Лемма. Для каждой почти периодической функции $f(x)$ ее спектральная функция
\[
a(\lambda)=M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}
\]

отлична от нуля лишь для конечного или счетного множества значений аргумента $\lambda$.
Доказательство. Пусть $\Lambda=\{\lambda: a(\lambda)
eq 0\}$. Очевидно,
\[
\Lambda=\bigcup_{k=1}^{\infty}\left\{\lambda: \frac{1}{k} \leqslant|a(\lambda)|<\frac{1}{k-1}\right\} .
\]

Рассмотрим те значения $\lambda$, для которых
\[
|a(\lambda)| \geqslant \frac{1}{k}
\]
$(k=1,2, \ldots)$. В силу неравенства Бесселя (§8), если это множество не пусто, то оно содержит лишь конечное число элементов. А именно, если $\left|a\left(\lambda_{s}\right)\right| \geqslant \frac{1}{k}$
\[
\begin{array}{l}
(s=1, \ldots, N) \text {, то } \\
\quad \frac{N}{k^{2}} \leqslant \sum_{s=1}^{N}\left|a\left(\lambda_{s}\right)\right|^{2} \leqslant M\left\{|f(x)|^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
N \leqslant k^{2} M\left\{|f(x)|^{2}\right\}<\infty .
\]

Таким образом, $\Lambda$ является
Рис. 61.

объединением счетного множестза
конечных множеств и, следовательно, мощность его не более чем счетна.
Итак,
\[
a(\lambda)=0,
\]

за исключеннем, быть может, конечной или счетной последовательности значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ (рис. 61).

Определение 1. Те знатения $\lambda$, для которых $a(\lambda)
eq 0$, представляющие собой конечную пли счетную последовательность действительных чисел $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$, называются показателями Фурье соответствующей п. п. функции $f(x)$, а числа
\[
a\left(\lambda_{n}\right)=A_{n}
\]

– ее коэффициентами фырье. На основании формулы (9.1) имеем
\[
A_{n}=M\left\{f(x) e^{-i n_{n} x^{x}}\right\} .
\]

Совокупность всех показателей Фурье п. п. функции будем называть ее спектром.

Определение 2. Рядом Фурье п. п. функции $f(x)$ называется конечный или бесконечный тригонометрический ряд
\[
f(x) \propto \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x},
\]

где $\left\{\lambda_{n}\right\}$ – спектр функции $f(x)$ и $A_{n}$, определяемые формулой (9.2) $(n=1,2, \ldots)$, – коэффициенты фурье. Порядок членов ряда Фурье п. п. функции, вообще говоря, произволен и зависит от упорядочения ее спектра $\left\{\lambda_{n}\right\}$. Заметим, что для п. п. функции $f(x) \equiv 0$ (и только для такой, как будет показано ниже (§14)) спектр функции представляет собой пустое множество и ее ряд Фурье формально не определен. Обобщая понятие ряда Фурье п. п. функции, разрешим дополнять сумму (9.3) любым количеством нулевых членов вида $0 \cdot e^{i \lambda x}$ и тогда будем считать, что п. п. функции $f(x) \equiv 0$, с пустым спектром, соответствует нулевой ряд Фурье
\[
0 \propto \sum_{0} 0 \cdot e^{i \lambda_{n} x}
\]

где счетная совокупность $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ произвольна.
Ряд Фурье п. п. функции $f(x)$ иногда выгодно записывать в виде континуальной суммы:
\[
f(x) \propto \sum_{\lambda} a(\lambda) e^{i \lambda x} \quad(-\infty<\lambda<\infty),
\]

без явного выделения показателей Фурье $\lambda_{n}$, где $a(\lambda)$ определяется формулой (9.1). Здесь подразумевается, что $a(\lambda)=0$ для $\lambda$, не равного показателю Фурье функции, $f(x)$; с этой, более общей точки зрения числа $a(\lambda)$ будем также называть коэффициентами Фурье п. п. функции $f(x)$. Свободный член ряда Фурье представляет собой среднее значение функции, т. е. $a(0)=M\{f(x)\}$.

Заметим, что члены ряда Фурье (9.4) являются векторными ортогональными проекциями п. п. функции $f(x)$ на соответствующие орты $e^{i \lambda x}$.

