Мы переходим теперь к изложению основных положений второго метода Ляпунова исследования устойчивости движения. В этой главе мы ограничиваемся, однако, рассмотрением только установившихся движений. Мы будем, следовательно, предполагать, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]
где $X_{s}$ не зависят явно от $t$.
В своем исследовании Ляпунов предполагал, что функции $X_{s}$ представляют собой степенные ряды, расположенные по степеням $x_{1}, \ldots, x_{n}$, сходящиеся в области
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant H \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]
где $H$ – некоторая постоянная. Однако все положения второго метода Ляпунова и все связанные с ними доказательства полностью сохраняют силу и при более общих предположениях. Мы заменим поэтому предположение Ляпунова об аналитичности функций $X_{s}$ значительно более общим условием, а именно, мы будем только предполагать, что функции $X_{s}$ в области (6.2) чепрерывны и притом такие, что уравнения (6.1) для каждой системы начальных значений $x_{s}^{0}$ величин $x_{s}$, лежащих в области (6.2), допускают единственное решение.
Нам придется рассматривать в дальнейшем некоторые функции $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, определенные в некоторой окрестности начала координат. Относительно этих функций мы будем всегда предполагать, что они однозначны, обрацаются в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ и обладают непрерывными частными производными.
Определение 1. Функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-от рицательной), если она при
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant h,
\]
где $h$-достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль только при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
Определение 2. Функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (6.3) может принамать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при $x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}
eq 0$.
Определение 3. Функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ называетіся знакопеременной, если она не является ни знакоопределенной, ни знакопостоянной $и$, следовательно, как бы мало ни было число $h$, может принимать в области (6.3) как положительные, так и отрицательные значения.
Поясним эти определения примерами. Допустим для определенности, что $n=3$. Тогда функции
\[
V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{4}, \quad V=x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}
\]
будут определенно-положительными, и при этом величина $h$ в неравенствах (6.3) может быть взята сколь угодно большой. Функция
\[
V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{3}^{3} \text {, }
\]
как мы увидим ниже, будет также определенно-положительной, но теперь уже величина $h$ должна быть взята достаточно малой Функции
\[
V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{3}^{2}, \quad V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
\]
будут обе знакопостоянными .(положительными). Действительно, обе они могуть принимать кроме положительных еще и нулевые значения при значениях $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, не равных нулю одновременно (вторая – при $x_{1}=x_{2}=0$ и $x_{3}$ произвольном). Функции
\[
V=x_{1}, \quad V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{4}
\]
будут, очевидно, знакопеременными ${ }^{1}$ ).
