Предыдущие теоремы имеют простое геометрическое истолкование. Это истолкование не только выясняет основное содержание теорем, но в последнее время широко используется для решения многих технических задач ${ }^{2}$ ).
Рассмотрим сначала первую теорему Ляпунова. Допустим, что существует знакоопределенная функция $V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, для которой $\frac{d V}{d t} \leqslant 0$. Мы предполагаем при этом для простоты, что $n=3$. Построим систему поверхностей
\[
V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=c,
\]
где $c$ — положительный параметр, изменяющийся от нуля до некоторого достаточно малого значения. Как мы видели в § 8, поверхности (11.1) замкнуты, окружают начало координат и стягиваются в точку при $c=0$. При этом если $c_{1}<c_{2}$, то поверхность $V=c_{1}$ целиком заключена внутри поверхности $V=c_{2}$.
Рассмотрим какую-нибудь интегральную кривую уравнений (6.1), выходящую в начальный момент времени из какой-нибудь точки окрестности начала координат. Эта интегральная кривая при возрастающих значениях $t$ никогда не пересечет ни одной из поверхностен (11.1) изнутри наружу. В самом деле, если бы такое пересечение в какой-нибудь точке имело место, то в этой точке или в окрест-
1) См. примечание в конце книги (стр. 519).
2) Приводимая ниже геометрическая интерпретация стала нам известна из бесед с.Н.Г. Четаевым и впервые была сформулирована в работе: Малкин И. Г., Проблема существозания функций Ляпунова. Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, T. IV (1929-1930), т. V (1931).
ности этои точки функция $V\left[x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t)\right]$ необходимо имела бы положительную производную, так как при переходе от какой-нибудь поверхности (11.1) к другой поверхности этого семейства, охватывающей первую, функция $V\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ возрастает. Но это, однако, невозможно в силу того, что $\frac{d V}{d t} \leqslant 0$. Таким образом, если какаянибудь интегральная кривая в начальный момент времени находилась внутри какой-нибудь поверхности (11.1), то она и в дальнейшем будет все время оставаться внутри нее. Но так как при достаточно малом $c$ поверхности (11.1) ограничивают сколь угодно малую окрестность начала координат, то отсюда непосредственно вытекает устойчивость невозмущенного движения.
Легко также геометрически интерпретировать построение числа $\eta(\varepsilon)$ по числу $\varepsilon$. $\mathrm{C}$ этой целью рассмотрим наибольшую поверхность семейства (11.1), целиком расположенную внутри куба со стороной $2 \varepsilon$. Пусть это будет поверхность $V=l$ (рис. 3) ${ }^{1}$ ). Построим теперь куб со стороной $2 \eta$, целиком расположенный внутри указанной поРис. 3. верхности. Тогда любая интегральная кривая, начинающаяся внутри этого куба, т. е. такая, для которой $\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta$, будет все время оставаться внутри поверхности $V=l$, а следовательно, и подавно внутри куба со стороной $2 \varepsilon$. Мы будем, таким образом, для каждой такой интегральной кривой иметь $\left|x_{s}\right|<\varepsilon$, т.\» е. найенная нами величина $\eta$ и будет той, которая фигурирует в условиях устоиччивости.
Если $\frac{d V}{d t}$ есть функция определенно-отрицательная, то каждая интегральная кривая, выходящая из достаточно малой окрестности начала координат, будет непременно пересекать каждую из поверхностей (11.1) снаружи во внутрь, так как функция $V\left[x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t)\right]$ должна непрерывно убывать. Но в таком случае интегральные кривые должны неограниченно приближаться к началу координат, т. е. невозмущенное движение устоичиво асимптотически.
Таким образом, с точки зрения геометрической второй метод Ляпунова исследования устойчивости сводится к построению семейства замкнутых поверхностей, окружающих начало координат и обладающих тем свойством, что интегральные кривые могут пересекать
1) Как легко видеть, $l$ есть точный нижний предел функции $V$ при условии $\max \left\{\left|x_{1}\right|,\left|x_{2}\right|,\left|x_{3}\right|\right\}=\varepsilon$.
каждую из этих поверхностей только снаружи во внутрь. Как только из каких-нибудь соображений удается установить существование такого рода семейства поверхностей, то этим самым сразу будет установлена устойчивость невозмущенного движения.
