Теоремы, сформулированные в предыдущем параграфе, указывают достаточные условия, при выполнении которых разрешима задача II об оптимальной стабилизации системы (112.1) при условии минимума
1) Красовский Н. Н., О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи. ПММ, т. XXVII, вып. $4,1963$.

показателя качества (112.2) процесса $x_{s}(t)(s=1, \ldots, n)$. Следовательно, при этих условиях уравнения (111.13) (или уравнения (111.11)), определяющие оптимальную функцию Ляпунова $V^{0}$, имеют решения $c_{i j}$ (или $c_{i j}(t)$ ), обладающие всеми нужными свойствами.

Решение уравнении (111.11) может представить серьезные трудности, а решение уравнений (111.13) обычно не вызывает принципиальных затруднений, однако и в этом случае практический счет может оказаться весьма громоздким.

Предполагая в дальненшем, что величины $p_{k l}, q_{i k}, \alpha_{i j}$ и $\beta_{i j}$, фигурирующие в (112.1) и (112.2), не зависят от времени, изложим два возможных способа решения задачи об оптимальной стабилизации.

Первый способ основан на таком свойстве искомых решений $c_{i j}$ уравнений (111.13): если задача II в форме (112.1) – (112.2) имеет решение, то величины $c_{i j}$, удовлетворяющие уравнениям (111.13) и определяющие оптимальную функцию Ляпунова
\[
V^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i, j=1}^{n} c_{i j} x_{i} x_{j},
\]

суть числа
\[
\begin{array}{c}
c_{i j}=\lim c_{i j}^{*}(t) \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty \\
(i, j=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $c_{i j}^{*}(t)$ – частное решение системы дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d c_{i j}^{*}}{d t}=\sum_{k=1}^{n}\left(p_{k i} c_{k j}^{*}+p_{k j} c_{k i}^{*}\right)- \\
-\sum_{k, s=1}^{r} \frac{\Delta_{k s}}{\Delta}\left(\sum_{l=1}^{n} c_{l j}^{*} q_{l k}\right)\left(\sum_{m=1}^{n} c_{m i}^{*} q_{m s}\right)+\alpha_{i j},
\end{array}
\]

отвечающее начальным условиям
\[
c_{i j}^{*}(0)=0 \quad(i, j=1, \ldots n) .
\]
(Уравнения (113.3) получаются из уравнении вида (111.11), в которых $t$ заменяется на — $t$.)

Упомянутое свойство подсказывает метод вычисления величин $c_{i j}$. Для этой цели следует найти решение $c_{i j}^{*}(t)$ уравнений (113.3)(113.4) при достаточно больших значениях $t=\tau$. Вследствие соотношений (113.2) можно принять
\[
c_{i j}=c_{i j}^{*}(\tau) \quad(i, j=1, \ldots, n) .
\]

Таким образом, коэффициенты оптимальной фунқции Ляпунова могут быть вычислены сколь угодно точно, если $\tau$ достаточно велико. Для практических вычисленић, легко поддающихся стандартизации, удобно пользоваться вычислительными устройствами и, в частности, аналоговыми машинами.

Доказательство предельных соэтношений (113.2) и подробное описание рассмотренного способа вычисления величин $c_{i j}$ с использованием электронных моделей можно найти в работе Ю. М. Репина и В. Е. Третьякова ${ }^{1}$ ).

После вычисления величин $c_{i j}$ управляющие воздействия определяются без труда по формулам (111.9).

Пример 1. В качестве иллюстрации изложенного способа рассмотрим решение задачи о стабилизации математического маятника в верхнем, неустойчивом положении равновесия моментом, приложенным к нему на оси подвеса. Этот момент вырабатывается исполнительным механизмом, который является интегрирующим звеном. Исполнительный механизм в свою очередь подвержен некоторому управляющему воздействию $u$.

Выбирая соответствующим образом масштабы времени, координат и усилий, запишем уравнения возмущенного движения в нормальной форме:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{2}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=\sin x_{1}+x_{3}, \quad \frac{d x_{3}}{d t}=u,
\]

где $x_{1}=\varphi$ – угол отклонения маятника от вертикали, $x_{2}=\dot{\varphi}, x_{3}$ – момент, приложенный к маятнику.
Составим уравнения первого приближения:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{2}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=x_{1}+x_{3}, \quad \frac{d x_{3}}{d t}=u .
\]

