Для задач I и II о стабилизации, как и для общей проблемы устоичивости, может быть развита теория исследовачия этих задач по первому приближению. Здесь можно указать случаи, когда решение проблемы определяется линеиным приближением, а также критические случаи, когда возможность разрешения проблемы и сами искомые воздействия $u_j(t,x_1,\dots ,x_n)$ определяются членами высшего порядка малости в уравнениях (109.1) возмущенного движения.

В настоящем приложении мы ограничимся лишь одним результатом, относящимся к этой теории. Именно, мы рассмотрим случай, когда задача I для нелинейной системы решается исходя из ее линейного приближения. Имеются работы ${}^1$ ), в которых можно найти более подробное изложение теории стабилизации по первому приближению.

Примем, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+q_{s1}{u}_1+\dots +q_{sr}{u}_r+\\ +R_s(t,x_1,\dots ,x_n;u_1,\dots ,u_r)\\ (s=1,\dots ,n).\end{array}$$

Здесь $p_{sj},q_{sj}$ — ограниченные и непрерывные функции времени, в частности $p_{sj},q_{sj}$ — постоянные; $R_s$ — функции, разлагающиеся в области
$$t⩾0,\left|x_s\right|<H(s=1,\dots ,n)$$

в ряды по степеням переменных $x_s$ и $u_s$ с ограниченными коэффициентами, причем разложения начинаются членами не ниже второго порядка.

Мы переходим теперь к исследованию задач о стабилизации для уравнений первого приближения
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{si}{x}_n+q_{s1}{u}_1+\dots +q_{sr}{u}_r\\ (s=1,\dots ,n).\end{array}$$
1) Альбрехт Э. Г., Об оптимальной стабилизации нелинейных систем, ПММ, т. XXV, вып. 5, 1961 ; К теории аналитического конструирования регуляторов, Труды Межвузовской конферещции по приқладной теории устойчивости движения и аналитической механике, Изд. КАИ, Казань, 1962; 3 у бо в В. И., К теории аналитического построения регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXIV, № 8, 1963; ГальперинЕ. А., Красовский Н. Н., О стабилизации установившихся движений нелинейных управляемых систем, ПММ, т. XXVII, вып. 6, 1963; Красовский Н. Н., Осипов Ю.С., О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика № 6, 1963.

Исследование начнем с задачи II об оптимальной стабилизации, причем в качестве критерия качества (107.1) выберем интеграл
$$I={\int }_{i_0}^{\mathrm{\infty }}\{\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_{ij}(t)x_i(t)x_j(t)+\sum _{i,j=1}^{\dot{n}}{\beta }_{ij}(t)u_i(t)u_j(t)\}dt.$$

где квадратичные формы $\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_{ij}{x}_i{x}_j$ и $\sum _{i,j=1}^r{\beta }_{ij}{u}_i{u}_j$ предполагаются определенно-положительными.

Оптимальную функцию Ляпунова $V^0(t,x_1,\dots ,x_n)$, которая удовлетворяла бы условиям теореиы IV, следует здесь искать в виде квадратичной формы
$$V^0(t,x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i,j=1}^n{c}_{ij}(t)x_i{x}_j.$$

Составим выражение $B[V^0;t;x_1,\dots ,x_n;u_1,\dots ,u_r]$ (109.3):
$$\begin{array}{l}B[V^0;t;x_1,\dots ,x_n;u_1,\dots ,u_r]=\\ =\frac{\partial V^0}{\partial t}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial V^0}{\partial x_i}(\sum _{s=1}^n{p}_{is}{x}_s+\sum _{j=1}^r{q}_{ij}{u}_j)+\\ +\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_{ij}{x}_i{x}_j+\sum _{i,j=1}^r{\beta }_{ij}{u}_i{u}_j.\end{array}$$

При $u_j=u_j^0(t,x_1,\dots ,x_n)$ величина $B$ должна иметь минимум и обращаться при этом в нуль. Поэтому, приравнивая правую часть (111.6) к нулю, получим первое уравнение для $V^0$ и $u_j^0$. Дифференцируя правую часть (111.6) по $u_j(j=1,\dots ,r$ ) и приравнивая результаты к нулю, получим еще $r$ уравнений для определения $V^0$ и $u_j^0$. Эти уравнения имеют вид
$$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n\frac{\partial V^0}{\partial x_i}{q}_{ij}+2\sum _{i=1}^t{\beta }_{ij}{u}_i^0=0\\ (j=1,\dots ,n).\end{array}$$

Уравнения (111.7) можно разрешить относительно $u_j^0$, так как вследствие определенной положительности формы $\sum _{i.T=1}^r{\beta }_{ij}{u}_i{u}_j$
детерминант отличен от нуля.

