Мы переходим к исследованию критических случаев периодических движений. Допустим, что предложена система ( $n+k$ )-го порядка с периодическими коэффициентами, для которой уравнения первого приближения имеют $n$ характеристических показателей с отрицательными вещественными частями и $k$ характеристических показателей с вещественными частями, равными нулю. Мы будем предполагать, что переменные выбраны таким образом, что первое приближение имеет постоянные коэффициенты и в нем разделены критические и некритические переменные. Таким сбразом, уравнения возмущенного
1) Малкин И. Г., Рещение некоторых критических случаев задачи устойчивости движения. ПММ, т. ХV, вып. 5, 1951 .

движения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d y_{j}}{d t}=q_{j 1} y_{1}+\ldots+q_{j k} y_{k}+Y_{j}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots s x_{n}\right) \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+r_{s 1} y_{1}+\ldots+r_{s k} y_{k}+ \\
+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\end{array}\right\}
\]

Здесь $Y_{j}$ и $X_{s}$ – аналитические функции переменных $y_{i}$ и $x_{s}$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Эти функции зависят также от $t$, по отношению к которому они периодичны с периодом $\omega$. Коэффициенты $q_{j i}, p_{s i}$ и $r_{s i}$ являются постоянными, причем уравнение
\[
\left|p_{s i}-\delta_{s i}\right|=0
\]

имеет корни только с отрицательными вещественными частями, а вєе корни уравнения
\[
\left|q_{j i}-\delta_{i i}\right|=0
\]

имеют вещественные части, равные нулю.
Согласно теореме 2 § 93 ответ на задачу устойчивости для системы (97.1) совпадает с ответом на ту же задачу для системы $k$-го порядка
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}+Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \text {, }
\]

где $u_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$ – ряды по степеням $y_{1}, \ldots, y_{k}$ с периодическими коэффициентами, являющиеся формальными решениями уравнений с частными производными (93.3). Это будет, однако, справедливо лишь в том случае, когда задача устоичивости для системы (97.3) решается конечным числом членов.

Мы будем предполагать, что переменные $y_{i}$ выбраны таким образом, что линеиная часть уравнений (97.3) имеет каноническую форму, так что
\[
\begin{array}{l}
q_{11}=\lambda_{1}, q_{22}=\lambda_{2}, \ldots, q_{k k}=\lambda_{k}, q_{21}=\alpha_{1}, q_{32}=\alpha_{2}, \ldots \\
\ldots, q_{n, n-1}=\alpha_{n-1} \text {, } \\
\end{array}
\]

а остальные коэффициенты $q_{i j}$ равны нулю. Здесь $\lambda_{i}$ – корни уравнения (97.2), которые, как уже указывалось, имеют вещественные части, равные нулю, а $\alpha_{i}$ – некоторые постоянные. Все эти постоянные равны нулю, если уравнение (97.2) не имеет кратных корней. Но если указанное уравнение имеет кратные корни, то некоторые из этих постоянных могут быть отличными от нуля и эти отличные от нуля величины $\alpha_{i}$ можно предполагать произвольными. Обозначим, далее, через $Y_{i}^{m}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$ формы с периодическими коэффициентами, представляющими собой члены $k$-го порядка в разложениях правых частей уравнений (97.3). Тогда, обозначая через $N$ достаточно большое целое число, рассмотрим систему
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i}+\alpha_{i-1} y_{i-1}+Y_{i}^{(2)}+\cdots+Y_{i}^{(N)}+\varphi_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
\left(i=1,2, \ldots, k ; \alpha_{0}=0\right),
\end{array}
\]

совпадающую до членов $N$-го порядка с системой (97.3). Если невозмущенное движение для системы (97.4) будет устойиво или асимптотически устоичиво, или неустойчиво при любом выборе функций $\varphi_{i}$, удовлетворяющих при всех $t \geqslant 0$ в некоторой окрестности начала координат неравенствам
\[
\left|\varphi_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)\right|<A\left\{\left|y_{1}\right|+\ldots+\left|y_{k}\right|\right\}^{N+1},
\]

где $A$ – некоторая постоянная, то и невозмущенное движение для системы (97.1) будет, соответственно, устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво.

Для решения задачи устойчивости для системы (97.4) мы воспользуемся методом, который мы уже применяли в §\$ 66 и 67 при решении частных случаев рассматриваемой сенчас задачи. Этот метод заключается в преобразовании уравнений (97.4) к такому виду, чтобы в нем члены до порядка $N$ имели постоянные коэффициенты. Тогда задача сведется к уже рассмотренной задаче критических случаев установившихся движений.

