Система (50.1) не интегрируется в замкнутой форме. Можно, однако, указать общий аналитический вид ее решений.
Пользуясь каким-нибудь определением логарифмов, рассмотрим величины
\[
a_{k}=\frac{1}{\omega} \ln \rho_{k},
\]
где $\rho_{k}$ – корни характеристического уравнения. Эти величины называются характеристическими показателями системы (50.1).
Покажем, что для каждого корня $\rho_{k}$ характеристического уравнения можно подобрать частное решение уравнений (50.1) вида
\[
x_{s}(t)=e^{a_{k} t} \varphi_{s}(t) \quad(s=1,2, \ldots, n,),
\]
где $\varphi_{s}$ – некоторые периодические функции времени периода $\omega$.
Это решение обладает тем своиством, что для него выполняются соотношения
\[
x_{s}(t+\omega)=\rho_{k} x_{s}(t) .
\]
В самом деле, имеем:
\[
x_{s}(t+\omega)=e^{\alpha_{k} t} \cdot e^{\alpha_{k} \omega} \Psi_{s}(t+\omega)=\rho_{k} e^{\alpha_{k} t} \varphi_{s}(t) .
\]
Наоборот, если для какого-нибудь решения $x_{s}(t)$ выполняются соотношения (51.3), то это решение необходимо имеет вид (51.2). Это непосредственно следует из того, что при выполнении (51.3) функции $x_{s} e^{-a_{k} t}$ будут периодическими и, следовательно, функции $x_{s}$ будут иметь вид (51.2).
Таким образом, задача сводится к определению решения, удовлетворяющего соотношениям (51.3). Это решение, если оно существует, должно являться линеиной комбинацией фундаментальной системы. Таким образом, имеем:
\[
x_{s}(t)=\beta_{1} x_{s 1}(t)+\beta_{2} x_{s 2}(t)+\ldots+\beta_{n} x_{s n}(t),
\]
где $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ – некоторые постоянные. Подставляя (51.3), получим
\[
\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} x_{s i}(t+\omega)=\rho_{k} \sum_{i=1}^{n} \beta_{i} x_{s i}(t)
\]
и, следовательно, на основании (50.2)
\[
\sum_{i, l=1}^{n} \beta_{i} a_{l i} x_{s l}(t)=\rho_{k} \sum_{l=1}^{n} \beta_{l} x_{s l}(t) .
\]
Приравнивая коэффициенты при $x_{s l}(t)$, получим, что постоянные $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ удовлетворяют системе линейных однородных уравнений
\[
a_{l 1} \beta_{1}+\ldots+\left(a_{l l}-\rho_{k}\right) \beta_{l}+\ldots+a_{l n} \beta_{n}=0 .
\]
Так как $\rho_{k}$ является корнем характеристического уравнения, то система (51.4) допускает, по крайней мере, одно решение, отличное от тривиального $\beta_{1}=\ldots=\beta_{n}=0$. Таким образом, каждому корню характеристического уравнения отвечает, по крайней мере, одно частное решение дифференциальных уравнений (50.1), имеющее вид (51.2). Корню $\rho_{k}$ может отвечать более чем одно решение вида (51.2). Этих решений будет, очевидно, столько, сколько независимых решений имеет линейная алгебраическая система (51.4). Следовательно, этих решений будет $n-p$, если ранг определителя $D\left(\rho_{k}\right)$ равен $p$. Ранг указанного определителя может быть меньше чем $n-1$ лишь только в том случае, когда корень $\rho_{k}$ является кратным. Поэтому каждому простому корню характеристического уравнения отвечает одно и только одно решение вида (51.2).
Установив это, допустим сначала, что все корни характеристического уравнения являются простыми. Тогда каждому такому корню будет отвечать одно и только одно решение вида (51.2). Рассматривая все корни характеристического уравнения, мы получим $n$ различных частных решений уравнений (50.1). Эти решения будут, очевидно, независимыми и образуют, следовательно, фундаментальную систему.
