Рассмотрим линейную дифференциальную систему
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t),
\]

где $A(t), f(t) \in C\left(I^{+}\right)$, и пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
– соответствующая однородная система.

Определение 1. Линейную систему ‘(2.6.1) будем называть устойчивой (или вполне неустойчивой), если все ее решения $\boldsymbol{y}=$ $=y(t)$ соответственно устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$.

Замечание. Как мы увидим ниже, решения линейных дифференциальных систем либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология не применима к нелинейным дифференциальным системам, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие – неустойчивыми.

Теорема 1. Для устойчивости линейной системы (2.6.1) при любом свободном члене $\boldsymbol{f}(t)$ необходимо и достаточна, чтобы было устойчивым тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}\left(t_{0}<t<\infty, t_{0} \in I^{+}\right)$соответствующей однородной системы (2.6.2).

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ есть некоторое устойчивое решение неоднородной системы (2.6.1). Это значит, что для каждого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для любого решения $y=\boldsymbol{y}(t)$ системы (2.6.1) при $t_{0} \leqslant t<\infty$ справедливо неравенство
\[
\|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)\|<\varepsilon,
\]

если только
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)-\eta\left(t_{0}\right)\right\|<\delta \text {. }
\]

Но, как известно,
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)
\]

является решением линейной однородной системы (2.6.2), причем любое ее решение $\boldsymbol{x}(t)$ может быть представлено в виде (2.6.5).

Таким образом, неравенства (2.6.3) и (2.6.4) эквивалентны следующим:
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|<\varepsilon \quad \text { при } \quad t_{0} \leqslant t<\infty,
\]

если только $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$.
Отсюда вытекает, что тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$ соответствующей однородной системы (2.6.2) устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$.

Замечание 1. Из доказательства следует, что устойчивость тривиального решения $\boldsymbol{x}_{0} \equiv 0$ однородной системы (2.6.2) вытекает из устойчивости хотя бы одного решения лижейной системы (2.6.1) при каком-нибудь свободном члене $f(t)$ (может быть, $f(t) \equiv 0 !)$.
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$ однородной системы (2.6.2) устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$. Тогда, если $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ – произвольное решение однородной системы такое, что
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|<\delta\left(\varepsilon, t_{0}\right),
\]

то
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|<\varepsilon \text { при } t_{0} \leqslant t<\infty .
\]

Следовательно, если $\eta(t)$ – некоторое решение линейной неоднородной системы (2.6.1) и $\boldsymbol{y}(t)$ – произвольное решение этой системы, то из неравенства
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)-\boldsymbol{\eta}\left(t_{0}\right)\right\|<\delta
\]

будет вытекать неравенство
\[
\|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)\|<\varepsilon \text { при } \quad t_{0} \leqslant t<\infty .
\]

А это и значит, что решение $\eta(t)$ устойчиво при $t \rightarrow \infty$.
Следствие 1. Линейная дифференциальная система устой$ч и в а, к о г д а$ устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое решение ее.

Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 1 и замечания 1 к. неңй.

Следствие 2. Линейная неоднородная дифференциальная система устойчива тогда и только тогда, когда устойчива соответствуюцая однородная дифференциальная система.
3амечание 2. Таким образом, поведение решений линейной неоднородной системы (2.6.1) с любым свободным членом $f(t)$ в смысле устойчивости такое же, как поведение решений соответствующей однородной системы (2.6.2).

Действительно, для неоднородной системы (2.6.1) поле интегральных кривых
\[
\boldsymbol{v}(t)=\tilde{\boldsymbol{y}}(t)+X(t) \boldsymbol{c},
\]

где $\dot{y}(t)$ – частное решение системы (2.6.1) и $X(t)$ – фундаментальная матрица решений однородной системы (2.6.2), топологически эквивалентно (с сохранением близости) полю интегральных кривых
\[
\boldsymbol{x}(t)=X(t) \boldsymbol{c}
\]

соответствующей однородной системы (2.6.2); разница только та, что в первом случае «ось» $y=\tilde{y}(t)$, вообе говоря, криволинейна (рис. 7), а во втором случае ось $\boldsymbol{x} \equiv \mathbf{0}$ прямолинейна (рис. 8).
Рис. 7.
Рис. 8.
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением устойчивости лишь однородных линейных дифференциальных систем.

Определение 2. Линейную дифференциальную систему (2.6.1) назовем равномерно устойчивой, если все решения $\boldsymbol{y}(t)$ этой системы равномерно устойчивы при $t \rightarrow+\infty$ относительно начального момента $t_{0} \in I^{+}(§ 3)$.

Теорема 2. Линейная дифференциальная система (2.6.1) равномерно устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$ соответствующей однородной системь (2.6.2) равномерно устойчиво при $t \rightarrow+\infty$.

Доказательство проводится с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были применимы при доказательстве теоремы 1.

Определение 3. Линейную дифференциальную систему (2.6.1) назовем асимптотически устойчивой, если все решения $\boldsymbol{y}(t)$ этой системы асимптотически устойчивы при $t \rightarrow+\infty$.

Теорема 3. Линейная дифференциальная система (2.6.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$ соответствующей однородной системы (2.6.2) асимптотически устойчиво при $t \rightarrow+\infty$.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, что разность двух решений линейной неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы (формула (2.6.5)).

Следствие. Для асимптотической устойчивости линейной неоднородной дифференциальной системы (2.6.1) при любом свободном члене $f(t)$ необходимо и достаточно, чтобы была асимптотически устойчивой соответствующая однородная система (2.6.2).