Мы сейчас покажем, что указанное преобразование деиствительно может быть выполнено, если между корнями $\lambda_{i}$ и периодом $\omega$ не существует никаких соотношений вида
\[
\begin{array}{c}
\pm \sqrt{-1}\left(m_{1} \lambda_{1}+m_{2} \lambda_{2}+\ldots+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}\right)=\frac{2 \pi}{\omega} \\
(i=1,2, \ldots, k),
\end{array}
\]

где $m_{1}, \ldots, m_{k}$ – произвольные целые положительные числа (некоторые из них могут равняться нулю), связанные соотношением $m_{1}+\ldots+m_{k} \leqslant N$. Мы будем предполагать, что это условие выполнено и будем искать интересующее нас преобразование в виде
\[
\begin{array}{c}
y_{i}=u_{i}+\Sigma A_{1}^{\left(m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k}\right)}(t) u_{1}^{m_{1}} u_{2}^{m_{2}} \ldots u_{k}^{m_{k}} \\
\left(i=1,2, \ldots, k ; 2 \leqslant m_{1}+\ldots+m_{k} \leqslant N\right),
\end{array}
\]

где $A_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t)$ – некоторые периодические функции $t$ с периодом $\omega$. Мы постараемся подобрать эти функции таким образом, чтобы
преобразованные уравнения приняли вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{i}}{d t}=\lambda_{i} u_{i}+\alpha_{i-1} a_{i-1}+ \\
+\sum a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)} u_{1}^{m_{1}} \ldots u_{k}^{m_{k}}+U_{i}\left(t, u_{1}, \ldots, u_{k}\right) \\
\quad\left(i=1,2, \ldots, k ; 2 \leqslant m_{1}+\ldots+m_{k} \leqslant N\right),
\end{array}
\]

где $a_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ – постоянные, а $U_{i}$ – зависящие от $t$ аналитические функции переменных $u_{1}, \ldots, u_{k}$, разложения которых начинаются членами не ниже ( $N+1$ )-го порядка. Эти функции, очевидно, удовлетворяют соотношениям вида (97.5).

Пусть $u_{1}^{(m)}\left(t, u_{1}, \ldots, u_{k}\right)$ обозначает совокупность членов $m$-го порядка в подстановке (97.6). Допустим, что все $u_{i}^{(s)}$, для которых $s<m$, и все $u_{j}^{(m)}$, для которых $j<i$, уже вычислены согласно вышеуказанным условиям. Тогда, подставляя в уравнения (97.4) вместо $y_{\text {; }}$ : их выражения (97.6), заменяя при этом производные $\frac{d u_{i}}{d t}$ их выражениями (97.7) и приравнивая члены $m$-го порядка в левых и правых частях полученных таким образом уравнении, мы найдем для определения форм $u_{i}^{(m)}$ следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\left.\frac{\partial u_{i}^{(m)}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{k} \frac{\partial u_{i}^{(m)}}{\partial u_{j}}\left(\lambda_{j} u_{j}+\alpha_{j-1} u_{j-1}\right)+\sum a_{i}^{\left(m_{1}\right.} \ldots m_{k}\right)_{u_{1}}^{m_{1}} \ldots u_{k}^{m_{k}}= \\
=\lambda_{i} u_{i}^{(m)}+U_{i}^{(m)}\left(t, u_{1}, \ldots, u_{k}\right) \\
\left(i=1,2, \ldots, k ; m_{1}+\ldots+m_{k}=m ; \alpha_{0}=0\right) .
\end{array}
\]

Здесь $U_{i}^{(m)}$ обозначает известные формы $m$-го порядка переменных $u_{1}, \ldots, u_{k}$, коэффициенты которых являются периодическими функциями $t$, периода $\omega$.

Приравнивая в уравнениях (97.8) подобные члены, мы получим для определения коэффициентов $\left.A_{i}^{\left(m_{1}\right.}, \ldots, m_{k}\right)(t)$ систему линейных неоднородных дифференциальных уравнении. При этом, если эти коэффициенты вычислять в определенном порядке (см. § 93, уравнения (93.13)), то для каждого из них получится уравнение вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d A_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}}{d t}+\left(m_{1} \lambda_{1}+\ldots+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}\right) A_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}= \\
=-a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}+B_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t),
\end{array}
\]

где $\left.B_{i}^{\left(m_{1}\right.}, \ldots, m_{k}\right)$ являются линейными функциями уже вычисленных величин $A_{j}^{\left(n_{1}, \ldots, n_{k}\right)}$ с периодическими коэффициентами.

