t_{0}\right) ;
\]
2) если $C$ – постоянная матрица, то
\[
\begin{array}{l}
\int_{t_{0}}^{t} C F(\tau) d \tau=C \int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau, \\
\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) C d \tau=\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau \cdot C ;
\end{array}
\]
3) если $F(\tau), G(\tau) \in C\left[t_{0}, t\right]$, то
\[
\int_{t_{0}}^{1}[F(\tau)+G(\tau)] d \tau=\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau+\int_{t_{0}}^{t} G(\tau) d \tau ;
\]
4) если $F(\tau), G(\tau) \in C^{1}\left[t_{0}, t\right]$, то
\[
\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) G^{\prime}(\tau) d \tau=F(t) G(t)-F\left(t_{0}\right) G\left(t_{0}\right)-\int_{t_{0}}^{t} F^{\prime}(\tau) G(\tau) d \tau
\]
(формула интегрирования по частям);
5)
\[
\left\|\int_{t_{0}}^{t} F(\tau) d \tau\right\| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}\|F(\tau)\||d \tau| .
\]

Действительно, в силу свойс.ва 3) нормы матрицы для любой конечной суммы имеем
\[
\left\|\sum_{
u=0}^{n-1} F\left(t_{
u}\right) \Delta t_{
u}\right\| \leqslant \sum_{v=0}^{n-1}\left\|F\left(t_{
u}\right)\right\|\left|\Delta t_{
u}\right| .
\]

Отсюда, переходя к пределу при $\max \left|\Delta t_{v}\right| \rightarrow 0$ и учитывая непрерывность нормы, получаем формулу (1.11.2).
В дальнейшем иногда придется рассматривать вектор-функции

компоненты которых $f_{j}(\boldsymbol{x})=f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ зависят от нескольких переменных $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Если $f_{j}(\boldsymbol{x}) \in C^{\mathrm{i}} \quad(j=1, \cdots, m)$, то под производной такой функции по вектору $\boldsymbol{x}$ понимается матрица Якоби
\[
\frac{d \boldsymbol{f}}{d x} \equiv \boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})=\left(\frac{\partial f_{j}(x)}{\partial x_{k}}\right)=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}
\end{array}\right]
\]

Если мы имеем сложную функцию
\[
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \quad\left(\boldsymbol{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) ; \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),
\]

где
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{t}), \boldsymbol{t}=\left(t_{1}, \ldots, t_{p}\right),
\]

причем $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ и $\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{t})$ непрерывнс дифференцируемы, то согласно правилу дифференцирования сложной функции получаем (см. [7])
\[
\frac{d u_{j}}{d t_{k}}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{s}} \cdot \frac{\partial x_{s}}{\partial t_{k}}(j=1, \ldots, m ; k=1, \ldots, n) \text {. }
\]

Отсюда, используя правило умножения матриц, будем иметь
\[
\frac{d \boldsymbol{u}}{d \boldsymbol{t}}=\left(\sum_{s} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{s}} \frac{\partial x_{s}}{\partial t_{k}}\right)=\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{k}}\right)\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial t_{k}}\right)
\]
T. e。
\[
\frac{d}{d t} f(x)=f^{\prime}(x) \frac{d x}{d t}
\]