Рассмотрим некоторую управляемую динамическую систему и допустим, что ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений, которая может быть приведена к нормальному виду
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{s}}{d t}=Y_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}, v_{1}, \ldots, v_{r}\right) \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь, как и в уравнениях (2.1), переменные $y_{s}$ – это некоторые параметры, связанные с движением, например координаты, скорости и т. д. Уравнения (106.1) отличаются от уравнений (2.1) тем, что здесь фигурируют величины $v_{1}, \ldots, v_{r}$, которые описывают управляющие воздействия, приложенные к рассматриваемому объекту. Такие воздействия не исключались, конечно, и выше всюду в тексте книги при изучении движении, описываемых уравнениями (2.1). Функции $v_{j}(t)$ могли входить неявно в правые части уравнений (2.1) и в правые части вытекающих из них уравнений возмущенного движения (3.2). Однако сейчас эти переменные $v_{j}$ фигурируют явно и играют центральную роль во всем дальнейшем изложении.

Предположим, что нас интересует какое-либо частное движение нашей системы, порождаемое управляющими воздействиями $v_{j}=p_{j}(t)$ $(j=1, \ldots r)$. Этому движению соответствует некоторое частное решение $y_{s}=f_{s}(t)(s=1, \ldots, n)$ уравнений (106.1) (при $\left.v_{j}=p_{j}(t)\right)$. Как и выше, будем это движение называть невозмущенным. Наряду с невозмущенным движением $\left\{f_{s}(t)\right\}$ будем рассматривать возмущенные движения $\left\{y_{s}(t)\right\}$. Предполагается, что возмущенные движения $y_{s}(t)$
1) Летов А. М., Аналитическое конструирование регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXI, № 4, 5, 6, 1960 ; т. XXII, № 4, 1961 ; т. XXIII, № 11,1962 .

также описываются уравнениями (106.1) но уже при значениях $v_{j}(t)$, отличных, вообще говоря, от величин $p_{j}(t)$. Отклонения $v_{j}(t)-p_{j}(t)$ переменных $v_{j}$ от $p_{j}(t)$ обусловливают здесь специфические особенности задачи об устоћчивости движения $y_{s}=f_{s}(t)$. Проблема стабилизации невозмущенного движения $y_{s}=f_{s}(t)$, собственно, и состоит в таком выборе величин $\Delta v_{j}=v_{j}-p_{j}(t)$, при которых движение $y_{s}=f_{s}(t)$ оказывается устоћчивым.

Для исследования проблем стабилизации целесообразно составить уравнения возмущенного движения управляемой системы, перейдя к новым переменным
\[
\begin{array}{c}
x_{s}=y_{s}-f_{s}(t), \quad u_{j}=v_{j}-p_{j}(t) \\
(s=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, r),
\end{array}
\]

где, следовательно, $x_{s}$ – возмущения движений, $u_{j}$-отклонения управляющих воздействий от величин $p_{j}(t)$.
Полученные таким образом преобразованные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ;\right.\left.u_{1}, \ldots, u_{r}\right)= \\
=Y_{s}\left(t, x_{1}+f_{1}, \ldots, x_{n}+f_{n} ; u_{1}+p_{1}, \ldots, u_{r}+p_{r}\right)- \\
\quad-Y_{s}\left(t, f_{1}, \ldots, f_{n} ; p_{1}, \ldots, p_{r}\right) \\
(s=1, \ldots, n)
\end{array}
\]

мы и будем рассматривать в дальнейшем.
Теперь можно сформулировать задачу о стабилизации.
Задача I (о стабилизации). Требуется найти такие управляющие воздействия $u_{1}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, u_{r}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, которые обеспечивают асимптотическую устойчивость невозмущенного движения $x_{s}=0$ в силу уравнений (106.3) (при $\left.u_{j}=u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)$.

Реальной основой для сформулированной задачи I является следующая ситуация. Предполагается, что в ходе регулирозания можно измерять текущие значения всех координат $x_{s}(t)(s \geq 1, \ldots, n)$. На основе этого измерения управляющее устройство должно вырабатывать воздействия $u_{j}\left(t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)(j=1, \ldots, r)$ на объект. Эти воздействия должны обеспечивать асимптотическую устойчивость заданного невозмущенного движения $x_{s}=0$.

По смыслу величин $x_{s}$ и $u_{j}$ (106.2) предполагается, что функции $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, определение которых составляет задачу I, должны удовлетворять равенствам
\[
u_{j}(t, 0, \ldots, 0)=0 \quad(j=1, \ldots, r) .
\]

Будем предполагать, что функции $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ должны быть определены и непрерывны в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right|<H, \quad(s=1, \ldots, n),
\]

где заданы функции $X_{s}$, являющиеся правыми частями уравнении (106.3). Кроме того, примем, что функции $X_{s}$ и $u_{j}$ удовлетворяют условиям, которые обеспечивают существование и единственность решений $x_{s}$ при любых начальных условиях $t_{0}, x_{s}\left(t_{0}\right)$ из области (106.5). Мы будем исследовать задачу о стабилизации, предполагая, что функции $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ не стеснены никакими дополнительными неравенствами, т. е. предполагается, что в (106.3) переменные $u_{j}$ могут принимать любые, сколь угодно большие значения. В соответствии с этим считаем, что функции $X_{s}$ определены при $t$ и $x_{s}$ из области (106.5) для всех значений $-\infty<u_{j}<+\infty(j=1, \ldots, r)$.

Задача о стабилизации сформулирована нами для случая асимптотической устойчивости. Наряду с этой задачей можно изучать задачу о стабилизации, которая содержит более слабое требование лишь устойчивости заданного движения $x_{s}=0$. Однако здесь мы ограничимся только более грубой проблемой о стабилизации управляемой системы до асимптотической устойчивости.