Допустим, что все входящие в $B_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ величины $A_{j}^{\left(n_{1}, \ldots, n_{k}\right)}$ уже вычислены и вышли периодическими. Тогда $B_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ будут известными периодическими функциями времени и уравнение (97.9)

Для того чтобы этот коэффициент получился периодическим, необходимо, вообще говоря, подобрать постоянную $a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$. Мы положим
\[
a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=\frac{1}{\omega} \cdot \int_{0}^{\omega} B_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)} d t \text { при } m_{1} \lambda_{1}+\ldots+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}=0 .
\]

При таком и только таком выборе постоянной $a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ уравнение (97.9) при $m_{1} \lambda_{1}+\ldots+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}=0$ будет иметь периодическое решение, определяемое, очевидно, формулой
\[
A_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=\int B_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)} d t .
\]

Входящую сюда постоянную интегрирования можно выбрать по произволу. При $m_{1} \lambda_{1}+\ldots+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}
eq 0$ уравнение (97.9) имеет С целью упрощения (весьма существенного) получаемых после преобразования уравнений (97.7) мы будем полагать:
\[
a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=0 \text { при } m_{1} \lambda_{1}+\ldots,+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}
eq 0 .
\]

При таком выборе постоянной $a_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ уравнение (97.9), как было показано в § 67 , имеет периодическое решение
\[
A_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}=e^{a t}\left\{\frac{e^{a \omega}}{1-e^{a \omega}} \int_{0}^{\omega} e^{-a t} f(t) d t+\int_{0}^{t} e^{-a t} f(t) d t\right\},
\]

где для краткости положено:
\[
a=\lambda_{i}-m_{1} \lambda_{1}-\ldots-m_{k} \lambda_{k}, \quad f(t)=B_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}(t) .
\]

Так как по условию $a$ никогда не равняется $\pm \frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{-1}$, то знаменатель в решении (97.11) всегда отличен от нуля и это решение действительно существует. Благодаря тому же условию однородная часть уравнения не имеет периодического решения с периодом, соизмеримым с $\omega$, вследствие чего уравнение (97.9) кроме решения (97.11) не имеет других периодических решений.

Таким путем можно последовательно определить коэффициенты $A_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ преобразования и одновременно с ними коэффициенты $a_{l}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ преобразованных уравнении. Если теперь учесть, что каждая из величин $\lambda_{i}$ либо равна нулю, либо является чисто мнимой и что в последнем случае какая-нибудь из величин $\lambda_{j}$ равна $-\lambda_{i}$, то мы придем к заключению, что, по крайней мере, при нечетном $m$ некоторые из величин $m_{1} \lambda_{1}+\ldots+m_{k} \lambda_{k}-\lambda_{i}$ равны нулю. Следовательно, не все постоянные $a_{i}^{\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right)}$ равны нулю, если только не рассматривать тот особо исключительный случай, когда все интегралы
\[
\left.\int_{0}^{\omega} B_{i}^{\left(m_{1}\right.}, \ldots, m_{k}\right) d t
\]

как бы велико ни было $m$, равны нулю. Исключая из рассмотрения указанный случай, как и все другие случаи, при которых задача устойчивости не решается конечным числом членов, мы приведем любой критический случай для периодических движений к аналогичному случаю для установившихся движений.

В частности, мы имеем возможность решить задачу устойчивости для критических случаев одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней и двух пар чисто мнимых корней. Заметим, что в этих случаях в силу (97.10) уравнения (97.7) будут уже иметь вид, при котором задача устойчивости решается сразу, т. е. вид (95.6) в случае двух пар чисто мнимых корней и вид (96.4) в случае одного нулевого и пары чисто мнимых корней.
Пример. Пусть предложена система третьего порядка
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda^{2} x=f\left(t, x,\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}, y\right)+\varphi(t)\left(\frac{d x}{d t}\right)^{3}, \\
\frac{d y}{d t}=F\left(t, x, \frac{d x}{d t}, y\right)
\end{array}
\]

