Для неоднородной дифференциальной системы
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t)
\]
будем искать решение в виде
\[
y=X(t) \boldsymbol{u},
\]
где $X(t)$ – фундаментальная матрица соответствующей однородной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
и $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}(t)$ – новая неизвестная вектор-функция. Подставляя выражение (2.5.2) в уравнение (2.5.1), получим
\[
X(t) \frac{d \boldsymbol{u}}{d t}+\dot{X}(t) \boldsymbol{a}=A(t) X(t) \boldsymbol{u}+\boldsymbol{f}(t),
\]
или так как
\[
\dot{X}(t)=A(t) X(t),
\]
то отсюда будем иметь
\[
X(t) \frac{d \boldsymbol{u}}{d t}=f(t) .
\]
Следовательно,
\[
u(t)=c+\int_{t_{0}}^{t} X^{-1}\left(t_{1}\right) f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Поэтому на основании формулы (2.5.2) находим (см. [6], [12])
\[
y(t)=X(t) c+\int_{t_{0}}^{t} K\left(t, t_{1}\right) f\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]
где
\[
K\left(t, t_{1}\right)=X(t) X^{-1}\left(t_{1}\right)
\]
– матрица Коши. Для определения произвольного постоянного вектора $c$ в формуле (2.5.4) положим $t=t_{0}$. Тогда будем иметь
\[
c=X^{-1}\left(t_{0}\right) \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)
\]
и, следовательно,
\[
\boldsymbol{y}(t)=K\left(t, t_{0}\right) \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} K\left(t, t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
В частности, если фундаментальная матрица $X(t)$ нормирована при $t=t_{0}$, т. е. $X\left(t_{0}\right)=E$, то из формулы (2.5.5) получим
\[
y(t)=X(t) y\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} K\left(t, t_{1}\right) f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
Из формулы (2.5.5) вытекает, что неоднородная система (2.5.1) имеет частное решение
\[
\dot{y}(t)=\int_{t_{0}}^{t} K\left(t, t_{1}\right) f\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]
удовлетворяющее условию $\tilde{\boldsymbol{y}}\left(t_{0}\right)=0$.
Заметим, что если матрица $A(t)=A$ постоянна и $X\left(t_{0}\right)=E$, тo
\[
X(t) X^{-1}\left(t_{1}\right) \quad \text { и } \quad X\left(t-t_{1}+t_{0}\right)
\]
представляют собой фундаментальные матрицы однородной системы (2.5.3), совпадающие при $t=t_{1}$. Позтому
\[
X(t) X^{-1}\left(t_{1}\right) \equiv X\left(t-\cdots t_{1}+t_{0}\right) .
\]
Следовательно, полагая $t_{0}=0$, получаем, что дифференциальная система
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t),
\]
где $A=$ const, имеет общее решение
\[
y(t)=X(t) y(0)+\int_{0}^{t} X\left(t-t_{1}\right) f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
В частности, при $\boldsymbol{y}(0)=0$ получим, что неоднородная система (2.5.6) обладает частным решением
\[
\tilde{y}(t)=\int_{0}^{t} X\left(t-t_{1}\right) f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]
