Результаты предыдущих параграфов показывают, что характеристичные числа систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами играют для них такую же роль, как характеристические показатели для уравнений с периодическими коэффициентами и корни характеристического уравнения для уравненин с постоянными коэффициентами. Эти числа характеризуют порядок роста решений при $t\to \mathrm{\infty }$ и имеют поэтому основное значение в вопросах устоичивости. Если все характеристичные числа положительны, то все решения рассматриваемой системы линейных уравнений стремятся к нулю при $t\to \mathrm{\infty }$ и, следовательно, для этих уравнений имеет место асимптотическая устоичивость. Напротив, если хотя бы одно из характеристичных чисел отрицательно, то система допускает неограниченные решения и для нее, следовательно, имеет место неустойчивость.

Таким образом, при решении задачи устойчивости для линейных уравнений с переменными коэффициентами необходимо определить знаки ее характеристичных чисел или, по крайней мере, знак наимень-
!) Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Гостехиздат, 1946.

шего из них. Эта задача представляет очень большие трудности, и до сих пор нет достаточно эффективных методов ее решения. Мы имеем, конечно, в виду те случаи, когда уравнения не разрешаются в замкнутой форме. С частным случаем этой задачи мы уже встречались в предыдущей главе, где были показаны некоторые приемы приближенного определения характеристических показателей уравненин с периодическими коэффициентами. Наиболее эффективными из этих методов, хотя и имеющими ограннченную область применения, были те, в которых так или иначе применялся малый параметр. Сущность всех этих методов заключается в том, что определение характеристических показателей заданной системы сводят к определению этих величин для другой системы (например, для системы с постоянными коэффициентами), которая мало отличается от заданной и для которой эти величины могут быть определены. При этом используется то обстоятельство, что малое изменение коэффициентов в случае, когда эти коэффициенты периодичны, вызывает малое изменение характеристических показателей.

Это свойство характеристичных чисел уравнений с периодическими коэффициентами не имеет, вообще говоря, места в общем случае уравнений с любыми переменными коэффициентами. Можно привести примеры, когда коэффициенты одной системы уравнений сколь угодно мало отличаются при всех $t⩾0$ от коэффициентов другой системы уравнений и в то же время характеристичные числа одной системы отличаются на конечные величины от характеристичных чисел другой системы. Таким образом, возникает прежде всего задача о так называемой устойчивости характеристичных чисел систем линейных уравнений. Это понятие может быть определено следующим образом.

Пусть предложена система уравнений с переменными коэффициентами
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n(s=1,2,\dots ,n),$$

одновременно с которой мы будем рассматривать другую систему:
$$\frac{d{x}_s}{dt}=(p_{s1}+{\phi }_{s1})x_1+\dots +(p_{sn}+{\phi }_{sn})x_n.$$

Коэффициенты $p_{sj}$ и ${\phi }_{sj}$ предполагаются ограниченными и непрерывными при $t⩾0$. Пусть ${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾\dots ⩾{\lambda }_n$ — характеристичные числа системы (80.1) и ${\lambda }_1^{\prime }⩾{\lambda }_2^{\prime }⩾\dots ⩾{\lambda }_n^{\prime }$ — характеристичные числа системы (80.2). Примем следующее определение:

Определение. Характе ристичные числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ системы (80.1) называются устойчивыми, если для любого сколь угодно малого положительного в можно найти такое положительное число $\eta (\epsilon )$, что характеристичные числа ${\lambda }_i^{\prime }$

системы (80.2) удовлетворяют неравенствам
$$|{\lambda }_i^{\prime }-{\lambda }_i|<\epsilon (i=1,2,\dots ,n)$$

при любом выборе функций ${\phi }_{sj}$, удовлетворяющих $n$ ра $t⩾0$ неравенствам
$$|{\phi }_{sj}(t)|⩽\eta (s,j=1,2,\dots ,n).$$

Если характеристичные числа системы (80.1) устоичивы, то неравенства (80.3) останутся в силе, когда неравенства (80.4) выполняются не при $t⩾0$, а при $t⩾T$, где $T$ — сколь угодно большое число. Это непосредственно вытекает из того, что характеристичные числа системы уравнений, определяемые поведением ее решений при $t\to \mathrm{\infty }$, зависят лишь от вида коэффициентов \»этих уравнений при $t⩾T$.

Отсюда следует, что если характеристичные числа системы (80.1) устойивы и если
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\phi }_{sj}=0(s,j=1,2,\dots ,n),$$

то характеристичные числа системы (80.2) совпадают с характеристичными числами системы (80.1). Действительно, если выполняется (80.5), то можно выбрать настолько большое $T$, чтобы при $t^{\prime }⩾T$. неравенства (80.4) выполнялись со сколь угодно малым $\eta$. Следовательно, величина $\epsilon$ в неравенствах (80.3) может быть взята сколь угодно малой, что и доказывает, что ${\lambda }_i^{\prime }={\lambda }_i$.