Пусть $f(x) \in \Pi$ и $\left\{e^{i \lambda x}\right\}$ – совокупность чистых колебаний ( $\lambda$ действительно). Тогда произведение $f(x) e^{-i \lambda x} \in$ П. Следовательно, для каждой п. п. функции $f(x)$ существует спектральная функция
\[
a(\lambda)=\left(f(x), e^{i \lambda x}\right)=M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\} .
\]

В случае векторного пространства под проекцией (числовой) вектора $\boldsymbol{x}$ на орт $\boldsymbol{e}$ понимается число
\[
\operatorname{пр}_{e} x=(x, e) .
\]

Поэтому если п. п. функции рассматривать как ради усы -в екторы функцнонального пространства II, то $a(\lambda)$ представляет собой числовую «проекцию» функции $f(x)$ на орт $e_{\lambda}=e^{i \lambda x}$ (рис. 60). При этом векторная ортогональная проекция функции $f(x)$ на орт $e_{\lambda}$, очевидно, есть $a(\lambda) e^{i \lambda x}$.

Лемма. Если функция $\dot{f}(x)$ почти периодческал, то для любого конечного набора $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}$ разлччных деитотвительных чисел справедливо нераєенство Бєсселя:
\[
\left.\sum_{n=1}^{N} a\left(\lambda_{n}\right)_{1}^{2} \leq M_{\{}^{\prime} f(x)_{1}^{2}\right\} .
\]

Доказательство. Полагая для краткости $a_{n}=a\left(\lambda_{n}\right)$, $e_{n}=e^{i \lambda_{n} x}$, рассмотрим выражение
\[
\begin{array}{r}
\Delta_{N}=\rho^{2}\left(f(x), \sum_{n=1}^{N} a_{n} l_{n}\right)=\left(f(x)-\sum_{n=1}^{N} a_{n} e_{n}, f(x)-\sum_{m=1}^{N} a_{m} e_{m}\right)= \\
=(f(x), f(x))-\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(e_{n}, f(x)\right)-\sum_{m=1}^{N} \bar{a}_{m}\left(f(x), e_{m}\right)+ \\
+\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} a_{n} \bar{a}_{m}\left(e_{n}, e_{m}\right) .
\end{array}
\]

В силу формулы (8.1) имеем
\[
\begin{array}{l}
\left(e_{n}, f(x)\right)=\overline{\left(f(x), e_{n}\right)}=\bar{a}_{n}, \\
\left(f(x), e_{m}\right)=a_{m} ;
\end{array}
\]

кроме того, так как чистые колебания $\left\{e^{i \lambda . x}\right\}$ \”образуют ортонормированную систему в пространстве II, то
\[
\left(e_{n}, e_{n}\right)=\delta_{n m},
\]

где $\hat{\delta}_{n m}$ – символ Кронекера. Поэтому из формулы (8.3) получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{N}=M\left\{\left|f(x)-\sum_{n=1}^{N} a_{n} e_{n}\right|^{2}\right\}= \\
=M\left\{|f(x)|^{2}\right\}-\sum_{n=1}^{N}\left|a_{n}\right|^{2}-\sum_{m=1}^{N}\left|a_{m}\right|^{2}+\sum_{m=1}^{N}\left|a_{m}\right|^{2}= \\
= M\left\{f(x)^{2}\right\}-\sum_{n=1}^{N}\left|a_{n}\right|^{2} \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\sum_{n=1}^{N}\left|a_{n}\right|^{2} \leqslant M\left\{|f(x)|^{2}\right\} .
\]

Следствие. Неравенство Бесселя остается верным для счетной совокупности действительных чисел $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$

В самом деле, из формулы (8.5) получаем, что для любой последовательности действительных чисел $\lambda_{1}, \lambda_{3}, \ldots, \lambda_{n}, \ldots$ ряд
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left|a\left(\lambda_{n}\right)\right|^{2}
\]

сходится, причем при $N \rightarrow \infty$ имеем
\[
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}{ }^{2} \leq M\left\{f_{i} f(x)_{i}^{2}\right\} .
\]