Мы переходим теперь к изложению основных положений второго метода Ляпунова исследования устойчивости движения. В этой главе мы ограничиваемся, однако, рассмотрением только установившихся движений. Мы будем, следовательно, предполагать, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
$$\frac{d{x}_s}{dt}=X_s(x_1,\dots ,x_n)(s=1,2,\dots ,n),$$

где $X_s$ не зависят явно от $t$.
В своем исследовании Ляпунов предполагал, что функции $X_s$ представляют собой степенные ряды, расположенные по степеням $x_1,\dots ,x_n$, сходящиеся в области
$$\left|x_s\right|⩽H(s=1,2,\dots ,n).$$

где $H$ — некоторая постоянная. Однако все положения второго метода Ляпунова и все связанные с ними доказательства полностью сохраняют силу и при более общих предположениях. Мы заменим поэтому предположение Ляпунова об аналитичности функций $X_s$ значительно более общим условием, а именно, мы будем только предполагать, что функции $X_s$ в области (6.2) чепрерывны и притом такие, что уравнения (6.1) для каждой системы начальных значений $x_s^0$ величин $x_s$, лежащих в области (6.2), допускают единственное решение.

Нам придется рассматривать в дальнейшем некоторые функции $V(x_1,\dots ,x_n)$ переменных $x_1,\dots ,x_n$, определенные в некоторой окрестности начала координат. Относительно этих функций мы будем всегда предполагать, что они однозначны, обрацаются в нуль при $x_1=\dots =x_n=0$ и обладают непрерывными частными производными.

Определение 1. Функция $V(x_1,\dots ,x_n)$ называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-от рицательной), если она при
$$\left|x_s\right|⩽h,$$

где $h$-достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль только при $x_1=\dots =x_n=0$.

Определение 2. Функция $V(x_1,\dots ,x_n)$ называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (6.3) может принамать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при $x_1^2+\dots +x_n^{2}eq0$.

Определение 3. Функция $V(x_1,\dots ,x_n)$ называетіся знакопеременной, если она не является ни знакоопределенной, ни знакопостоянной $и$, следовательно, как бы мало ни было число $h$, может принимать в области (6.3) как положительные, так и отрицательные значения.

Поясним эти определения примерами. Допустим для определенности, что $n=3$. Тогда функции
$$V=x_1^2+x_2^2+x_3^4,V=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2+x_3^2$$

будут определенно-положительными, и при этом величина $h$ в неравенствах (6.3) может быть взята сколь угодно большой. Функция
$$V=x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_3^3\text{, }$$

как мы увидим ниже, будет также определенно-положительной, но теперь уже величина $h$ должна быть взята достаточно малой Функции
$$V=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2+x_3^2,V=x_1^2+x_2^2$$

будут обе знакопостоянными .(положительными). Действительно, обе они могуть принимать кроме положительных еще и нулевые значения при значениях $x_1,x_2,x_3$, не равных нулю одновременно (вторая — при $x_1=x_2=0$ и $x_3$ произвольном). Функции
$$V=x_1,V=x_1^2+x_2^2-x_3^4$$

будут, очевидно, знакопеременными ${}^1$ ).