Для этой системы рассмотрим задачу II об оптимальной стабилизации, выбрав следующий критерий качества:
\[
I_{u}=\int_{t_{0}}^{\infty}\left[x_{1}^{2}(t)+x_{2}^{2}(t)+x_{3}^{2}(t)+u^{2}(t)\right] d t .
\]

Проверим достаточное условие разрешимости задачи (см. теорему 1 $\S 112$ ). С этой целью вычислим матрицу $W=\left\{Q, P Q, P^{2} Q\right\}$.
В нашем случае
\[
P=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad Q=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right),
\]

и поэтому
\[
W=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Ранг матрицы $W$ равен порядку системы (113.5). Следовательно, рассматриваемая задача имеет решение. Уравнения (111.13) для определения
1) Репин Ю. М., Третьяков В. Е., Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих устройствах. Автоматика и телемеханика, т. 24, вып. 6, 1963.

коэффициентов формы (113.1) принимают следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
2 c_{12}-c_{13}^{2}+1=0, \quad c_{11}+c_{22}-c_{13} c_{23}=0, \\
\left.2 c_{12}-c_{23}^{2}+1=0, \quad c_{23}+c_{12}-c_{33} c_{13}=0,\right\} \\
2 c_{23}-c_{33}^{2}+1=0, \quad c_{13}+c_{22}-c_{33} c_{23}=0 . \\
\end{array}
\]

Пусть $c_{i j}$-искомое решение системы уравнений (113.7), для которого квадратичная форма (113.1) является определенно-положительной.
Согласно (113.2)
\[
c_{i j}=\lim c_{i j}^{*}(t) \quad(i, j=1,2,3) \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty,
\]

где $c_{i j}^{*}(t)$ – решение системы дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d c_{11}^{*}(t)}{d t}=2 c_{12}^{*}(t)-c_{12}^{*^{2}}(t)+1, \\
\frac{d c_{22}^{*}(t)}{d t}=2 c_{12}^{*}(t)-c_{23}^{*^{2}}(t)+1, \\
\frac{d c_{33}^{*}(t)}{d t}=2 c_{23}^{*}(t)-c_{33}^{* 2}(t)+1, \\
\frac{d c_{12}^{*}(t)}{d t}=c_{11}^{*}(t)+c_{22}^{*}(t)-c_{13}^{*}(t) \cdot c_{23}^{*}(t), \\
\frac{d c_{13}^{*}(t)}{d t}=c_{23}^{*}(t)+c_{12}^{*}(t)-c_{33}^{*}(t) \cdot c_{13}^{*}(t), \\
\frac{d c_{23}^{*}(t)}{d t}=c_{13}^{*}(t)+c_{22}^{*}(t)-c_{33}^{*}(t) \cdot c_{23}^{*}(t),
\end{array}\right\}
\]

соответствующее начальным условиям
\[
c_{i j}^{*}(0)=0 \quad(i, j=1,2,3) .
\]

На рис. 24 приведены графики переходных кривых для уравнений (113.8), вычисленные на цифровой вычислительной машине. Значения $c_{i j}(i, j=1,2,3)$ получаются такими:
\[
\begin{array}{ll}
c_{11}=11,1333, & c_{12}=10,1333, \\
c_{22}=10,1333, & c_{13}=4,6116, \\
c_{33}=3,1974, & c_{23}=4,6116 .
\end{array}
\]

Искомое оптимальное управление $u^{0}$ находится по формуле (111.9):
\[
\begin{aligned}
u^{0} & =-\frac{1}{2} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{3}}=-\left(c_{13} x_{1}+c_{23} x_{2}+c_{33} x_{3}\right)= \\
& =-\left(4,6116 x_{1}+4,6116 x_{2}+3,1974 x_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Из примера, в частности, видно, что для определения оптимального управляющего воздействия знание всех коэффициентов оптимальной функции Ляпунова не обязательно.

Мы переходим теперь к изложению второго способа ${ }^{1}$ ) решения задачи II в форме (112.1) – (112.2), который позволяет вычислить коэффициенты оптимального управления непосредственно, без предварительного определения функции $V^{0}$.

Предположим, что движение объекта описывается системой линейных дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x_{1}}{d t}=p_{11} x_{1}+\ldots+p_{1 n} x_{n}+q_{1} u, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_{n n} x_{n}+q_{n} u,
\end{array}\right\}
\]

где $p_{s j}$ и $q_{s}(s, j=1, \ldots, n)$ – некоторые постоянные величины, а $u$-скалярное управляющее воздействие. Пусть критерий качества переходного процесса задан в виде интеграла
\[
I_{u}=\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{\infty}\left[\sum_{i j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+u^{2}\right] d t .
\]

Здесь $\quad \alpha_{i j}$ – постоянные коэффициенты определенно-положительной квадратичной формы.

