Определение. Тривиальное решение $\xi=0$ системы (4.7.1) называется экспоненциально устойчибым при $t \rightarrow+\infty$ (см. [16]), если для каждого решения $\boldsymbol{x}(t) \equiv \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)$ этой системы в некоторой области $t_{0} \leqslant t<\infty,\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h<H$ справедливо неравенство
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)} \quad\left(t \geqslant t_{0}\right),
\]
где $N$ и $\alpha$ – положительные постоянные, не зависящие от выбора решения $\boldsymbol{x}(t)$.
Легко видеть, что из экспоненциальной устойчивости решения $\xi=0$ следует его асимптотическая устойчивость. Действительно, полагая
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{N}=\delta,
\]
где $\varepsilon>0$ произвольно, из неравенства (4.8.1) имеем
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|<\varepsilon \quad \text { при } t \geqslant t_{0},
\]
т. е. решение $\xi=0$ устойчиво по Ляпунову. Кроме того, очевидно,
\[
\lim _{i \rightarrow \infty} x(t)=0,
\]
если только $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<h$.
Если неравенство (4.8.1) справедливо для всех точек $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) \in$
$\in \mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}$, то имеет место асимптотическая устойчивость в целом.
Из неравенства (4.8.1) следует, что если тривиальное решение
$\xi=0$ системы (4.7.1) экспоненциально устойчиво, то близкие
к нему решения $\boldsymbol{x}(t)$ этой системы имеют характеристические показатели $\chi[\boldsymbol{x}(t)]$, удовлетворяющие неравенству
\[
\chi[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant-\alpha<0 .
\]
Аналогично определяется экспоненциальная устойчивость нетривиального решения. А именно, решение $\xi(t)$ экспоменциально устойчиво, если близкие к нему при $t=t_{0}$ решения $\boldsymbol{x}(t)$ удовлетворяют неравенству
\[
\|\boldsymbol{x}(t)-\xi(t)\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)-\xi\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)} \quad\left(t \geqslant t_{0}\right),
\]
где $N$ и $\alpha$ – некоторые положительные постоянные.
Лемма. Если тривиальное решение однородной линейной си. стемы
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]
с постоянной матрицей $A$ асимптотически устойчиво при $t \rightarrow+\infty$, то эта система экспоненциально устойчива, т. е. каждое ее решение экспоненциально устойтиво пги $t \rightarrow+\infty$.
Доказательство. Как известно (гл. II, § 8), тривиальное решение $\xi=0$ системы (4.8.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все характеристические корни $\lambda_{p}(A)$ матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные части:
\[
\operatorname{Re} \lambda_{p}(A)<0 \quad(p=1, \ldots, n) .
\]
Положим
\[
\min _{p} \operatorname{Re} \lambda_{p}(A)<-\alpha<0 .
\]
Тогда при $t \geqslant 0$ получим (гл. $\mathrm{I}, \S 13$ )
\[
\left\|e^{t A}\right\| \leqslant N e^{-\alpha t},
\]
где $N$-некоторая положительная постоянная. Из уравнения (4.8.2) для любого решения $\boldsymbol{x}(t)$ находим
\[
\boldsymbol{x}(t)=e^{\left(t-t_{0}\right) A} x\left(t_{0}\right),
\]
где начальный момент $t_{0}$ произволен.
Следовательно, на основании (4.8.3) при $t \geqslant t_{0}$ получаем
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)} .
\]
Отсюда для любого решения $\xi(t)$ однородной системы (4.8.2), учитывая, что разность $\boldsymbol{x}(t)-\xi(t)$ есть решение этой системы, при $t \geqslant t_{0}$ будем иметь
\[
\|\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{\xi}(t)\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)-\xi\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)},
\]
что и требовалось доказать.
Замечание. Для линейной системы с переменными коэффициентами из асимптотической устойчивости ее тривиального решения, вообще говоря, не следует экспоненциальная устойчивость.
Пример. Для скалярного уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=-\frac{x}{t} \quad(1 \leqslant t<\infty)
\]
его общее решение имеет вид
\[
x(t)=\frac{x(1)}{t} .
\]
Таким образом, решение $\xi=0$ этого уравнения асимптотически устойчиво при $t \rightarrow \infty$, однако не является экспоненциально устойчивы.
Теорема. Если существует положительно определенная квадратичная форма
\[
V(x)=(A x, x),
\]
производная которой $\dot{V}(\boldsymbol{x})$ в силу приведенной системь (4.7.1)
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t}=\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}) \quad(\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{0})=\mathbf{0})
\]
удовлетворяет неравенству
\[
\begin{array}{c}
\dot{V}(\boldsymbol{x}) \leqslant W(\boldsymbol{x}) \\
\left(t \leqslant t_{0} ; \quad\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h<H\right),
\end{array}
\]
$2 \hat{e}$
\[
W(\boldsymbol{x})=-(B \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})
\]
– отрицательно определенная квадратичная форма ( $A$ и $B$ постоянные симметрические матрицы), то тривиальное решение $\xi=0$ этой системь экспоненциально устойчиво при $t \rightarrow+\infty$. Доказательство (см. [16]). На основании формул (4.8.4) и (4.8.6) получаем
\[
a(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) \leqslant V(\boldsymbol{x}) \leqslant a_{1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})
\]
I!
\[
b(x, x) \leqslant-W(x) \leqslant b_{1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}),
\]
FIe
\[
a=\min _{p} \lambda_{p}(A), \quad a_{1}=\max _{p} \lambda_{p}(A)
\]
i. соответственно,
\[
b=\min _{p} \lambda_{p}(B), \quad b_{1}=\max _{p} \lambda_{p}(B),
\]
причем $0<a \leqslant a_{1}$ и $0<b \leqslant b_{1}$.
Отсюда на основании неравенства (4.8.5) выволим
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-b(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) \leqslant-\frac{b}{a_{1}} V(\boldsymbol{x}) .
\]
Интегрируя это неравенство, будем иметь при $t \geqslant t_{\theta}$
\[
V(\boldsymbol{x}(t)) \leqslant V\left(\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right) e^{-2 \alpha\left(t-t_{0}\right)},
\]
где $x=\frac{b}{2 a_{1}}$. Далєе, используя евклидову норму
\[
\|x\|^{2}=(x, x),
\]
при $t \geqslant t_{0}$ находим
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|^{2} \leqslant \frac{1}{a} V(x(t)) \leqslant \frac{a_{1}}{a}\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|^{2} e^{-2 a\left(t-t_{0}\right)},
\]
т. е. при $t \geqslant t_{0}$,
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)},
\]
rде
\[
N=\sqrt{\frac{\overrightarrow{a_{1}}}{a}}
\]
и $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{\theta}\right)\right\|$ достаточно мала.
