Для задач I и II о стабилизации, как и для общей проблемы устоичивости, может быть развита теория исследовачия этих задач по первому приближению. Здесь можно указать случаи, когда решение проблемы определяется линеиным приближением, а также критические случаи, когда возможность разрешения проблемы и сами искомые воздействия $u_{j}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определяются членами высшего порядка малости в уравнениях (109.1) возмущенного движения.

В настоящем приложении мы ограничимся лишь одним результатом, относящимся к этой теории. Именно, мы рассмотрим случай, когда задача I для нелинейной системы решается исходя из ее линейного приближения. Имеются работы ${ }^{1}$ ), в которых можно найти более подробное изложение теории стабилизации по первому приближению.

Примем, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+q_{s 1} u_{1}+\ldots+q_{s r} u_{r}+ \\
+R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right) \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь $p_{s j}, q_{s j}$ – ограниченные и непрерывные функции времени, в частности $p_{s j}, q_{s j}$ – постоянные; $R_{s}$ – функции, разлагающиеся в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right|<H \quad(s=1, \ldots, n)
\]

в ряды по степеням переменных $x_{s}$ и $u_{s}$ с ограниченными коэффициентами, причем разложения начинаются членами не ниже второго порядка.

Мы переходим теперь к исследованию задач о стабилизации для уравнений первого приближения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s i} x_{n}+q_{s 1} u_{1}+\ldots+q_{s r} u_{r} \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]
1) Альбрехт Э. Г., Об оптимальной стабилизации нелинейных систем, ПММ, т. XXV, вып. 5, 1961 ; К теории аналитического конструирования регуляторов, Труды Межвузовской конферещции по приқладной теории устойчивости движения и аналитической механике, Изд. КАИ, Казань, 1962; 3 у бо в В. И., К теории аналитического построения регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXIV, № 8, 1963; ГальперинЕ. А., Красовский Н. Н., О стабилизации установившихся движений нелинейных управляемых систем, ПММ, т. XXVII, вып. 6, 1963; Красовский Н. Н., Осипов Ю.С., О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика № 6, 1963.

Исследование начнем с задачи II об оптимальной стабилизации, причем в качестве критерия качества (107.1) выберем интеграл
\[
I=\int_{i_{0}}^{\infty}\left\{\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j}(t) x_{i}(t) x_{j}(t)+\sum_{i, j=1}^{\dot{n}} \beta_{i j}(t) u_{i}(t) u_{j}(t)\right\} d t .
\]

где квадратичные формы $\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}$ и $\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j}$ предполагаются определенно-положительными.

Оптимальную функцию Ляпунова $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, которая удовлетворяла бы условиям теореиы IV, следует здесь искать в виде квадратичной формы
\[
V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i, j=1}^{n} c_{i j}(t) x_{i} x_{j} .
\]

Составим выражение $B\left[V^{0} ; t ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right]$ (109.3):
\[
\begin{array}{l}
B\left[V^{0} ; t ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right]= \\
=\frac{\partial V^{0}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{i}}\left(\sum_{s=1}^{n} p_{i s} x_{s}+\sum_{j=1}^{r} q_{i j} u_{j}\right)+ \\
\quad+\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+\sum_{i, j=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j} .
\end{array}
\]

При $u_{j}=u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ величина $B$ должна иметь минимум и обращаться при этом в нуль. Поэтому, приравнивая правую часть (111.6) к нулю, получим первое уравнение для $V^{0}$ и $u_{j}^{0}$. Дифференцируя правую часть (111.6) по $u_{j}(j=1, \ldots, r$ ) и приравнивая результаты к нулю, получим еще $r$ уравнений для определения $V^{0}$ и $u_{j}^{0}$. Эти уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{i}} q_{i j}+2 \sum_{i=1}^{t} \beta_{i j} u_{i}^{0}=0 \\
(j=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Уравнения (111.7) можно разрешить относительно $u_{j}^{0}$, так как вследствие определенной положительности формы $\sum_{i . T=1}^{r} \beta_{i j} u_{i} u_{j}$
детерминант отличен от нуля.

Определим из уравнений (111.7) величины
\[
\begin{array}{c}
u_{j}^{0}=-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{r} \frac{\Delta_{k j}}{\Delta} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{i}} q_{i k} \\
(j=1, \ldots, r) .
\end{array}
\]

Здесь $\Delta_{k j}$-алгебраическое дополнение элемента $k$-и строки и $j$-и колонки в (111.8). Внося значения $u_{j}^{0}$ (111.9) в равенство $B\left[V^{0} ; t ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}^{0}, \ldots, u_{r}^{0}\right]=0$, получаем уравнение для определения функции $V^{0}$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V^{0}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{i}}\left(\sum_{j=1}^{n} p_{i j} x_{j}\right)- \\
-\frac{1}{4} \sum_{k, s=1}^{r} \frac{\Delta_{k s}}{\Delta}\left(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{j}} q_{j k}\right)\left(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{j}} q_{j s}\right)+\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}=0 .
\end{array}
\]

Подставляя в (111.10) выражения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V^{0}}{\partial t}=\sum_{i, j=1}^{n} \frac{d c_{i j}}{d t} x_{i} x_{j}, \\
\frac{\partial V^{0}}{\partial x_{i}}=2 \sum_{j=1}^{n} c_{i j} x_{j}
\end{array}
\]

и приравнивая к нулю коэффициенты при произведения $x_{i} x_{j}$, получим уравнения для определения величин $c_{i j}(t)$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d c_{i j}}{d t}+\sum_{k=1}^{n}\left(p_{k i} c_{k j}+p_{k j} c_{k i}\right)- \\
-\sum_{k, s=1}^{r} \frac{\Delta_{k s}}{\Delta}\left(\sum_{l=1}^{n} c_{l j} q_{l k}\right)\left(\sum_{m=1}^{n} c_{m i} q_{m s}\right)+\alpha_{i j}=0 \\
\left(i, j=1, \ldots, n ; \quad c_{i j}=c_{j i} ; \quad \alpha_{i j}=\alpha_{j i}\right)
\end{array}
\]

Если удастся найти ограниченное частное решение $c_{i j}(t)$ уравнения (111.11) такое, что форма (I11.5) окажется определенно-положительной, то согласно теореме IV задача будет решена. При этом оптимальные управляющие воздећствия имеют вид (111.9) и являются, следовательно, линейными функциями от координат $x_{s}$.

В частности, в случае установившегося движения $x_{s}=0$, когда $p_{s i}, q_{s i}$ – постоянные величины и коэффициенты $\alpha_{i j}, \beta_{i j}$-тоже постоянные числа, форму $V^{0}$ следует искать в виде
\[
V^{0}=\sum_{i, j=1}^{n} c_{i j} x_{i} x_{j}
\]

где $c_{i j}=$ const. Тогда дифференциальные уравнения (111.11) превращаются в алгебраические уравнения ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{n}\left(p_{k i} c_{k j}+p_{k j} c_{k i}\right)-\sum_{k, s=1}^{r} \frac{\Delta_{k s}}{\Delta}\left(\sum_{l=1}^{n} c_{l j} q_{l k}\right)\left(\sum_{m=1}^{n} c_{m i} q_{m s}\right)+\alpha_{i j}=0 \\
\left(i, j=1, \ldots, n ; \quad c_{i j}=c_{j i} ; \quad \alpha_{l j}=\alpha_{j i}\right) .
\end{array}
\]

Итак, решение задачи II сводится в данном случае к разрешению уравнений (111.11). При этом возникает проблема о существовании ограниченного частного решения $c_{i j}(t)$, обеспечивающего определенную положительность формы $V^{0}$ (111.5).