Рассмотрим действительную систему
\[
\frac{d y}{d t}=f(t, y),
\]

где
\[
f(t, y) \in C_{t y}^{(0,1}\left(I_{t}^{b} \times \mathscr{R}_{y}^{n}\right) .
\]

Для произвольного решения $\boldsymbol{y}(t) \equiv \boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\left(t_{0} \in I_{t}^{+}\right)$справедливы две возможности: 1) либо $y(t)$ имеет смысл на бесконечном промежутке $\left[t_{0}, \infty\right)$; тогда оно будет неограниченно продолжаемым вправо; 2 ) либо $y$ ( $t$, определено тиць ін некотором конечном промежутке $t_{\mathrm{n}} \leqslant t<T<\infty$.

Лемма. Eсли решение $y(t)$ имеет конеиное время определения $t_{0} \leqslant t<T<\infty$, то
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \rightarrow \infty \text { при } t \rightarrow T-0 .
\]

Доказательство. Пусть $\|\boldsymbol{y}(t)\| \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow T-0$. Тогда существует последовательность $t_{k} \rightarrow T-0$ такая, что $y\left(t_{k}\right) \rightarrow z
eq \infty$

при $
ot{k} \rightarrow \infty$. Рассмотрим решение $\boldsymbol{z}(t)=z(t ; T, \boldsymbol{z}$ ) (рис. 42), определенное, согласно локальной теореме существования решений (см. [11]), в некотором интервале
\[
(T-\alpha, T+\alpha) \quad(x>0) .
\]

В силу свойства единственности решений, при $t_{k}>T-\frac{\alpha}{4}$ иneeм
\[
y\left(t ; t_{k}, y\left(t_{k}\right)\right) \equiv y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)
\]
n
\[
\boldsymbol{z}\left(t ; t_{k}, \boldsymbol{z}\left(t_{k}\right)\right) \equiv \boldsymbol{z}(t ; T, \boldsymbol{z}) .
\]

Так как $\boldsymbol{y}\left(t_{k}\right)$ может быть выбрано сколь угодно близко к $\boldsymbol{z}$ и $t_{k} \rightarrow T$, то при достаточно большом $k$ точки $\boldsymbol{y}\left(t_{k}\right)$ и $\boldsymbol{z}\left(t_{k}\right)$ сколь
Рис. 42.

угодно близки между собой (см. рис. 42). А тогда на основании свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) получим, что решение $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ определено во всяком случае на промежутке $\left.t_{k}, t_{k}+\frac{\alpha}{2}\right) \supset\left(T, T+\frac{\alpha}{4}\right)$. А эо противоречит максимальности промежутка $\left[t_{0}, T\right)$ существования решения $y(t)$ при $t \geqslant t_{0}$. Таким образом, $\boldsymbol{y}(t) \rightarrow \infty$ при $i \rightarrow T-0$.
Лемма доказана.
Следствие. Eсли решение $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ ограничено в своем максимальном променутке существования $t_{0} \leqslant t<t_{0}+T$, то оно бесконечно продолжаемо вправо, п. е. $T=\infty$.

Неограниченная продолжаемость вправо решений системы (4.14.1) является необходимым условием устойчивости по Јяпунову решений этой системь: Используя функции, аналогичные функциям Ляпунова ( $\$ 5$, замечание 2 ), можно получить достаточные условия неограниченной продолжаемости при $t \rightarrow+\infty$ решений системы (4.14.1).

Следуя Ла-Саллю [45], рассмотрим дифференциальное неравенство
\[
\dot{v} \leqslant G(t, v) \quad\left(t \geqslant t_{0}\right),
\]

где $G(t, v)-$ некоторая непірерывная скалярная функция, определенная при $t \geqslant t_{0}$ и $v \in \mathscr{R}^{\prime}$, а $v=v(t)$-непрерывно дифференцируемая положительная скалярная функция.

Будем говорить, что решение $v(t) \in C^{1}$ неравенства (4.14.2) имеет конечное время определения $t_{0} \leqslant t<T$, если: 1) $\dot{v}(t) \leqslant$
$\leqslant G(t, v)$ при $t_{0} \leqslant t<T$ и
2) $\|(t)\| \rightarrow$ при $t \rightarrow T$. Теорема Ла-Салля. Пусть
\[
S_{\rho}^{c}=\left\{y \| p \mathscr{R}_{y}^{n}\right.
\]
– внешность сферы радиуса р и

Рис. 43.
\[
V(t, y) \in C_{t y}^{(1,1)}\left(I_{t}^{+} \times S_{\rho}^{c}\right),
\]

