Лемма. Пусть для кеадратной $(n \times n)$-матриць $A(t) \in$ $\in C\left[t_{0}, \infty\right)$ существует конечный предел на бесконечности
\[
A(\infty)=\lim _{t \rightarrow \infty} A(t),
\]

причем характеристические числа предельной матрицы $A(\infty)$ простье. Тогда при $t \geqslant T$, где $T$ достаточно велико, существует ограниченная матрица $C(t) \in C[T, \infty)$, имеющая ограниченную обратную матрицу $C^{-1}(t) \in \bar{C}[T, \infty$ ), с помощью которой матрица $A(t)(t \leqslant t<\infty)$ приводится к диагональному виду
\[
A(t)=C^{-1}(t) \operatorname{diag}\left[\lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{n}(t)\right] C(t) .
\]

Если, сверх того, матрица $A\left({ }^{t}\right) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$ и $A(t)$ абсолютно интегрируема на $\left[t_{0}, \infty\right)$, т. е. $A(t) \in L\left[t_{0}, \infty\right)$, то $C(t), C^{-1}(t) \in$ $\in C^{1}[T, \infty)$ и $\dot{C}(t), \frac{d}{d t}\left[C^{-1}(t)\right] \in L[T, \infty)$.

Доказательство (см. 6). 1) Для матрицы $A(t)$ рассмотрим ее характеристическое уравнение
\[
\Delta(\lambda, t) \equiv \operatorname{det}[E \lambda-A(t)]=0,
\]

и пусть $\lambda_{k}=\lambda_{k}(t) \quad(k=1, \ldots, n)$ – корни этого уравнения. Так как собственные числа предельной матрицы $A(\infty)$ различны, то при $t \geqslant T$ функции $\lambda_{k}(t)$ также будут различны, т. е. уравнение (5.8.2) в области $t_{0} \leqslant T \leqslant t<\infty$ не имеет кратных корней. Дальнейшее рассмотрение мы будем проводить в области $t \geqslant T$. Функции $\lambda_{k}(t)(k=1, \ldots, n)$ будем считать непрерывными ветвями многозначной функции, определяемой уравнением (5.8.2).

Пусть $C=\left[c_{j k}(t)\right]$ – неособенная матрица, приводящая матрицу $A(t)$ к диагональному виду, т. е.
\[
C^{-1}(t) A(t) C(t)=\Lambda(t)
\]

где
\[
\Lambda(t)=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{n}(t)\right] .
\]

Так как
\[
A(t) C(t)=C(t) \Lambda(t),
\]

то элементы матрицы $C(t)$ определяются из системы уравнений
\[
\sum_{s} a_{j s}(t) c_{s k}(t)=c_{j k}(t) \lambda_{k}(t)
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\sum_{s}\left[\delta_{j_{s}} \lambda_{k}(t)-a_{j_{s}}(t)\right] c_{s k}(t)=0 \\
(j=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $\delta_{j s}-$ символ Кронекера.

Если через
\[
\boldsymbol{c}^{(k)}=\operatorname{colon}\left[c_{1 k}(t), \ldots, c_{n k}(t)\right] \quad(k=1, \ldots, n)
\]

обозначить собственные векторы матрицы $A(t)$, то систему (5.8.4) сокращенно можно записать следующим образом:
\[
\left[E \lambda_{k}(t)-A(t)\right] \boldsymbol{c}^{(k)}(t)=0,
\]

где $\operatorname{det}\left[E \lambda_{k}(t)-A(t)\right]=\Delta\left[\lambda_{k}(t), t\right] \equiv 0$. Таким образом, собственные векторы $\boldsymbol{c}^{(k)}(t)$ ортогональны к матрице $E \lambda_{k}(t)-A(t)$.

Јегко видеть, что каждая из матриц $E \lambda_{k}(t)-A(t)(k=1, \ldots, n)$ при $T \leqslant t<\infty$ имеет ранг $r=n-1$.