Определим из уравнений (111.7) величины
$$\begin{array}{c}{u}_j^0=-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^r\frac{{\mathrm{\Delta }}_{kj}}{\mathrm{\Delta }}\sum _{i=1}^n\frac{\partial V^0}{\partial x_i}{q}_{ik}\\ (j=1,\dots ,r).\end{array}$$

Здесь ${\mathrm{\Delta }}_{kj}$-алгебраическое дополнение элемента $k$-и строки и $j$-и колонки в (111.8). Внося значения $u_j^0$ (111.9) в равенство $B[V^0;t;x_1,\dots ,x_n;u_1^0,\dots ,u_r^0]=0$, получаем уравнение для определения функции $V^0$ :
$$\begin{array}{l}\frac{\partial V^0}{\partial t}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial V^0}{\partial x_i}\left(\sum _{j=1}^n{p}_{ij}{x}_j\right)-\\ -\frac{1}{4}\sum _{k,s=1}^r\frac{{\mathrm{\Delta }}_{ks}}{\mathrm{\Delta }}\left(\sum _{j=1}^n\frac{\partial V^0}{\partial x_j}{q}_{jk}\right)\left(\sum _{j=1}^n\frac{\partial V^0}{\partial x_j}{q}_{js}\right)+\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_{ij}{x}_i{x}_j=0.\end{array}$$

Подставляя в (111.10) выражения
$$\begin{array}{l}\frac{\partial V^0}{\partial t}=\sum _{i,j=1}^n\frac{d{c}_{ij}}{dt}{x}_i{x}_j,\\ \frac{\partial V^0}{\partial x_i}=2\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_j\end{array}$$

и приравнивая к нулю коэффициенты при произведения $x_i{x}_j$, получим уравнения для определения величин $c_{ij}(t)$ :
$$\begin{array}{l}\frac{d{c}_{ij}}{dt}+\sum _{k=1}^n(p_{ki}{c}_{kj}+p_{kj}{c}_{ki})-\\ -\sum _{k,s=1}^r\frac{{\mathrm{\Delta }}_{ks}}{\mathrm{\Delta }}\left(\sum _{l=1}^n{c}_{lj}{q}_{lk}\right)\left(\sum _{m=1}^n{c}_{mi}{q}_{ms}\right)+{\alpha }_{ij}=0\\ (i,j=1,\dots ,n;c_{ij}=c_{ji};{\alpha }_{ij}={\alpha }_{ji})\end{array}$$

Если удастся найти ограниченное частное решение $c_{ij}(t)$ уравнения (111.11) такое, что форма (I11.5) окажется определенно-положительной, то согласно теореме IV задача будет решена. При этом оптимальные управляющие воздећствия имеют вид (111.9) и являются, следовательно, линейными функциями от координат $x_s$.

В частности, в случае установившегося движения $x_s=0$, когда $p_{si},q_{si}$ — постоянные величины и коэффициенты ${\alpha }_{ij},{\beta }_{ij}$-тоже постоянные числа, форму $V^0$ следует искать в виде
$$V^0=\sum _{i,j=1}^n{c}_{ij}{x}_i{x}_j$$

где $c_{ij}=$ const. Тогда дифференциальные уравнения (111.11) превращаются в алгебраические уравнения ${}^1$ )
$$\begin{array}{c}\sum _{k=1}^n(p_{ki}{c}_{kj}+p_{kj}{c}_{ki})-\sum _{k,s=1}^r\frac{{\mathrm{\Delta }}_{ks}}{\mathrm{\Delta }}\left(\sum _{l=1}^n{c}_{lj}{q}_{lk}\right)\left(\sum _{m=1}^n{c}_{mi}{q}_{ms}\right)+{\alpha }_{ij}=0\\ (i,j=1,\dots ,n;c_{ij}=c_{ji};{\alpha }_{lj}={\alpha }_{ji}).\end{array}$$

Итак, решение задачи II сводится в данном случае к разрешению уравнений (111.11). При этом возникает проблема о существовании ограниченного частного решения $c_{ij}(t)$, обеспечивающего определенную положительность формы $V^0$ (111.5).