Замечание. Для непрерывной чисто периодической функции $f(x)$ периода $T$ ряд Фурье (9.3) совпадает с ее обычным рядом Фурье:
\[
f(x) \curvearrowright \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_{n} e^{\frac{2 n \pi x i}{T}},
\]

где
\[
\alpha_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-\frac{2 n \pi x i}{7}} d x
\]
$(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, если, конечно, не учитывать порядок членов ряда и пропуск членов ряда с нулевыми козффициентами. Действительно, для любого нелого $m$ имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{m \bar{T}} \int_{0}^{m T} f(x) e^{i \lambda x} d x & =\frac{1}{m T} \sum_{v=1}^{m} \int_{(v-1, T}^{v} f(x) e^{-i \lambda x} d x= \\
& =\frac{1}{m T} \sum_{v=1}^{m} e^{-i \lambda(v-1) T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x= \\
& =\left\{\frac{1}{m} \sum_{v=1}^{m} e^{-i \lambda(v-1) T}\right\} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x .
\end{aligned}
\]

Отсюда, если $\lambda=\frac{2 n \bar{\pi}}{T}$ ( $n$-целое), то
\[
\frac{1}{m} \sum_{v=1}^{m} e^{-i \lambda_{1}(v-1) T}=1
\]

и поэтому
\[
M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{1}{m T} \int_{0}^{m T} f(x) e^{-i \lambda x} d x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x=a_{n} .
\]

Если же $\lambda
eq \frac{2 n \pi}{T}$, то $e^{-i \lambda T}
eq 1$. Следовательно,
\[
\frac{1}{m} \sum_{v=1}^{m} e^{-i \lambda \cdot(v-1) T}=\frac{1-e^{-i m\rangle \cdot T}}{m\left(1-e^{-i \lambda T}\right)} \rightarrow 0
\]

при $m \rightarrow \infty$, и таким образом,
\[
M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=0 .
\]

Теорема 1. Для каждой пючти периодической функции $f(x)$ сумма квадратов модулей ее козффициентов Фурье $A_{n}$ образует сходящийя ряд, причем справедливо неравенство Бесселя:
\[
\sum_{n}\left|A_{n}\right|^{2} \leqslant M\left\{|f(x)|^{2}\right\} \text {. }
\]

Теорема непосредственно вытекает из доказанного раньше неравенства Бесселя ( $§ 10$ ).

Следствие. Коэффициенти $A_{n}$ ряда Фурье почти периодической функции $f(x)$ стремятся к нулю при $n \rightarrow \infty$, m. е.
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} M\left\{f(x) e^{-i \lambda_{n} x}\right\}=0 .
\]

Замечание. Қак будет доказано выше, в формуле (9.5) всегда имеет место знак равенства.

Теорема 2. Равномерно сходящийся на оси $-\infty<x<\infty$ тригонометрический ряд
\[
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i \lambda_{n} x}
\]

является рядом Фурье своей суммы $f(x)$.
Доказательство. Отметим, прежде всего, что сумма $f(x)$ равномерно сходящегося ряда есть п. п. функция (§ 4, теорема 1). Далее, так как для равномерно сходящегося ряда п. п. функций знак среднего и знак суммирования перестановочны, то
\[
\begin{array}{l}
M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=M\left\{\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i\left(\lambda_{n}-\lambda\right) x}\right\}= \\
=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} M\left\{e^{i\left(\lambda_{n}-\lambda\right) x}\right\}=\left\{\begin{array}{ll}
c_{n}, & \text { если } \lambda=\lambda_{n} ; \\
0, & \text { если } \lambda
eq \lambda_{n} .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Следовательно, числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ образуют спектр функции $f(x)$, а $c_{n}(n=1,2, \ldots)$ являются ее соответствующими коэффициентами Фурье. Таким образом, ряд (9.6) есть ряд Фурье функции $f(x)$.
Следствие 1. Если
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|<\infty
\]

то тригонометрический ряд
\[
\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i \lambda n x}
\]

есть ряд Фурье своей суммы.
Следствие 2. Существуют почти периодические функции с произвольным счетным спектром.

Действительно, пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ – произвольное счетное множество вещественных чисел. Тогда сумма равномерно сходящегося ряда
\[
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i \lambda_{n} x}
\]

где $\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|<\infty$, будет представлять собой п. п. функцию с данным спектром $\left\{\lambda_{n}\right\}$.

Заметим, что структура спектра $\Lambda=\left\{\lambda_{n}\right\}$ п. п. функции может быть весьма сложной. Например, могут существовать конечные точки сгущения спектра, спектр может быть всюду плотным на действительной оси и т. п. Этим объясняется трудность изучения ряда Фурье п. п. функции по сравнению с чисто периодической функцией $F(x)$ данного периода $T=2 l$, имеющей ряд Фурье:
\[
F(x) \propto \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{\frac{i n \pi x}{l}},
\]

спектр которого представляет арифметическую прогрессию
\[
\lambda_{n}=\frac{n \pi}{l} \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) .
\]