Рассмотрим действительную систему
$$\frac{dy}{dt}=f(t,y),$$

где
$$f(t,y)\in C_{ty}^{(0,1}(I_t^b\times {\mathcal{R}}_y^n).$$

Для произвольного решения $\mathit{y}(t)\equiv \mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)(t_0\in I_t^{+})$справедливы две возможности: 1) либо $y(t)$ имеет смысл на бесконечном промежутке $[t_0,\mathrm{\infty })$; тогда оно будет неограниченно продолжаемым вправо; 2 ) либо $y$ ( $t$, определено тиць ін некотором конечном промежутке $t_{\mathrm{n}}⩽t<T<\mathrm{\infty }$.

Лемма. Eсли решение $y(t)$ имеет конеиное время определения $t_0⩽t<T<\mathrm{\infty }$, то
$$\Vert \mathit{y}(t)\Vert \to \mathrm{\infty }\text{ при }t\to T-0.$$

Доказательство. Пусть $\Vert \mathit{y}(t)\Vert \to \mathrm{\infty }$ при $t\to T-0$. Тогда существует последовательность $t_k\to T-0$ такая, что $y\left(t_k\right)\to zeq\mathrm{\infty }$

при $otk\to \mathrm{\infty }$. Рассмотрим решение $\mathit{z}(t)=z(t;T,\mathit{z}$ ) (рис. 42), определенное, согласно локальной теореме существования решений (см. [11]), в некотором интервале
$$(T-\alpha ,T+\alpha )(x>0).$$

В силу свойства единственности решений, при $t_k>T-\frac{\alpha }{4}$ иneeм
$$y(t;t_k,y\left(t_k\right))\equiv y(t;t_0,y_0)$$
n
$$\mathit{z}(t;t_k,\mathit{z}\left(t_k\right))\equiv \mathit{z}(t;T,\mathit{z}).$$

Так как $\mathit{y}\left(t_k\right)$ может быть выбрано сколь угодно близко к $\mathit{z}$ и $t_k\to T$, то при достаточно большом $k$ точки $\mathit{y}\left(t_k\right)$ и $\mathit{z}\left(t_k\right)$ сколь
Рис. 42.

угодно близки между собой (см. рис. 42). А тогда на основании свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) получим, что решение $\mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)$ определено во всяком случае на промежутке $t_k,t_k+\frac{\alpha }{2})\supset (T,T+\frac{\alpha }{4})$. А эо противоречит максимальности промежутка $[t_0,T)$ существования решения $y(t)$ при $t⩾t_0$. Таким образом, $\mathit{y}(t)\to \mathrm{\infty }$ при $i\to T-0$.
Лемма доказана.
Следствие. Eсли решение $\mathit{y}=\mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)$ ограничено в своем максимальном променутке существования $t_0⩽t<t_0+T$, то оно бесконечно продолжаемо вправо, п. е. $T=\mathrm{\infty }$.

Неограниченная продолжаемость вправо решений системы (4.14.1) является необходимым условием устойчивости по Јяпунову решений этой системь: Используя функции, аналогичные функциям Ляпунова ( $\mathrm{\$}5$, замечание 2 ), можно получить достаточные условия неограниченной продолжаемости при $t\to +\mathrm{\infty }$ решений системы (4.14.1).

Следуя Ла-Саллю [45], рассмотрим дифференциальное неравенство
$$\dot{v}⩽G(t,v)(t⩾t_0),$$

где $G(t,v)-$ некоторая непірерывная скалярная функция, определенная при $t⩾t_0$ и $v\in {\mathcal{R}}^{\prime }$, а $v=v(t)$-непрерывно дифференцируемая положительная скалярная функция.

Будем говорить, что решение $v(t)\in C^1$ неравенства (4.14.2) имеет конечное время определения $t_0⩽t<T$, если: 1) $\dot{v}(t)⩽$
$⩽G(t,v)$ при $t_0⩽t<T$ и
2) $\Vert (t)\Vert \to$ при $t\to T$. Теорема Ла-Салля. Пусть
$$S_{\rho }^c=\{y\Vert p{\mathcal{R}}_y^n$$
— внешность сферы радиуса р и

