Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравиений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $p_{s j}$ – вещественные, непрерызные и ограниченные функции $t$, определенные при всех $t \geqslant 0$. Пусть $x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)$ – какое-нибудь решение уравнений (78.1). Мы будем называть характеристичным числом рассматриваемого решения наименьшее из характеристичных чисел функций $x_{s}(t)$. Вообще характеристичным числом какой-нибудь группы функций $f_{1}(t), \ldots, f_{k}(t)$ мы будем называть наименьшее из характеристичных чисел $X\left\{f_{i}\right\}$. Характеристичное число группы функций $f_{1}, \ldots, f_{k}$ мы будем обозначать символом $X\left\{f_{1}, \ldots, f_{k}\right\}$.
Докажем следующую теорему Ляпунова.
Теорема 1. Всякое решение уравнений (78.1), отличное от $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, имеет конечное характеристичное число.

Доказательсто. Рассмотрим сначала вещественные решения уравнений (78.1). Преобразуем эти уравнения при помощи подстановки
\[
y_{s}=x_{s} e^{\lambda t},
\]

где $\lambda$ – некоторая постоянная. Преобразованные уравнения будут иметь вид
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s 1} y_{1}+\ldots+\left(p_{s s}+\lambda\right) y_{s}+\ldots+p_{s n} y_{n} .
\]

Из этих уравнений находим:
\[
\frac{d}{d t} \frac{1}{2} \sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2}=\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s s}+\lambda\right) y_{s}^{2}+\sum_{i
eq k}\left(p_{i k}+p_{k i}\right) y_{i} y_{k}=W \text {. }
\]

Очевидно, что существует такое число $\lambda=\lambda_{1}$, при котором форма, стоящая в правой части (78.3), будет определенно-положительной, удовлетворяя неравенству
\[
W>\frac{\alpha}{2}\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right),
\]

где $\alpha$ – некоторая положительная постоянная.
При $\lambda=\lambda_{1}$ будем иметь, что при $t>0$ для любого решения $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ выполняется неравенство
\[
\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2}(t)>\sum_{t=1}^{n} y_{s}^{2}(0) e^{\alpha t} .
\]

С другой стороны, существует и такое значение $\lambda=\lambda_{2}<\lambda_{1}$, при котором правая часть (78.3) будет формой определенно-отрицательной, удовлетворяя неравенству
\[
W<-\frac{a}{2}\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right) .
\]

При $\lambda=\lambda_{2}$ будем иметь:
\[
\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2}(t)<\sum_{s=1}^{n} y_{s}^{2}(0) e^{-\alpha t} .
\]

Неравенства (78.4) и (78.5) показывают, что для любого нетривиального решения уравнений (78.1) все функции (78.2) будут исчезающими при $\lambda=\lambda_{2}$ и хотя бы одна из этих функций будет неограниченной при $\lambda=\lambda_{1}$. Отсюда следует, что характеристичное число любого нетривиального решения уравнений (78.1) заключено в интервале $\left(\lambda_{2}, \lambda_{1}\right)$, что и доказывает теорему для вещественных решений

Остается показать справедливость теоремы для комплексных решений. Для этого достаточно заметить, что всякое комплексное решение
\[
u_{s}+i v_{s}
\]

уравнений (78.1) складывается из двух вещественных решений $u_{s}$ и $v_{s}$. Таким образом, теорема полностью доказана.
Рассмотрим какую-нибудь фундаментальную систему решении
\[
x_{1 j}(t), x_{2 j}(t), \ldots, x_{n j}(t) \quad(j=1,2, \ldots, n)
\]

уравнений (78.1). Обозначим через $\lambda_{f}$ характеристичное число решения $x_{s j}$. Допустим сначала, что все числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ различны.

Найдем характеристичное число решения
\[
x_{s}=C_{1} x_{s i_{1}}+C_{2} x_{s i_{2}}+\ldots+C_{k} x_{s i_{k}},
\]

являющегося линейной комбинацией с постоянными коэффициентами каких-нибудь $k$ решений $x_{s t_{1}}, \ldots, x_{s t_{k}}$ рассматриваемой фундаментальной системы. Так как все числа $\lambda_{i_{1}}, \ldots, \lambda_{i_{k}}$ различны, то на основании теоремы о характеристичном числе суммы функций характеристичное число решения (78.6) будет равно наименьшему из чисел $\lambda_{i_{1}}, \ldots, \lambda_{i_{k}}$, т. е. характеристичному числу одного из решений, входящих в комбинацию. Таким образом, если все числа $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ различны, то характеристичное число любого решения уравнений (78.1) будет одним из чисел $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$. Имеем, таким образом, теорему:

Теорема 2. Система (78.1) не может иметь более $n$ решений с различными характеристичными числами.

