Определение 1. Матрица
\[
F(x)=\left(f_{j k}(x)\right)(-\infty<x<\infty)
\]

называется почти периодической, если все элементы ее $f_{j k}(x)$ являются п. п. функциями.

Используя норму матрицы (гл. I, § 4), можно дать другое определение п. п. матрицы.

Лемма. Матрица $F(x)$ является почти периодической тогда и только тогда, когда для любого в >0 существует относительно плотное множество чисел $\tau$ ( $\varepsilon$-почти периоды матрицы) таких, что
\[
\|F(x+\tau)-F(x)\|<\varepsilon
\]

при $-\infty<x<\infty$ (еде под нормой понимается I, II или III норма матрицы, гл. I, § 4).

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условия (16.2), причем доказательство будем проводить для III нормы матрицы:
\[
\|F(x)\|=\sqrt{\sum_{j, k}\left|f_{j k}(x)\right|^{2}} .
\]

Доказательства для остальных норм аналогичны.
Пусть матрица $F(x)$ типа $n \times m$ и $\varepsilon>0$ произвольно. Для конечной совокупности п. п. функций $f_{j k}(x)$ существует относительно плотное множество $\{\tau\}$ общих $\frac{\varepsilon}{\sqrt{n m}}$-почти периодов ( $\S 3$, лемма 1), т. е.
\[
\left|f_{j k}(x+\tau)-f_{j k}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n m}}
\]

для $\forall j, k$ и $-\infty<x<\infty$.
Отсюда
\[
\begin{aligned}
\|F(x+\tau)-F(x)\| & = \\
& =\sqrt{\sum_{j, k}\left|f_{j k}(x+\tau)-f_{j k}(x)\right|^{2}}<\sqrt{n m \cdot \frac{\varepsilon^{2}}{n m}}=\varepsilon .
\end{aligned}
\]

Таким образом, неравенство (16.2) выполнено.
2) Докажем достаточность условия. Предположим, что для некоторого относительно плотного множества $\{\tau\}$, зависящего от произвольного числа $\varepsilon>0$, имеет место неравенство (16.2). Тогда
\[
\left|f_{j k}(x+\tau)-f_{j k}(x)\right| \leqslant\|F(x+\tau)-F(x)\|<\varepsilon
\]

для любых $j$ и $k$. Следовательно, все функции $f_{j k}(x)$ почти периодические и, значит, матрица $F(x)$ также почти периодическая.
Лемма доказана.
Из определения 1 легко следует, что если матрицы $F(x)$ и $G(x)$ почти периодические, то матрицы $A F(x), F(x) A$ ( $A$ – постоянная матрица), $F(x)+G(x), F(x) G(x), F^{T}(x), F^{*}(x)\|F(x)\|-$ также почти периодические.

Естественно также для п. п. матрицы $F(x)$ устанавливается понятие ряда Фурье
\[
F(x) \propto \sum_{\lambda} A(\lambda) e^{i \lambda x},
\]

где
\[
A(\lambda)=M\left\{F(x) e^{-i \lambda x}\right\} \text {. }
\]
Для непрерывной матрицы легко обобщается понятие нормальности.

Определение 2. Матрица $F(x) \in C(-\infty, \infty)$ называется нормальной, если из любой последовательности $F\left(x+h_{1}\right)$, $F\left(x+h_{2}\right), \ldots, F\left(x+h_{k}\right), \ldots$
\[
\left(h_{k} \in(-\infty, \infty) ; \quad k=1,2, \ldots\right)
\]

можно выбрать подпоследовательность
\[
F\left(x+h_{p_{1}}\right), \quad F\left(x+h_{p_{2}}\right), \ldots, \quad F\left(x+h_{p_{k}}\right), \ldots,
\]

равномерно сходящуюся на всей действительной оси, т. е. существует матрица $\Phi(x)$ такая, что
\[
\left\|F\left(x+h_{p_{k}}\right)-\Phi(x)\right\|<\varepsilon
\]

при $k>N(\varepsilon)$ и $-\infty<x<\infty$, причем, очевидно, $\Phi(x) \in$ $\in C(-\infty, \infty)$.

Обобщенная теорема Бохнера (см. [73]). Для почти периодичности непрерывной матриць $F(x)$ необходимо и достаточно, чтобы она была нормальной.
Доказательство. 1) Пусть $(n \times m)$-матрица
\[
F(x)=\left(f_{j k}(x)\right)
\]

почти периодическая и
\[
\left\{F\left(x+h_{p}\right)\right\}=\left\{\left(f_{j k}\left(x+h_{p}\right)\right)\right\} \quad(p=1,2, \ldots)
\]
– произвольная последовательность ее сдвигов вдоль действительной оси. Так как все функции $f_{j k}(x)$ почти периодические, то в силу теоремы Бохнера ( $(17)$ из последовательности $\left\{f_{11}\left(x+h_{p}\right)\right\}$ можно выделить равномерно сходящуюся последовательность $\left\{f_{11}\left(x+h_{11, p}\right)\right\}$.

Далее, из последовательности $\left\{f_{19}\left(x+h_{11, p}\right)\right\}$ выделяем равномерно сходящуюся подпоследовательность $\left\{f_{19}\left(x+h_{12, p}\right)\right\}$, причем, очевидно, подпоследовательность $\left\{f_{11}\left(x+h_{12, p}\right)\right\}$ также равномерно сходится. Так как число функций $f_{j k}(x)$ конечно, то, продолжая этот процесс, мы в конце концов получим подпоследовательность $h_{p}^{*}=h_{n m, p}(p=1,2, \ldots)$, для которой все подпоследователіности
\[
\left\{f_{j k}\left(x+h_{p}^{*}\right)\right\}(j=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, m ; p=1,2, \ldots)
\]

равномерно сходятся на оси $(-\infty, \infty)$.
Следовательно, существует $(n \times m)$-матрица $\Phi(x)$ такая, что
\[
F\left(x+h_{p}^{*}\right) \underset{x}{\rightarrow} \Phi(x) \text { при } p \rightarrow \infty,
\]

причем предельная матрица $\Phi(x)$ почти периодическая.

2) Пусть теперь матрица $F(x)=\left[f_{j k}(x)\right]$ нормальная. Тогда из теоремы Бохнера непосредственно вытекает, что все функции $f_{j k}(x)$ почти периодические. Отсюда на основании определения 1 получаем, что матрица $F(x)$ также почти периодическая.

В дальнейшем нам придется иметь дело с семейством почти периодических по $x$ матриц $F(x, y)$, зависящих от параметра $y$.

Определение 3. Матрица $F(x, y)$ называется почти neриодической по $x$ равномерно относительно параметра $y \in Y$, если для каждого $\varepsilon>0$ существует относительно плотное множество общих, не зависящих от $y$, $\varepsilon$-почти периодов $\tau=\tau_{F}(\varepsilon)$ семейства $\{F(x, y)\}$, т. е. при всех $x \in(-\infty, \infty)$ и любом $y \in Y$ имеем
\[
\|F(x+\tau, y)-F(x, y)\|<\varepsilon .
\]