Рис. 43.
$$V(t,y)\in C_{ty}^{(1,1)}(I_t^{+}\times S_{\rho }^c),$$

причем $V(t,y)\underset{\mathit{t}}{\to }\mathrm{\infty }n$ ии $\Vert \mathit{y}\Vert \to \mathrm{\infty }$, равномерно на каждом конечном промежутке ( $a,b)\subset I_t^{+}$.
Тогда, если
1) производная $\dot{V}(t,y)$ по $t$ в силу системь (4.14.1) при $t⩾t_0$ и $y\in S_{\rho }^c$ удовлетворлет неравенству
$$\dot{V}(t,\mathit{y})⩽G(t,V(t,\mathit{y})),$$

где $G(t,v)$ — непрерывная скалярная функция;
2) соответствующее скалярное неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений v( $t$ ) конечным временем определения, то каждое рететие $\mathit{y}=\mathit{y}(t)$ системы (4.14.1) неораниченно продолжаемо вправо.

Доказательство. Допустим, что некоторое решение $y(t)$ системы (4.14.1) имеет конечное время определения $t_0⩽t<T<\mathrm{\infty }$. Тогда в силу леммы $y(t)\to \mathrm{\infty }$ при $t\to T-0$ и, следовательно, при $t\in (t_1,T)$, где $t_1>t_0$, решение $y(t)$ целиком будет содержаться в некоторой области $S_{p_1}^{\prime }$ (рис. 43), где $p_1>p$. Kроме того, можно предполагать, что $V(t,y)>0$ при $(t,y)\in [t_0,T]\times S_{{\rho }_1}^c$. Но тогда на основании неравенства (4.14.3) функция
$$v(t)=V(t,\mathit{y}(t))$$

является положительным решением скалярного неравенства (4.14.2) с конечным временем определения $t_0⩽t<T(v(T)=\mathrm{\infty })$. А. это невозможно в силу условия 2) теорешы.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть
$$G(t,v)=k(t)L(v),$$

где $k(t)⩾0$ и $L(v)>0$ — скалярные функции, ненрерывные при $t⩾t_0$.
Eсли
$${\int }_{t_0}^{\mathrm{\infty }}\frac{dv}{L(v)}=+\mathrm{\infty }$$

по неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений $v(t)$ с конечным временем определения.

Действительно, пусть существует положительное решение $v(t)(t_0⩽t<T)$ неравенства
$$\frac{dv}{dt}⩽k(t)L(v)$$

такое, что $v(T)\Vert =\mathrm{\infty }$. Из неравенства (4.14.4) находим
$${\int }_{v(t_0,}^{v(t)}\frac{dv}{L(v)}⩽{\int }_{t_0}^{t}k(\tau )d\tau .$$

Отсюда при $t\to T-0$ получаем, что левая часть неравенства (4.14.5) стремится к $+\mathrm{\infty }$, а прєвая — ограничена, что, очевидно, невозможно. Следовательно, каждое положительное решение $v(t)$ неравенства (4.14.4) или имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке $\{t_0,T)$, причем $\Vert v(t)\Vert rightarrow\mathrm{\infty }$ при $t\to T-0$, или же оно определено на бесконечном промежутке $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$.
Пример. Рассмотрим действительную систему (см. [45])
$$\frac{dx}{dt}=X(t,x)$$

где
$$X(t,x)\in C_{tx}^{(0,n}(l_t^{+}\times {\mathcal{R}}_x^n).$$

Если
$$\Vert X(t,x)\Vert ⩽k(t)\Vert x\Vert$$

при $\Vert x\Vert ⩾$, гле $k(t)\in C\left(I_t^{+}\right)$- нсогрицательная скалярная функция, то все решения $\mathit{x}(t)$ системы (4.14.6) нсограниченно продолжаемы вправо.
Дсйствительно, положим

Отсюда
$$\begin{array}{c}V(x)=\Vert x=(x,x).\\ \dot{V}(x)=(\frac{dx}{dt},x)+(x,\frac{dx}{dt})=2x^{T}X(t,x).\end{array}$$

Используя неравенство Коши (гл, 1, §5) и неравенство (4.14.7), будем иметь
$$\dot{V}(x)⩽2\Vert x^T\Vert \Vert \mathit{X}(t,x)\Vert ⩽2\dot{k}(t)V(x)\equiv G(t,V(x))$$

ири $t⩾t_0$ и $x⩾$. Ho неравенство
$$\dot{v}(t)⩽2k(t)v(t)$$

в силу следствия $(L(\partial )=2t)$ не имсет положительных решений с конечным временем определения. Следовательно, на основании теоремы Ла-Салля каждое решение $\mathit{x}(t)$ системы (4.14.5) имест смысл при $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$.