с одним нулевым и парой чисто мнимых корней $\pm \lambda_{i}$. Здесь $f$ и $F$-аналитические функции переменных $x, \frac{d x}{d t}, y$, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже третьего порядка, причем функция $f$ содержит только четные степени $\frac{d x}{d t}$. Коэффициенты этих разложений, так же как и коэффициент $\varphi(t)$, являются периодическими функциями $t$, периода $\omega$.
Полагая
\[
x_{1}=x-\frac{i}{\lambda} \frac{d x}{d t}, \quad y_{1}=x+\frac{i}{\lambda} \frac{d x}{d t},
\]
приведем рассматриваемую систему к виду
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y}{d t}=F\left(t, \frac{x_{1}+y_{1}}{2}, \frac{\lambda\left(y_{1}-x_{1}\right)}{2 i}, y\right), \\
\frac{d x_{1}}{d t}=i \lambda x_{1}-\frac{i}{\lambda} f\left(t, \frac{x_{1}+y_{1}}{2},\right. & \left.\frac{\lambda^{2}\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}}{-4}, y\right)+ \\
& \quad+\frac{\lambda^{2}}{8} \varphi(t)\left(y_{1}-x_{1}\right)^{3}, \\
\frac{d y_{1}}{d t}=-i \lambda y_{1}+\frac{i}{\lambda} f\left(t, \frac{x_{1}+y_{1}}{2},\right. & \left.\frac{\lambda^{2}\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}}{-4}, y\right)- \\
& -\frac{\lambda^{2}}{8} \varphi(t)\left(y_{1}-x_{1}\right)^{3} .
\end{array}\right\}
\]

Делаем, далее, подстановку (97.6):
\[
\left.\begin{array}{c}
y=v+v^{(3)}\left(t, u_{1}, v_{1}, v\right)+\ldots, \\
x_{1}=u_{1}+u_{1}^{(3)}\left(t, u_{1}, v_{1}, v\right)+\ldots, \\
y_{1}=v_{1}+v_{1}^{(3)}\left(t, u_{1}, v_{1}, v\right)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
v^{(k)}=\sum A^{\left(m_{1}, m_{2}, n\right)} u_{1}^{m_{1}} v_{1}^{m_{2}} v^{n}, \\
u_{1}^{(k)}=\sum A_{1}^{\left(m_{1}, m_{2}, n\right)} u_{1}^{m_{1}} v_{1}^{m_{2}} v^{n}, \\
\boldsymbol{v}_{1}^{(k)}=\sum \bar{A}_{1}^{\left(m_{1}, m_{2}, n\right)} v_{1}^{m_{1}} u_{1}^{m_{2}} v^{n} \\
\left(m_{1}+m_{2}+n=k\right) .
\end{array}
\]

Мы не вводим в подстановку членов второго порядка, так как эти члены отсутствуют в уравнениях (97.12). Кроме того, мы учитываем, что переменные $x_{1}$ и $y_{1}$ являются комплексно сопряженными, и делаем поэтому такими же переменные $u_{1}$ и $v_{1}$.

Стараемся подобрать преобразование (97.13) таким образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид (97.7). В рассматриваемом случае, учитывая (97.10), мы должны получить:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t}=\alpha v^{3}+\beta v u_{1} v_{1}+\ldots \\
\frac{d u_{1}}{d t}=i \lambda u_{1}+\alpha_{1} u_{1}^{2} v_{1}+\beta_{1} u_{1} v^{2}+\ldots \\
\frac{d v_{1}}{d t}=-i \lambda v_{1}+\bar{\alpha}_{1} v_{1}^{2} u_{1}+\bar{\beta}_{1} v_{1} v^{2}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Подставляя (97.13) и (97.14) в первые два уравнения (97.12) и приравнивая члены третьего порядка, получим:
\[
\begin{array}{c}
\alpha v^{3}+\beta v u_{1} v_{1}+\frac{\partial v^{(3)}}{\partial t}+i \lambda u_{1} \frac{\partial v^{(3)}}{\partial u_{1}}-i \lambda v_{1} \frac{\partial v^{(3)}}{\partial v_{1}}= \\
=F^{(3)}\left(t, \frac{u_{1}+v_{1}}{2}, \frac{\lambda\left(v_{1}-u_{1}\right)}{2 i}, v\right), \\
\alpha_{1} u_{1}^{2} v_{1}+\beta_{1} u_{1} v^{2}+\frac{\partial u_{1}^{(3)}}{\partial t}+i \lambda \frac{\partial u_{1}^{(3)}}{\partial u_{1}} u_{1}-i \lambda \frac{\partial u_{1}^{(3)}}{\partial v_{1}}-v_{1}= \\
=i \lambda u_{1}^{(3)}-\frac{i}{\lambda} f^{(3)}\left(t, \frac{u_{1}+v_{1}}{2}, \frac{\lambda^{2}\left(v_{1}-u_{1}\right)^{2}}{-4}, v\right)+ \\
+\frac{\lambda^{2}}{8} \varphi(t)\left(v_{1}-u_{1}\right)^{3},
\end{array}
\]

