Результаты предыдущих параграфов показывают, что характеристичные числа систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами играют для них такую же роль, как характеристические показатели для уравнений с периодическими коэффициентами и корни характеристического уравнения для уравненин с постоянными коэффициентами. Эти числа характеризуют порядок роста решений при $t \rightarrow \infty$ и имеют поэтому основное значение в вопросах устоичивости. Если все характеристичные числа положительны, то все решения рассматриваемой системы линейных уравнений стремятся к нулю при $t \rightarrow \infty$ и, следовательно, для этих уравнений имеет место асимптотическая устоичивость. Напротив, если хотя бы одно из характеристичных чисел отрицательно, то система допускает неограниченные решения и для нее, следовательно, имеет место неустойчивость.
Таким образом, при решении задачи устойчивости для линейных уравнений с переменными коэффициентами необходимо определить знаки ее характеристичных чисел или, по крайней мере, знак наимень-
!) Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Гостехиздат, 1946.
шего из них. Эта задача представляет очень большие трудности, и до сих пор нет достаточно эффективных методов ее решения. Мы имеем, конечно, в виду те случаи, когда уравнения не разрешаются в замкнутой форме. С частным случаем этой задачи мы уже встречались в предыдущей главе, где были показаны некоторые приемы приближенного определения характеристических показателей уравненин с периодическими коэффициентами. Наиболее эффективными из этих методов, хотя и имеющими ограннченную область применения, были те, в которых так или иначе применялся малый параметр. Сущность всех этих методов заключается в том, что определение характеристических показателей заданной системы сводят к определению этих величин для другой системы (например, для системы с постоянными коэффициентами), которая мало отличается от заданной и для которой эти величины могут быть определены. При этом используется то обстоятельство, что малое изменение коэффициентов в случае, когда эти коэффициенты периодичны, вызывает малое изменение характеристических показателей.
Это свойство характеристичных чисел уравнений с периодическими коэффициентами не имеет, вообще говоря, места в общем случае уравнений с любыми переменными коэффициентами. Можно привести примеры, когда коэффициенты одной системы уравнений сколь угодно мало отличаются при всех $t \geqslant 0$ от коэффициентов другой системы уравнений и в то же время характеристичные числа одной системы отличаются на конечные величины от характеристичных чисел другой системы. Таким образом, возникает прежде всего задача о так называемой устойчивости характеристичных чисел систем линейных уравнений. Это понятие может быть определено следующим образом.
Пусть предложена система уравнений с переменными коэффициентами
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]
одновременно с которой мы будем рассматривать другую систему:
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=\left(p_{s 1}+\varphi_{s 1}\right) x_{1}+\ldots+\left(p_{s n}+\varphi_{s n}\right) x_{n} .
\]
Коэффициенты $p_{s j}$ и $\varphi_{s j}$ предполагаются ограниченными и непрерывными при $t \geqslant 0$. Пусть $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n}$ – характеристичные числа системы (80.1) и $\lambda_{1}^{\prime} \geqslant \lambda_{2}^{\prime} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n}^{\prime}$ – характеристичные числа системы (80.2). Примем следующее определение:
Определение. Характе ристичные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ системы (80.1) называются устойчивыми, если для любого сколь угодно малого положительного в можно найти такое положительное число $\eta(\varepsilon)$, что характеристичные числа $\lambda_{i}^{\prime}$
системы (80.2) удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\lambda_{i}^{\prime}-\lambda_{i}\right|<\varepsilon \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]
при любом выборе функций $\varphi_{s j}$, удовлетворяющих $n$ ра $t \geqslant 0$ неравенствам
\[
\left|\varphi_{s j}(t)\right| \leqslant \eta \quad(s, j=1,2, \ldots, n) .
\]
Если характеристичные числа системы (80.1) устоичивы, то неравенства (80.3) останутся в силе, когда неравенства (80.4) выполняются не при $t \geqslant 0$, а при $t \geqslant T$, где $T$ – сколь угодно большое число. Это непосредственно вытекает из того, что характеристичные числа системы уравнений, определяемые поведением ее решений при $t \rightarrow \infty$, зависят лишь от вида коэффициентов \”этих уравнений при $t \geqslant T$.
Отсюда следует, что если характеристичные числа системы (80.1) устойивы и если
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi_{s j}=0 \quad(s, j=1,2, \ldots, n),
\]
то характеристичные числа системы (80.2) совпадают с характеристичными числами системы (80.1). Действительно, если выполняется (80.5), то можно выбрать настолько большое $T$, чтобы при $t^{\prime} \geqslant T$. неравенства (80.4) выполнялись со сколь угодно малым $\eta$. Следовательно, величина $\varepsilon$ в неравенствах (80.3) может быть взята сколь угодно малой, что и доказывает, что $\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i}$.