Допуская, что условия, при которых разрешима задача II в форме (113.9)-(113.10), выполнены (см. теорему 1 § 112), Рис. 24. воспользуемся для отыскания оптимального управляющего воздействия процедурой, вытекающей из принципа максимума.

Функция Гамильтона $H=H\left(\psi_{0}, \ldots, \psi_{n}, x_{1}, \ldots, x_{n}, u\right)$, onределенная в § 110 формулой (110.2), для нашей задачи имеет вид
\[
H=-\frac{1}{2}\left[\sum_{i j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+u^{2}\right]+\sum_{i=1}^{n} \psi_{i} \frac{d x_{i}}{d t} .
\]
1) Подобный способ опубликован в статье: Пряхин Н. С., К вопросу об аналитическом конструировании регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. 24 , вып. 9, 1963. Независимо аналогичный метод был разработан и стандартизирован в вычислительном центре Уральского государственного университета под руководством Ю. М. Репина в 1962 году.

Оптимальное управление в каждый момент времени должно формироваться так, чтобы максимизировалась величина $H$ или, что то же самое, минимизировалась величина $B$ (см. § 109)
\[
B=\frac{1}{2}\left[\sum_{i j=1}^{n} \alpha_{i j} x_{i} x_{j}+u^{2}\right]+\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{i}} \cdot \frac{d x_{i}}{d t} .
\]

Поэтому, приравнивая производную $\frac{\partial H}{\partial u}$ или $\frac{\partial B}{\partial u}$ нулю, находим структуру оптимального управления
\[
u^{0}=q_{1} \psi_{1}+q_{2} \psi_{2}+\ldots+q_{n} \psi_{n} .
\]

Составим, далее, канонически сопряженные уравнения (109.1) и (110.3):
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \psi_{i}}, \quad \frac{d \psi_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

которые в нашем случае после подстановки вместо $u$ функции $u^{0}$ из формулы (113.11) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=p_{11} x_{1}+\ldots+p_{1 n} x_{n}+q_{1} q_{1} \psi_{1}+\ldots+q_{1} q_{n} \psi_{n}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{d x_{n}}{d t}=p_{n 1} x_{1}+\ldots+p_{n n} x_{n}+q_{n} q_{1} \psi_{1}+\ldots+q_{n} q_{n} \psi_{n}, \\
\frac{d \psi_{1}}{d t}=\alpha_{11} x_{1}+\ldots+\alpha_{1 n} x_{n}-p_{11} \psi_{1}-\ldots-p_{n 1} \psi_{n}, \\
\frac{d \psi_{n}}{d t}=\alpha_{n 1} x_{1}+\ldots+\alpha_{n n} x_{n}-p_{1 n} \psi_{1}-\ldots-p_{n n} \psi_{n} . \\
\end{array}
\]

Эту систему уравнений, решающих задачу об оптимальной стабилизации, можно получить также, используя классический вариационный метод Эилера – Лагранжа. Именно таким путем она была получена впервые А. М. Летовым ${ }^{1}$ ).
Построим характеристический определитель для системы (113.12):
\[
D(\lambda)=\left|\begin{array}{cc}
P-\lambda E & Q_{1} \\
\alpha & -P^{*}-\lambda E
\end{array}\right|,
\]

где обозначено $P=\left\{p_{s j}\right\}, \quad Q_{1}=\left\{q_{s} \cdot q_{j}\right\}, \quad P^{*}=\left\{p_{j s}\right\}, \quad \alpha=\left\{\alpha_{i j}\right\}$ $E=\left\{\delta_{i j}\right\}$. Известно, что построенный определитель обладает свойством $D(-\lambda)=D(\lambda)$, т. е. характеристический полином содержит только четные степени $\lambda$. Тогда уравнение $D(\lambda)=0$ наряду с каж-
t) Летов А. М., Аналитическое конструирование регуляторов, Автоматика и телемеханика, т. 21, вып. 4, 1960.

дым корнем, имеющим отрицательную действительную часть, будет обладать соответствующим корнем с положительной дейстительной частью. Следовательно, характеристический многочлен может быть выражен в виде произведения двух полиномов $n$-й степени
\[
D(\lambda)=d_{1}(\lambda) \cdot d_{2}(\lambda),
\]

причем корни полинома $d_{1}(\lambda)$ расположены в левой полуплоскости, а корни многочлена $d_{2}(\lambda)$ – в правой.