где $f^{(3)}$ и $F^{(3)}$ – совокупность членов третьего порядка в $f$ и $F$.
Если в первом из этих уравнений приравнять коэффициент при $v^{3}$, то получим:
\[
\alpha+\frac{d A^{(0,0,3)}}{d t}=F^{(3)}(t, 0,0,1),
\]

и условие периодичности $A^{(0,0,3)}$ дает:
\[
\alpha=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} F^{(3)}(t, 0,0,1) d t .
\]

Приравнивая во втором уравнении (97.15) коэффициенты при $u_{1}^{2} v_{1}$ и $u_{1} \psi^{2}$, будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}+\frac{d A_{1}^{(2,1,0)}}{d t}=-\frac{i}{\lambda} \psi(t)+\frac{3}{8} \lambda^{2} \varphi(t), \\
\beta_{1}+\frac{d A_{1}^{(102)}}{d t}=-\frac{i}{\lambda} \Psi(t),
\end{array}
\]

где $\psi(t)$ и $\Psi(t)$ – некоторые вещественные функции $t$, представляющие собой коэффициенты при $u_{1}^{2} v_{1}$ и $u_{1} v^{2}$ в $f^{(3)}\left(t, \frac{u_{1}+v_{1}}{2}, \frac{\lambda^{2}\left(v_{1}-u_{1}\right)^{2}}{-4}, v\right)$. Отсюда находим:
\[
\alpha_{1}=\frac{3 \lambda^{2}}{8 \omega} \int_{0}^{(0)} \varphi(t) d t-\frac{i}{\lambda \omega} \int_{0}^{\omega} \psi(t) d t, \beta_{1}=-\frac{i}{\lambda \omega} \int_{0}^{(0)} \Psi(t) d t .
\]

Коэффициент $\beta$ мы не подсчитываем, так как он нам не потребуется. Полагая теперь:
\[
u_{1}=\rho e^{i \theta}, \quad v_{1}=\rho e^{-i \theta},
\]

мы получим из (97.14) следующую решающую задачу систему второго порядка с двумя нулевыми корнями:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t}=\alpha v^{3}+\beta v \rho^{2}+\ldots, \\
\frac{d \rho}{d t}=a \rho^{3}+\ldots
\end{array}
\]

Здесь
\[
a=\frac{3 \lambda^{2}}{8 \omega} \int_{0}^{\omega} \varphi(t) d t .
\]

Для форм $P$ и $G$ имеем:
\[
\begin{array}{l}
P(v, \rho)=\alpha v^{4}+\beta v^{2} \rho^{2}+a \rho^{4}, \\
G(v, p)=v \rho\left[(a-\beta) \rho^{2}-\alpha v^{2}\right] .
\end{array}
\]

Уравнение $G=0$ дает две прямые $v=0, \rho=0$ и две прямые, определяемые уравнением
\[
\alpha v^{2}-(a-\beta) \rho^{2}=0,
\]

если только $\alpha(a-\beta)>0$. Отсюда находим, чго невозмущенное движение будет неустойчиво, если хотя бы одна из величин $\alpha$ или $a$ положительна. Если $\alpha<0$ и $a<0$, то, невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво, если уравнение (97.18) не имеет вещественных решений, т. е. если $\alpha(a-\beta)<0$. Но то же самое будет и в том случае, когда прямые (97.18) являются вещественными. Действительно, при условии (97.18) имеем:
\[
P=a \rho^{2} r^{2}+a \rho^{4},
\]

и следовательно, если $a<0$, то на обеих прямых (97.18) форма $P$ отрицательна. Итак, принимая во внимание (97.16) и (97.17), находим, что невозмущенное движение будет асимптотически устойиво, если обе величины
\[
\int_{0}^{\omega} \varphi(t) d t, \quad \int_{0}^{\omega} F^{(3)}(t, 0,0,1) d t
\]

отрицательны и неустойчиво, если хотя бы одна из них положительна. Если одна из этих величин отрицательна, а другая равна нулю, то требуется рассмотреть члены более высокого порядка в уравнениях (97.14).