Допустим, что правые части уравнений возмущенного движения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

являются по отношению к $t$ периодическими функциями, периода $\omega$. Мы не исключаем при этом из рассмотрения тот частныи случай, когда $X_{s}$ совсем не зависят от $t$. Мы будем предполагать, что в области $t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H$ функции $X_{s}$ обладают непрерывными частными производными первого порядка по переменным $x_{s}$.
Пусть
\[
x_{s}=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]
— решение системы (72.1), определяемое начальными условиями
\[
F_{s}\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=x_{s}^{0} .
\]

Согласно известной теореме о зависимости решений дифферендать непрерывными частными производными первого порядка по переменным $t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$ для всех значений этих переменных, лежащих в области $\left|t_{0}\right| \leqslant \omega,\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant H^{\prime}<H$, и при всех значениях $t$,
1) Барбашин Е. А., О существовании гладких решений некоторых линейных уравнений с частными производными. ДАН, т. ХXII, №3, 3950; см. также примечание в конце книги (стр. 524)
2) См., например, Сте панов В. В., Курс дифференциальных уравнений, стр. 298, изд. 5-е, Гостехиздат, 1950.

при которых еще выполняются ус.овия $\left|F_{s}\right| \leqslant H$. Далее, из самого определения функций $F_{s}$ вытекает, что для всяких $t_{1}$ и $t_{2}>t_{1}$ имеют место тождества
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{s}^{\prime \prime}=F_{s}\left(t_{2}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}, t_{1}\right)=F_{s}\left(t_{2}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), \\
x_{s}^{\prime}=F_{s}\left(t_{1}^{\prime}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right) .
\end{array}\right\}
\]

где
\[
x_{s}^{\prime}=F_{s}\left(t_{1}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right) .
\]

В самом деле, точка $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, выходящая в момент времени $t_{0}$ из положения $\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$, достигнет в момент $t_{1}$ положения $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right)$ и вместе с другой точкой, выходящей в этот же момент времени $t_{1}$ из этого же положения ( $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$ ), достигнет к моменту времени $t_{2}$ положения $\left(x_{1}^{\prime \prime}, \ldots, x_{n}^{\prime \prime}\right)$, так как начальные условия однозначно определяют движение.

Кроме того, так как уравнения (72.1) не изменяются при замене $t$ на $t+\omega$, то имеют также место тождества
\[
F_{s}\left(t \pm m \omega, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}^{ \pm m \omega)}=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right),\right.
\]

где $m$ — произвольное целое число.
Допустим теперь, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Тогда в области
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \alpha,
\]

где $\alpha$-достаточно малое положительное число, выполняются предельные соотношения
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, 0\right)=0 .
\]
И. Л. Массера показал, что эти соотношения выполняются равномерно относительно $x_{j}^{3}$, т. е. что для всякого $\varepsilon$, как бы мало оно ни было, можно найти такое не зависящее от $x_{j}^{0}$ число $T(\varepsilon)$, что при всех $t>T$ будут выполняться неравенства $\left|F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, 0\right)\right|<\varepsilon$.
Чтобы это показать, определим прежде всего число $\eta(\varepsilon)$ из условия
\[
\left|F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, 0\right)\right|<\varepsilon \quad \text { при }\left|x_{j}^{0}\right|<\eta(\varepsilon) .
\]

Это всегда возможно в силу устойчивости невозмущенного движения. Далее, допустим противное, что вышеуказанное число “ $T(\varepsilon)$ не существует. Тогда, как бы велико ни было целое число $m$, всегда’ найется такое $t_{m}>m \omega$ и такая система начальных значений $x_{s m}^{0}$, лежащих в области (72.4), что
\[
\begin{array}{c}
F=\max \left\{\left|F_{1}\left(t_{m}, x_{1 m}^{0}, \ldots, x_{n n}^{0}, 0\right)\right|, \ldots,\right. \\
\left.\left|F_{n}\left(t_{m}, x_{1 m}^{0}, \ldots, x_{n m}^{0}, 0\right)\right|\right\} \geqslant \varepsilon .
\end{array}
\]

Так как последовательность точек $\left(x_{s m}^{0}\right)$ лежит в замкнутой области (72.4), то в той же области лежит и предельная точка указанной последовательности. Пусть это будет точка $x_{s}^{*}$. Для этой точки выполняются, следовательно, соотношения (72.5), из которых вытекает, что существует такое достаточно большое целое число $N$, что будут иметь место неравенства
\[
\left|F_{s}\left(N \omega, x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}, 0\right)\right|<\frac{1}{2} \eta(\varepsilon) .
\]

Но тогда найдутся сколь угодно большие значения $m$, для которых будут выполняться неравенства
\[
\left|x_{s}^{(N)}\right|=\left|F_{s}\left(N \omega, x_{1 m}^{0}, \ldots, x_{n m}^{0}, 0\right)\right|<\eta(\varepsilon) .
\]

Действительно, в последовательности ( $\left.x_{s m}^{0}\right)$ найдутся точки со сколь угодно большим значением индекса $m$, которые будут настолько близки к предельной точке, что разности $F_{s}\left(N \omega, x_{j m}^{0}, 0\right)-F_{s}\left(N \omega, x_{j}^{*}, 0\right)$ в силу непрерывности $F_{s}$ будут меньше $\frac{\eta}{2}$. Из (72.9) и (72.6) следует, что при всех $t>0$
\[
\left|F_{s}\left(t, x_{1}^{(N)}, \ldots, x_{n}^{(N)}, 0\right)\right|<\varepsilon,
\]

или, принимая во внимание (72.3) и (72.2),
\[
\begin{aligned}
\varepsilon>\left|F_{s}\left(t, x_{1}^{(N)}, \ldots, x_{n}^{(N)}, 0\right)\right| & \equiv\left|F_{s}\left(t+N \omega, x_{1}^{(N)}, \ldots, x_{n}^{(N)}, N \omega\right)\right| \equiv \\
& \equiv\left|F_{s}\left(t+N \omega, x_{1 m}^{0}, \ldots, x_{n m}^{0}, 0\right)\right| \cdot
\end{aligned}
\]

Полученные неравенства противоречат (72.7), так как существуют такие $t_{m}$, для которых $t_{m}>N \omega$. Полученное противоречие и доказывает справедливость предложения о том, что соотношения (72.5) выполняются равномерно относительно величин $x_{j}^{0}$.
Покажем теперь, что соотношения
\[
\lim F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=0 \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

выполняются также равномерно относительно величин $x_{s}^{0}$ и $t_{0}$, лежащих в области
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \beta, \quad 0 \leqslant t_{0} \leqslant \omega,
\]

где $\beta$ — достаточно малое число.
Действительно, имеем в силу (72.2) тождественно
\[
F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=F_{s}\left(t, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}, 0\right),
\]

где величины $x_{s}^{\prime}$ определяются из уравнений
\[
x_{s}^{0}=F_{s}\left(t_{0}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}, 0\right) .
\]

Поэтому справедливость интересующего нас сейчас предложения непосредственно вытекает из уже доказанного предложения о соотношениях (72.5), если только величину $\beta$ в (72.11) взять настолько малой, чтобы величины $x_{s}^{\prime}$, определяемые уравнениями (72.12), лежали при всех $0 \leqslant t_{0} \leqslant \omega$ в области (72.4).