Переходим теперь к вопросу об устойчивости решений линейных уравнении с пернодическими коэффициентами. Из общего вида этих решений, установленного в § 52, вытәкает сразу, что если вещественные части всех характеристических показателей отрицательны, то все решения стремятся к нулю при $t \rightarrow \infty$ и, следовательно, имеет место асимптотическая устойчивость. Напротив, если вещественная часть хотя бы одного характеристического показателя положительна, то система имеет частные решения, неограниченно возрастающие при $t \rightarrow \infty$ и, следовательно, будет иметь место нсустойчивость. Если же вещественные части некоторых характеристических показателей отрицательны, а остальных равны нулю, то может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость, а именно: если характеристические показатели с вещественными частями, равными нулю, являются простыми, то соответствующие им решения будут ограниченными и невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически. То же самое будет справедливо и в случае кратных характеристических показателей с нулевыми вещественными частями, если число групп решении, соответствующих таким показателям, равно их кратности. Но если имеется характеристический показатель с нулевой вещественной частью, кратность которого превышает число групп решений, ему соответствующих, то рассматриваемая система будет иметь рєшения, содержащие вековые члены. При этом вековыми членами мы называем члены вида $t^{m} \varphi(t)$, где $\varphi(t)$ – ограниченные функции времени. В рассматриваемом случае невозмущенное движение будет неустойчиво.
Но на основании (51.1) характеристическому показателю с отрицательной вещественной частью соответствует корень характеристического уравнения с модулем, меньшим единицы, характеристическому показателю с положительной вещественной частью соответствует корень с модулем, большим единицы, и характеристическому показателю с нулевой вещественной частью отвечает корень с модулем, равным единице. Поэтому условия устойчивости для линейных уравнений с периодическими коэффициентами могут быть выражены следующим образом: если все корни характеристического уравнения имеют модули, меньшие единицы, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически; если имеется хоть один корень с модулем, большим единицы, то невозмущенное движение неустойчиво; если модули некоторых корней меньше единицы, а остальные равны единице, то невозмущенное движение может быть как устоичивым, так и неустоичивым. Устойчивость будет иметь место тогда, когда все корни с модулями, равными единице, будут простыми или когда они являются кратными, но кратность их равна числу отвечающих им групп решений. Если кратность хотя бы одного из корней с модулем, равным единице, превышает число соответствующих ему групп решений, то невозмущенное движение неустоичиво.
Пусть
\[
\rho^{n}+A_{1} \rho^{n-1}+\ldots+A_{n-1} \rho+A_{n}=0
\]
– характеристическое уравнение рассматриваемой системы. Мы выразили условия устоиччивости через корни этого уравнения. Можно, однако, выразить эти условия непосредственно через коэффициенты $A_{i}$. С этой целью произведем в уравнении (56.1) подстановку
\[
\rho=\frac{1+\lambda}{1-\lambda} \text {. }
\]
Эта подстановка преобразуег круг единичного радиуса с центром в начале координат плоскости комплексного переменного $\rho$ в левую полуплоскость комплексного переменного $\lambda$. Поэтому условия устойчивости, выражающиеся в том, что модули всех корней уравнения (56.1) не должны превосходить единицы, могут быть выражены следующим образом: для устойчивости необходимо, чтобы вещественные части всех корней уравнения
\[
\left(\frac{1+\lambda}{1-\lambda}\right)^{n}+A_{1}\left(\frac{1+\lambda}{1-\lambda}\right)^{n-1}+\ldots+A_{n-1}\left(\frac{1+\lambda}{1-\lambda}\right)+A_{n}=0
\]
не были положительными. При этом, если эти вещественные части все отрицательны, то устойчивость действительно будет иметь место и притом асимптотическая.
Таким образом, задача, так же как и для случая уравнений с постоянными коэффициентами, сводится к установлению условий отрицательности вещественных частей всех корней алгебраического уравнения. Эти условия даются теоремой Гурвица.
В отличие, однако,.от случая уравнении с постоянными коэффициентами рассматриваемая сейчас задача значительно усложняется тем, что коэффициенты $A_{j}$, кроме коэффициента $A_{n}$, который дается формулой (50.8), неизвестны. Для их определения необходимо знать какую-нибудь фундаментальную систему решений исследуемых дифференциальных решений. Но как показывает форма (50.7) характеристического уравнения, нет необходимости знать эту фундаментальную систему для всех значений $t$, а лишь только для одного значения $t=\omega$. Кроме того, условия устойчивости определяются неравенствами, и поэтому достаточно знать лишь приближенные значения коэффициентов характеристического уравнения. Все это позволяет для определения указанных коэффициентов с успехом пользоваться различными приближенными приемами интегрирсвания. В нижеследующих параграфах мы подробно останавливаемся на некоторых основных приемах приближенного вычисления корней характеристического уравнения.