Действительно, обозначим через $\Delta_{j k}(\lambda, t)$ алгебраические дополнения характеристического определителя $\Delta(\lambda, t)$, полученные в результате вычеркивания $j$-й строки и $k$-го столбца его. Применяя известное правило дифференцирования определителя, будем иметь
\[
\left.\frac{\partial \Delta}{\partial \lambda}=\frac{\partial}{\partial \lambda} \operatorname{det} \delta_{j k} \lambda-a_{j k}(t)\right]=\sum_{s} \Delta_{s s}(\lambda, t) .
\]

Так как корни $\lambda_{k}(t)$ простые, то $\frac{\partial \Delta}{\partial \lambda}
eq
eq 0$ при $\lambda=\lambda_{k}(k)(k=1, \ldots, n)$. Следовательно, для каждого корня $\lambda_{k}(t)$ найдется диагональный минор
\[
\Delta_{p p}\left[\lambda_{k}(t), t\right]
eq 0 \text { при } T \leqslant t \leqslant \infty,
\]

где номер $p$, вообще говоря, зависит от $k$. Число $p$, для которого выполнено неравенство (5.8.6), можно выбрать не зависящим от $t$. Действительно в силу непрерывности алгебраических дополнений $\Delta_{j k}(\lambda, t)$ и корней $\lambda_{k}(t)$, если для некоторого $p$ выполнено неравенство
\[
\Delta_{p p}\left[\lambda_{k}(\infty), \infty\right]=\lim _{t \rightarrow \infty} \Delta_{p p}\left[\lambda_{k}(t), t\right]
eq 0,
\]

то при этом же $p$ будут справедливы также неравенства
\[
\Delta_{p p}\left[\lambda_{k}(t), t\right]
eq 0 \text { для } T \leqslant t<\infty,
\]

где $T$ достаточно велико. Но определитель $\Delta_{p p}\left[\lambda_{k}(t), t\right]$ является минором ( $n-1)$-го порядка матрицы $E \lambda_{k}(t)-A(t)$, и, значит, эта матрица имеет ранг $n-1(k=1, \ldots, n)$.

Из линейной алгебры известно, что тогда ненулевые решения системы (5.8.5) пропорциональны соответствующим алгебраическим дополнениям:
\[
\frac{c_{1 k}(t)}{\Delta_{p 1}\left[\lambda_{k}(t), t\right]}=\frac{c_{\mathrm{g}_{k}}(t)}{\Delta_{p 2}\left[\lambda_{k}(t), t\right]}=\ldots=\frac{c_{n k}(t)}{\Delta_{o n}\left[\lambda_{k}(t), t\right]},
\]

где $p=p_{k}$. Выбрав равным единице коэффициент пропорциональности в этих отношениях, получим
\[
c_{j k}(t)=\Delta_{p j}\left[\lambda_{k}(t), t\right]
\]
$(j=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, n$ ), причем построенные таким образом векторы $\boldsymbol{c}^{(k)}(k=1, \ldots, n)$ линейно независимы при $T \leqslant t \leqslant \infty$.

Таким образом, в качестве элементов матрицы $C(t)$, приводящей матрицу $A(t)$ к диагональному виду, можно взять целые рациональные функции характеристических корней $\lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{n}(t)$ и элементов $a_{s r}(t)$ матрицы $A(t)$ :
\[
c_{j k}(t)=P_{j k}\left[\lambda_{k}(t), a_{s t}(t)\right]
\]

и, следовательно,
\[
C(t) \in C[T, \infty] \text {. }
\]

Пусть $A(\infty)=\left[a_{j k}(\infty)\right]$ и $\lambda_{k}(\infty)$ – ее характеристические корни. При $t \rightarrow \infty$ имеем
\[
a_{j k}(t) \rightarrow a_{j k}(\infty)
\]

и, следовательно,
\[
\lambda_{k}(t) \rightarrow \lambda_{k}(\infty) \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Так как корни $\lambda_{k}(\infty)$ простые, то при $t \geqslant T$, где $T$ достаточно велико, корни $\lambda_{k}(t)$ будут содержаться внутри кругов $\mid \lambda-\lambda_{k}(\infty) ; \leqslant \rho_{k}<\infty \quad(k=1, \ldots, n)$ комплексной плоскости $\lambda$ (рис. 54), попарно расположенных вне друг друга. Отсюда при $t \geqslant T$ имеем $\left|a_{s r}(t)\right| \leqslant c_{1}, \quad\left|\lambda_{k}(t)\right| \leqslant c_{2}$

и, следоватетьно, из формулы (5.8.8) выводим
\[
\|C(t)\| \leqslant c_{3},
\]

где через $c_{p}(p=1,2,3, \ldots$ )
Рис. 54.
здесь и в дальнейшем обо-
значены некоторые положительнье постоянные. Далее, предельные значения собственных векторов
\[
c^{(k)}(\infty)=\lim _{t \rightarrow \infty} c^{(k)}(t)
\]