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Движение, определяемое уравнениями (113.9), в которые вместо $\boldsymbol{u}$ подставлено оптимальное управление $u^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, являющееся согласно результатам § 111 линейной функцией координат $x_{s}(s=1, \ldots, n)$, совпадает с движением, получающимся в силу системы уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=P x+Q_{1} \psi \text {, }
\]

в которых вектор $\psi=\left\{\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right.$; вычислен на оптимальных траекториях $x_{s}^{0}(t)(s=1, \ldots, n)$.

Но по условиям задачи оптимальное управляющее воздействие должно быть таким, чтобы тривиальное решение системы
\[
\frac{d x}{d t}=P x+q u^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где
\[
q=\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\},
\]

было асимптотически устоичивым, следовательно, характеристическии многочлен, составленный для (113.13), обязан иметь все корни с отрицательной деиствительной частью и этот многочлен должен тождественно совпадать с $(-1)^{n} d_{1}(\lambda)$ в силу отмеченного выше обстоятельства.

Полагая $u^{0}=v_{1} x_{1}+\ldots+v_{n} x_{n}$ и подставляя его в таком виде в уравнения (113.13), приравниваем характеристический полином многочлену $(-1)^{n} d_{1}(\lambda)$ :

Если многочлен $d_{1}(\lambda)$ нам известен, то, сравнивая в тождестве (113.14) коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим систему уравнений для определения коэффициентов оптимального управления. Нетрудно убедиться в том, что эта система алгебраических уравнений всегда будет линейной.

Таким образом, вопрос об отыскании оптимального управления сводится по существу к вопросу о разложении полинома степени $2 n$ на два указанных выше множителя $d_{1}(\lambda)$ и $d_{2}(\lambda)$. Как только многочлен $d_{1}(\lambda)$ становится известным, коэффициенты оптимального управления находятся сразу же из решения линеиной системы алгебраических уравнений.

Проиллюстрируем изложенный метод, решив в линейном приближении задачу, сформулированную в примере $\S 108$.

Пример 2. Отбрасывая нелинейные члены в уравнения (108.4), получим систему первого приближения
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{2}, \frac{d x_{2}}{d t}=\alpha x_{1}+\beta x_{3}+b u, \quad \frac{d x_{3}}{d t}=u .
\]

Полагаем для простоты выкладок $\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\gamma=\frac{1}{2}$, так что
\[
I_{u}=\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{\infty}\left[x_{1}^{2}(t)+x_{2}^{2}(t)+x_{3}^{2}(t)+u^{2}(t)\right] d t .
\]

Канонически сопряженная систеиа (113.12) имеет для нашего примера вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{1}}{d t}=x_{2}, \frac{d x_{2}}{d t}=\alpha x_{1}+\beta x_{3}+b^{2} \psi_{2}+b \psi_{3}, \frac{d x_{3}}{d t}=b \psi_{2}+\psi_{3} \\
\frac{d \psi_{1}}{d t}=x_{1}-\alpha \psi_{2}, \quad \frac{d \psi_{2}}{d t}=x_{2}-\psi_{1}, \frac{d \psi_{3}}{d t}=x_{3}-\beta \psi_{2} .
\end{array}
\]

Раскрывая характеристический определитель этой системы, получим
\[
D(\lambda)=\left(\lambda^{2}-1\right)\left[\left(\lambda^{2}-\alpha\right)^{2}-\lambda^{2} b^{2}+\beta^{2}\right] .
\]

Многочлен $D(\lambda)$ нетрудно в нашем случае представить в виде произведения полиномов $d_{1}(\lambda)$ и $d_{2}(\lambda)$ :
\[
D(\lambda)=\left(\lambda^{3}+a_{1} \lambda^{2}+a_{2} \lambda+a_{3}\right)\left(\lambda^{3}-a_{1} \lambda^{2}+a_{2} \lambda-a_{3}\right) .
\]

Здесь $\lambda^{3}+a_{1} \lambda^{2}+a_{2} \lambda+a_{3}=d_{1}(\lambda)$. Коэффициенты $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ определяются формулами:
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=1+\sqrt{2 \alpha+b^{2}+2 \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}, \\
a_{2}=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}+\sqrt{2 \alpha+b^{2}+2 \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}, \\
a_{3}=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}} .
\end{array}
\]

Легко проверить, что уравнение
\[
\lambda^{3}+a_{1} \lambda^{2}+a_{2} \lambda+a_{3}=0
\]