Допустим теперь, что среди чисел $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ имеются равные. Тогда может оказаться, что при комбинации решений с одинаковыми характеристичными числами характеристичное число нового решения окажется больше, чем характеристичные числа решений, входящих в комбинацию. Если это случится, то полученное новое решение мы включим в состав фундаментальной системы вместо одного из комбинируемых решений. Если новая фундаментальная система опять будет иметь решения, комбинация которых даст решение с характеристичным числом, большим характеристичных чисел группируемых решений, то с этой новой системой поступаем так же, как с первой. Так как число различных характеристичных чисел не превосходит $n$, то ясно, что, поступая вышеуказанным способом, мы в конце концов придем к такой фундаментальной системе, что характеристичное число решения, скомбинированного из каких угодно решений этой системы, будет совпадать с характеристичным числом одного из решении, входящих в комбинацию. Полученная таким образом фундаментальная система называется нормальной. Характеристичные числа $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ нормальной системы решений (среди которых могут быть и равные) называются характеристичными числами системы дифференциальных уравнений. Характеристичное число любого решения этих уравнений равно одному из чисел $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$. Действительно, каждое такое решение является линейной комбинацией решений, входящих в нормальную систему.

Из предыдущих рассуждений следует, что если характеристичные числа какой-нибудь фундаментальной системы решений все различны, то эта система является нормальнои. Имеет также место и следующая теорема, дающая признак нормальности фундаментальной системы решений.

Теорема 3. Всякая фундаментальная система решений, для которой сумма характеристичных чисел всех входящих в нее рениений достигает своего высшего предела, есть нормальная.

В самом деле, если бы рассматриваемая фундаментальная система не была нормальной, то из некогорых ее решений можно было бы скомбинировать новые решения с большими характеристичными числами и, следовательно, получить фундаментальную систему с суммой характеристичных чисел большей, чем в рассматриваемой, что противоречит условию.

Допустим, что система уравнений (78.1) подвергнута линейному преобразованию
$y_{s}=a_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+a_{s n}(t) x_{n}, \quad x_{s}=b_{s 1}(t) y_{1}+\ldots+b_{s n}(t) y_{n}$,

обладающему следующими свойстами: 1) коэффициенты $a_{s j}$ и их производные ограничены; 2) коэффициенты $b_{s j}$ обратного преобразования также ограничены. Преобразования, обладающие этими свойствами, мы будем называть преобразованаями Ляпунова. При гаких преобразованиях коэффициенты $q_{s j}(t)$ преобразованной системы
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+\ldots+q_{s n} y_{n},
\]

определяемые формулами
\[
q_{s j}=\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{d a_{s \alpha}}{d t} b_{\alpha j}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} a_{s \alpha} p_{\alpha \beta} b_{\beta j},
\]

будут также ограничениыми функциями времени.
Теорема 4. Eсли систему уравнений (78.1) подвергнуть пробразованию Ляпунова, то группа ха ракте ристичных чисел преобразованной системы будет тождественной $c$ группой характе ристичных чисел первоначальной.

Доказательство. Пусть $x_{s}(t)$ – какое-нибудь решение системы (78.1). Тогда формулы (78.7) определят решенне $y_{s}(t)$ системы (78.8) из этих формул находим:
\[
X\left\{y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right\} \geqslant X\left\{x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right\},
\]

так как характеристичные числа ограниченных функций $a_{s j}(t)$ во всяком случае не менее нуля. С другой стороны, из (78.7) таким же путем находим:
\[
X\left\{x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right\} \geqslant X\left\{y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right\},
\]

так как функции $a_{s j}(t)$ также ограничены. Это дает:
\[
X\left\{y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right\}=X\left\{x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right\} .
\]

Таким образом, каждому решению одной системы соответствует решение другой системы с таким же точно характеристичным числом. Отсюда непосредственно следует, что группа характеристичных чисел одной системы совпадает с группой характеристичных чисел другой системы, что и доказывает теорему.

Допустим, что коэффициенты $p_{s j}$ уравнений (78.1) являются постоянными. Пусть $\lambda$-корень характеристического уравнения
\[
\left|p_{i k}-\delta_{i k} \lambda\right|=0
\]

этой системы. Если кратность этого корня равна $l$, то ему отвечает $l$ независимых решений этой системы вида
\[
x_{s i}(t)=e^{\lambda . t} P_{s i}(t) \quad(i=1,2, \ldots, t),
\]

где $P_{s i}$ – некоторые полиномы относительно $t$ с постоянными коэффициентами. Характеристичное число каждого из решений вида (78.10) равно- $\operatorname{Re}(\lambda)$. Таким же будет и характеристичное число решения, являющегося линейной комбинацией решений (78.10). Отсюда следует, что если решения вида (78.10) построить для каждого корня характеристического уравнения, то полученная фундаментальная система решений будет нормальной. Кроме того, получаем:

Характеристичные числа системы линейных уравнений с постоянными коэффыциенпама равны взятым с обратными знаками вещественным частям корней ее характеристического уравнения.

Если коэффициенты $p_{s j}$ системн (78.1) являются периодическими функциями времени с одним и тем же периодом $\omega$, то решения этих уравнений имеют также вид ( 78.10 ) с той лишь разницей, что величины $\lambda$ будут являться характеристичными показателями системы, а коэффициенты полиномов $P_{s j}$ будут не постоянными, а периодическими функциями времени, что не влияет на характеристичное число. Поэтому имеем:

Характерастичными числами системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами являются взятые с обратными знаками вещественные части ее характеристических показателей.