являются, очевидно, собственными векторами предельной матрицы $A(\infty)$, причем ввиду их линейной независимости имеем

Отсюда
\[
|\operatorname{det} C(t)| \geqslant c_{3} \text { при } t \geqslant T \text {. }
\]

Так как
\[
C^{-1}(t)=\frac{1}{\operatorname{det} C(t)}\left\{C_{k j}(t)\right) \in C[T, \infty),
\]

то из неравенств $(5.8 .10)$ и (5.8.11) получаем
\[
\left\|C^{-1}(t)\right\| \leqslant c_{6} \text { при } t \geqslant T .
\]
2) Пусть теперь $A(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$. Так как корни $\lambda_{k}(t)$ простые, то существуют непрерывные производные $\lambda_{k}^{\prime}(t)$. $(k=1, \ldots, n)$, которые можно определить из уравнений
\[
\Delta_{\lambda}^{\prime}\left[\lambda_{k}(t), t\right] \frac{d \lambda_{k}}{d t}+\Delta_{t}^{\prime}\left[\lambda_{k}(t), t\right]=0 .
\]

Ввиду того, что $\Delta_{\lambda}^{i}\left[\lambda_{k}(\infty), \infty\right]
eq 0$,
\[
\left|\Delta_{\lambda}^{\prime}\left[\lambda_{k}(t), t\right]\right| \geqslant c_{7}>0 \text { при } t \geqslant T .
\]

Кроме того, имеем
\[
\begin{array}{l}
=-\sum_{s=1}^{n} \sum_{r=1}^{n} a_{s r}^{\prime}(t) \Delta_{s r}(t) \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда, учитывая формулу (5.8.8) и неравенства (5.8.9), из формулы (5.8.13) получаем
\[
\left|\frac{d \lambda_{k}}{d t}\right| \leqslant c_{8} \sum_{s, r}\left|a_{s t}^{\prime}(t)\right| \leqslant c_{9}\left\|\mid A^{\prime}(t)\right\| \cdot
\]

Следовательно, если $A^{\prime}(t) \in L\left[t_{\mathrm{c}}, \infty\right)$, то
\[
\int_{T}^{\infty}\left|\frac{d \lambda_{k}}{d t}\right| d t<\infty,
\]
т. е. $\lambda_{j}^{\prime}(t) \in L[T, \infty)(k=1, \ldots, n)$.
На основании формулы (5.8.8) при $t \geqslant T$ будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\left|c_{j k}^{\prime}(t)\right| \leqslant c_{10}\left|\lambda_{k}^{\prime}(t)\right|+c_{11}\left\|A^{\prime}(t)\right\| \\
(j, k=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Гloэrony
\[
\int_{T}^{\infty}\|(t)\| d t<\infty
\]

и $C(t) \in L[T, \infty)$. Наконец, в силу неравенства (5.8.11), мы получаем также
\[
C^{-1}(t) \in C^{1}[T, \infty) \text { и } \frac{d}{d t}\left[C^{-1}(t)\right] \in L[T, \infty) .
\]

Лемма доказана.
Замечание. Из доказательства следует, что если матрица $A(t)$ имеет абсолютно интегрируемую на $\left[t_{0}, \infty\right)$ производную $A^{\prime}(t)$, то ее характеристические корни $\lambda_{k}(t)(k=1, \ldots, n)$ обладают также абсолютно интегрируемыми на $[T, \infty)$ производными $\lambda_{k}^{\prime}(t)$.

Ограниченную неособенную матрицу $C(t) \in C^{1}[T, \infty)$, имеющую обратную матрицу $C^{-1}(t)$ с теми же свойствами для крат кости, будем называть ресулярной на $[T, \infty$ ).

Следствие. Переменную матрицу $A(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$, имеюцую предел на бесконечности с простыми собственными значениями, $с$ помоцью ресулярной матрицы $C(t)$ в области $t \geqslant T \geqslant t_{0}$ (где. $T$ достаточно велико) можно привести к диагональному виду.

Если матрица $\dot{A}(t)$ абсолютно интесрируема на $\left[t_{0}, \infty\right)$, то матриъь $\dot{C}(t)$ и $\frac{d}{d t}\left[C^{-1}(t)\right]$ также абсолютно интегрируемы на $[T, \infty)$.