имеет все корни с отрицательной действительной частью. Полагая $u^{0}=v_{1} x_{1}+$ $+v_{2} x_{2}+v_{3} x_{3}$ и составляя тождество (113.14), имеем:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
-\lambda & 1 & 0 \\
\alpha+b v_{1} & b v_{2}-\lambda, & \beta+b v_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3}-\lambda
\end{array}\right|=-\lambda^{3}-a_{1} \lambda^{2}-a_{2} \lambda-a_{3} .
\]

Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получаем систему линейных уравнений относительно $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ :
\[
-b v_{2}-v_{3}=a_{1}, \quad-b v_{1}-\beta v_{2}=a_{2}+\alpha,-\beta v_{1}+\alpha v_{3}=a_{3} .
\]

Решая эту систему, находим коэффициенты оптимального управления:
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{1}=\frac{b \alpha\left(a_{2}+\alpha\right)-\beta\left(a_{1} \alpha+a_{3}\right)}{\Delta}, \\
v_{2}=\frac{b\left(a_{3}+\alpha a_{1}\right)-\beta\left(a_{2}+\alpha\right)}{\Delta}, \\
v_{3}=\frac{b \beta\left(a_{2}+\alpha\right)-\beta^{2} a_{1}-a_{3} b^{2}}{\Delta},
\end{array}\right\}
\]

где $\Delta=\beta^{2}-\alpha b^{2}$.
Учитывая, что $\alpha=-\frac{\mu}{r_{0}^{3}}, \beta=\frac{2 \sqrt{\mu r_{0}}}{r_{0}^{3}}, b=\frac{k}{r_{0}}, k=\frac{c_{r}}{c_{\varphi}}$ (см. § 108), имеем $\Delta=\frac{\mu\left(4+k^{2}\right)}{r_{0}^{5}}$. Если $c_{\varphi}
eq 0$, то $\Delta$ не обращается в нуль ни при каких $r_{0}$ и является конечным числом. Следовательно, задача об оптимальной стабилизации для нашего примера имеет решение при любых $r_{0}$ и $\epsilon_{\varphi}
eq 0$.

Заметим, кстати, тто условие $\Delta
eq 0$ совпадает с достаточным условием разрешимости задачи из теоремы 1 § 112. Это условие для нашего примера оказывается невыполненным, если $c_{\varphi}=0$, что соответствует выбросу массы только в радиальном направлении. Можно показать, что в этом случае задача II в форме (113.15) – (113.16) решения не имеет.

В самом деле, если $c_{\varphi}=0$, то система уравнений (108.2) имеет первый интеграл $y_{3}=r^{2} \dot{\varphi}=x=$ const, где постоянная $x$ определяется начальными условиями, которым соответствует движение точки по исходной эллиптической орбите. В невозмущенном движении $y_{3}=\sqrt{\mu r_{0}}$ (см. $\$ 108$ ). Вообще говоря, $\sqrt{\mu r_{0}}
eq x$, так как $r_{0}$ по условиям задачи – произвольное число, связанное только предположением о достаточной близости эллиптической траектории к круговой орбите радиуса $r_{0}$. Следовательно, в процессе управления $y_{3}(t)$ должно меняться от величины $x$ до величины $\sqrt{\mu r_{0}}$, но $y_{3}$ изленяться вообще не может, так как при $c_{\varphi}=0$ в силу уравнений (108.2) $\frac{d y_{3}}{d t}=0$ во все время переходного процесса. Таким образом, условие $c_{\varphi}
eq 0$ является в рассмотренной задаче необходимым условием осуществления перехода точки с эллиптической траектории на круговую орбиту заданного радиуса.

Заметим, что решение первого примера, рассмотренного в этом параграфе, можно также получить из формул ( 113.17 ), если принять $\alpha=\beta=1$, $b=0$, так как системы уравнений (113.5) и (113.15) в этом случае совпалапот.

В заключение можно сказать, что оба изложенных способа решения задачи II об оптимальной стабилизации для линейных систем (112.1) при условии минимума показателя качества (112.2) процесса $x_{s}(t)(s=1, \ldots, \dot{n})$ позволяют с успехом использовать современные вычислительные устрофства ${ }^{1}$ ). Однако второй метод, в отличие от первого, иногда может привести к решению задачи в замкнутой форме и для такого случая надобность в применении вычислительных машин отпадает. Но первый способ является более универсадьным и он значительно проще по своей вычислительной схеме.

Отметим еще, что задаче о вычислении параметров оптимального управления посвящена интересная работа А. И. Лурье ${ }^{2}$ ).