причем $V(t, y) \underset{\boldsymbol{t}}{\rightarrow} \infty n$ ии $\|\boldsymbol{y}\| \rightarrow \infty$, равномерно на каждом конечном промежутке ( $a, b) \subset I_{t}^{+}$.
Тогда, если
1) производная $\dot{V}(t, y)$ по $t$ в силу системь (4.14.1) при $t \geqslant t_{0}$ и $y \in S_{\rho}^{c}$ удовлетворлет неравенству
\[
\dot{V}(t, \boldsymbol{y}) \leqslant G(t, V(t, \boldsymbol{y})),
\]

где $G(t, v)$ – непрерывная скалярная функция;
2) соответствующее скалярное неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений v( $t$ ) конечным временем определения, то каждое рететие $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t)$ системы (4.14.1) неораниченно продолжаемо вправо.

Доказательство. Допустим, что некоторое решение $y(t)$ системы (4.14.1) имеет конечное время определения $t_{0} \leqslant t<T<\infty$. Тогда в силу леммы $y(t) \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow T-0$ и, следовательно, при $t \in\left(t_{1}, T\right)$, где $t_{1}>t_{0}$, решение $y(t)$ целиком будет содержаться в некоторой области $S_{p_{1}}^{\prime}$ (рис. 43), где $p_{1}>p$. Kроме того, можно предполагать, что $V(t, y)>0$ при $(t, y) \in\left[t_{0}, T\right] \times S_{\rho_{1}}^{c}$. Но тогда на основании неравенства (4.14.3) функция
\[
v(t)=V(t, \quad \boldsymbol{y}(t))
\]

является положительным решением скалярного неравенства (4.14.2) с конечным временем определения $t_{0} \leqslant t<T(v(T)=\infty)$. А. это невозможно в силу условия 2) теорешы.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть
\[
G(t, v)=k(t) L(v),
\]

где $k(t) \geqslant 0$ и $L(v)>0$ – скалярные функции, ненрерывные при $t \geqslant t_{0}$.
Eсли
\[
\int_{t_{0}}^{\infty} \frac{d v}{L(v)}=+\infty
\]

по неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений $v(t)$ с конечным временем определения.

Действительно, пусть существует положительное решение $v(t)\left(t_{0} \leqslant t<T\right)$ неравенства
\[
\frac{d v}{d t} \leqslant k(t) L(v)
\]

такое, что $v(T) \|=\infty$. Из неравенства (4.14.4) находим
\[
\int_{v\left(t_{0},\right.}^{v(t)} \frac{d v}{L(v)} \leqslant \int_{t_{0}}^{t} k(\tau) d \tau .
\]

Отсюда при $t \rightarrow T-0$ получаем, что левая часть неравенства (4.14.5) стремится к $+\infty$, а прєвая – ограничена, что, очевидно, невозможно. Следовательно, каждое положительное решение $v(t)$ неравенства (4.14.4) или имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке $\left\{t_{0}, T\right)$, причем $\|v(t)\|
rightarrow \infty$ при $t \rightarrow T-0$, или же оно определено на бесконечном промежутке $t_{0} \leqslant t<\infty$.
Пример. Рассмотрим действительную систему (см. [45])
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x)
\]

где
\[
X(t, x) \in C_{t x}^{(0, n}\left(l_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right) .
\]

Если
\[
\|X(t, x)\| \leqslant k(t)\|x\|
\]

при $\|x\| \geqslant$, гле $k(t) \in C\left(I_{t}^{+}\right)$- нсогрицательная скалярная функция, то все решения $\boldsymbol{x}(t)$ системы (4.14.6) нсограниченно продолжаемы вправо.
Дсйствительно, положим

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
V(x)=\| x=(x, x) . \\
\dot{V}(x)=\left(\frac{d x}{d t}, x\right)+\left(x, \frac{d x}{d t}\right)=2 x^{T} X(t, x) .
\end{array}
\]

Используя неравенство Коши (гл, 1, §5) и неравенство (4.14.7), будем иметь
\[
\dot{V}(x) \leqslant 2\left\|x^{T}\right\|\|\boldsymbol{X}(t, x)\| \leqslant 2 \dot{k}(t) V(x) \equiv G(t, V(x))
\]

ири $t \geqslant t_{0}$ и $x \geqslant$. Ho неравенство
\[
\dot{v}(t) \leqslant 2 k(t) v(t)
\]

в силу следствия $(L(\partial)=2 t)$ не имсет положительных решений с конечным временем определения. Следовательно, на основании теоремы Ла-Салля каждое решение $\boldsymbol{x}(t)$ системы (4.14.5) имест смысл при $t_{0} \leqslant t<\infty$.