Определение. Тривиальное решение $\xi =0$ системы (4.7.1) называется экспоненциально устойчибым при $t\to +\mathrm{\infty }$ (см. [16]), если для каждого решения $\mathit{x}(t)\equiv \mathit{x}(t;t_0,{\mathit{x}}_0)$ этой системы в некоторой области $t_0⩽t<\mathrm{\infty },\Vert \mathit{x}\Vert ⩽h<H$ справедливо неравенство
$$\Vert \mathit{x}(t)\Vert ⩽N\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert e^{-\alpha (t-t_0)}(t⩾t_0),$$

где $N$ и $\alpha$ — положительные постоянные, не зависящие от выбора решения $\mathit{x}(t)$.

Легко видеть, что из экспоненциальной устойчивости решения $\xi =0$ следует его асимптотическая устойчивость. Действительно, полагая
$$\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert <\frac{\epsilon }{N}=\delta ,$$

где $\epsilon >0$ произвольно, из неравенства (4.8.1) имеем
$$\Vert \mathit{x}(t)\Vert <\epsilon \text{ при }t⩾t_0,$$
т. е. решение $\xi =0$ устойчиво по Ляпунову. Кроме того, очевидно,
$$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}x(t)=0,$$

если только $\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert <h$.
Если неравенство (4.8.1) справедливо для всех точек $\mathit{x}\left(t_0\right)\in$
$\in {\mathcal{R}}_{\mathit{x}}^n$, то имеет место асимптотическая устойчивость в целом.
Из неравенства (4.8.1) следует, что если тривиальное решение
$\xi =0$ системы (4.7.1) экспоненциально устойчиво, то близкие
к нему решения $\mathit{x}(t)$ этой системы имеют характеристические показатели $\chi [\mathit{x}(t)]$, удовлетворяющие неравенству
$$\chi [\mathit{x}(t)]⩽-\alpha <0.$$

Аналогично определяется экспоненциальная устойчивость нетривиального решения. А именно, решение $\xi (t)$ экспоменциально устойчиво, если близкие к нему при $t=t_0$ решения $\mathit{x}(t)$ удовлетворяют неравенству
$$\Vert \mathit{x}(t)-\xi (t)\Vert ⩽N\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)-\xi \left(t_0\right)\Vert e^{-\alpha (t-t_0)}(t⩾t_0),$$

где $N$ и $\alpha$ — некоторые положительные постоянные.
Лемма. Если тривиальное решение однородной линейной си. стемы
$$\frac{dx}{dt}=Ax$$

с постоянной матрицей $A$ асимптотически устойчиво при $t\to +\mathrm{\infty }$, то эта система экспоненциально устойчива, т. е. каждое ее решение экспоненциально устойтиво пги $t\to +\mathrm{\infty }$.

Доказательство. Как известно (гл. II, § 8), тривиальное решение $\xi =0$ системы (4.8.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все характеристические корни ${\lambda }_p(A)$ матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные части:
$$\mathrm{Re}{\lambda }_p(A)<0(p=1,\dots ,n).$$

Положим
$$\underset{p}{min}\mathrm{Re}{\lambda }_p(A)<-\alpha <0.$$

Тогда при $t⩾0$ получим (гл. $\mathrm{I},\mathrm{\S }13$ )
$$\Vert e^{tA}\Vert ⩽N{e}^{-\alpha t},$$

где $N$-некоторая положительная постоянная. Из уравнения (4.8.2) для любого решения $\mathit{x}(t)$ находим
$$\mathit{x}(t)=e^{(t-t_0)A}x\left(t_0\right),$$

где начальный момент $t_0$ произволен.
Следовательно, на основании (4.8.3) при $t⩾t_0$ получаем
$$\Vert \mathit{x}(t)\Vert ⩽N\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert e^{-\alpha (t-t_0)}.$$

Отсюда для любого решения $\xi (t)$ однородной системы (4.8.2), учитывая, что разность $\mathit{x}(t)-\xi (t)$ есть решение этой системы, при $t⩾t_0$ будем иметь
$$\Vert \mathit{x}(t)-\mathit{\xi }(t)\Vert ⩽N\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)-\xi \left(t_0\right)\Vert e^{-\alpha (t-t_0)},$$

что и требовалось доказать.
Замечание. Для линейной системы с переменными коэффициентами из асимптотической устойчивости ее тривиального решения, вообще говоря, не следует экспоненциальная устойчивость.
Пример. Для скалярного уравнения
$$\frac{dx}{dt}=-\frac{x}{t}(1⩽t<\mathrm{\infty })$$

его общее решение имеет вид
$$x(t)=\frac{x(1)}{t}.$$

Таким образом, решение $\xi =0$ этого уравнения асимптотически устойчиво при $t\to \mathrm{\infty }$, однако не является экспоненциально устойчивы.

Теорема. Если существует положительно определенная квадратичная форма
$$V(x)=(Ax,x),$$

производная которой $\dot{V}(\mathit{x})$ в силу приведенной системь (4.7.1)
$$\frac{d\mathit{x}}{dt}=\mathit{X}(t,\mathit{x})(\mathit{X}(t,\mathbf{0})=\mathbf{0})$$

удовлетворяет неравенству
$$\begin{array}{c}\dot{V}(\mathit{x})⩽W(\mathit{x})\\ (t⩽t_0;\Vert \mathit{x}\Vert ⩽h<H),\end{array}$$
$2\hat{e}$
$$W(\mathit{x})=-(B\mathit{x},\mathit{x})$$
— отрицательно определенная квадратичная форма ( $A$ и $B$ постоянные симметрические матрицы), то тривиальное решение $\xi =0$ этой системь экспоненциально устойчиво при $t\to +\mathrm{\infty }$. Доказательство (см. [16]). На основании формул (4.8.4) и (4.8.6) получаем
$$a(\mathit{x},\mathit{x})⩽V(\mathit{x})⩽a_1(\mathit{x},\mathit{x})$$

I!
$$b(x,x)⩽-W(x)⩽b_1(\mathit{x},\mathit{x}),$$

FIe
$$a=\underset{p}{min}{\lambda }_p(A),a_1=\underset{p}{max}{\lambda }_p(A)$$
i. соответственно,
$$b=\underset{p}{min}{\lambda }_p(B),b_1=\underset{p}{max}{\lambda }_p(B),$$

причем $0<a⩽a_1$ и $0<b⩽b_1$.
Отсюда на основании неравенства (4.8.5) выволим
$$\frac{dV}{dt}⩽-b(\mathit{x},\mathit{x})⩽-\frac{b}{a_1}V(\mathit{x}).$$

Интегрируя это неравенство, будем иметь при $t⩾t_{\theta }$
$$V(\mathit{x}(t))⩽V\left(\mathit{x}\left(t_0\right)\right)e^{-2\alpha (t-t_0)},$$

где $x=\frac{b}{2a_1}$. Далєе, используя евклидову норму
$$\Vert x{\Vert }^2=(x,x),$$

при $t⩾t_0$ находим
$$\Vert \mathit{x}(t){\Vert }^2⩽\frac{1}{a}V(x(t))⩽\frac{a_1}{a}{\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert }^2{e}^{-2a(t-t_0)},$$
т. е. при $t⩾t_0$,
$$\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert ⩽N\Vert \mathit{x}\left(t_0\right)\Vert e^{-\alpha (t-t_0)},$$
rде
$$N=\sqrt{\frac{\overrightarrow{a_1}}{a}}$$

и $\Vert \mathit{x}\left(t_{\theta }\right)\Vert$ достаточно мала.