Рассмотрим теперь случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни. Допустим для определенности, что кратность корня $\rho_{k}$ равна $\mu$. Если этот корень не обращает в нуль, по крайней мере, одного из миноров ( $n-1$ )-го порядка характеристического определителя, т. е. если ранг этого определителя равен $n-1$, то, как мы сейчас покажем, для этого корня может быть построено $\mu$ независимых частных решений уравнений (50.1) вида
\[
x_{s i}(t)=e^{\alpha_{k} t} P_{s i}(t) \quad(s=1,2, \ldots, n ; i=1,2, \ldots, \mu) .
\]

Здесь $P_{s t}$ – полиномы относктельно $t$ с периодическими (периода $\omega)$ коэффициентами. При этом степени полиномов $P_{s 1}$ не превосходят $\mu-1$, и степень хотя бы одного из них равна $\mu-1$. Таким образом, можно написать:
\[
P_{s 1}=\frac{t^{\mu-1}}{(\mu-1) !} \varphi_{s 1}(t)+\frac{t^{\mu-2}}{(\mu-2) !} \varphi_{s 2}(t)+\ldots+t \varphi_{s, \mu-1}(t)+\varphi_{s \mu}(t),
\]

где $\varphi_{s j}(t)$ – периодические функции $t$, причем хотя бы одна из функций $\varphi_{s 1}$ не равна тождественно нулю.

Что же касается полиномов $P_{s 2}, \ldots, P_{s \mu}$, то они могут быть получены из $P_{s 1}$ последовательным дифференцированием по $t$ в предположении, что $\varphi_{s j}$ являются постоянными. Имеем:
\[
\begin{aligned}
P_{s 2} & =\frac{t^{\mu-2}}{(\mu-2) !} \varphi_{s 1}(t)+\cdots+\varphi_{s, \mu-1}, \\
P_{s 3} & =\frac{t^{\mu-3}}{(\mu-3) !} \varphi_{s 1}(t)+\ldots+\varphi_{s, \mu-2}, \\
\cdot & \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
P_{s \mu} & =\varphi_{s 1}(t) .
\end{aligned}
\]

Пусть
\[
P=t^{m} \varphi_{1}(t)+t^{m-1} \varphi_{2}(t)+\ldots+t \varphi_{m}(t)+\varphi_{m+1}(t)
\]
– произвольный полином с периодическими коэффициентами $\varphi_{i}(t)$. Обозначим через $\frac{D}{D t}$ оператор, определяемый соотношением
\[
\frac{D P}{D t}=m t^{m-1} \varphi_{1}(t)+(m-1) t^{m-2} \varphi_{\varepsilon}(t)+\ldots+2 t \varphi_{m-1}(t)+\varphi_{m}(t) .
\]

Тогда решения (52.1) могут быть занисаны в виде
\[
x_{s i}(t)=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(i-1)} P_{s}}{D t^{i-1}} \quad(s=1,2, \ldots, n ; i=1,2, \ldots, \mu),
\]

где $P_{s}=P_{s 1}$. Мы будем говорить, что решения (52.2) образуют одну. группу и что в рассматриваемом случае кратному корню отвечает одна группа решении.

Допустим теперь, что кратныћ корень $\rho_{k}$ обращает в нуль все миноры характеристического определителя до порядка $n-p+1$ включительно, не обращая в нуль хотя бы один из миноров ( $n-p$ )-го порядка, так что ранг характеристического определителя равен $n$ – $p$. В этом случае рассматриваемому корню будет по-прежнему соответствовать $\mu$ решений, по эти решения разбиваются на $p$ самостоятельных групп. И если мы обозначим через $n_{j}$ число решений в $j$-й группе $\left(n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{p}=\mu\right.$ ), то решения этой группы имеют вид
\[
x_{s i}^{(j)}(t)=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(i-1)} P_{s}^{(j)}}{D t^{i-1}}\left(i=1,2, \ldots, n_{j} ; s=1,2, \ldots, n\right),
\]

где
\[
P_{s}^{(j)}=\frac{t^{n_{j}-1}}{\left(n_{j}-1\right) !} \varphi_{s 1}^{(j)}+\frac{t^{n_{j}-2}}{\left(n_{j}-2\right) !} \varphi_{s 2}^{(j)}+\cdots+\varphi_{s n_{j}}^{(j)}
\]

и $\varphi_{s l}^{(j)}$ – периодические функции $t$ периода $\omega$, причем хотя бы одна из функций $\varphi_{s 1}^{(j)}$ не обращается тождественно в нуль.

Число $p$ не может, очевидно, превзойти кратности $\mu$ рассматриваемого корня, но может этого предела достигать. В последнем случае каждая группа будет состоять из одного решения. Каждое таког решение будет при этом иметь вид (51.2).
Bсе эти утверждения можно считать доказанными при $\mu=1$.
Поэтому, чтобы доказать их в общем случае, мы можем применить метод индукции, а именно: мы допустим, что все эти утверждения справедливы, если кратность корня равна $\mu-1$, и покажем, что они остаются справедливыми, если эта кратность равна $\mu$.

С этой целью заметим прежде всего, что корню $\rho_{k}$ соответствует по доказанному, по крайней мере, одно решение системы (50.1)

\[
x_{s}(t)=e^{\alpha_{k}{ }^{t}} \varphi_{s}(t) \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $\varphi_{s}$-периодические функции. Эти функции не могут одновременно обратиться в нуль ни при каких значениях $t$. Действительно, если бы при каком-нибудь значении $t=T$ все функции $\varphi_{s}$ обратились в нуль, то, принимая это значение $t$ за начальное, мы имели бы два различных частных решения уравнений (50.1) с нулевыми начальными значениями: решение (52.4) и тривиальное решение $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, что невозможно.

Перейдем теперь в уравнениях (50.1) от переменных $x_{s}$ к переменным $y_{s}$ при помощи подстановки
\[
x_{s}=\varphi_{s} y_{1}+b_{s 2} y_{2}+\ldots+b_{s n} y_{n},
\]

где $b_{s \alpha}$ – произвольные непрерывные периодические функции $t$ периода $\omega$, подчиненные лишь условию, что подстановка (52.5) не является особенной, т. е. что определитель

ни при каких значениях $t$ не обращается в нуль. В силу того, что функции $\varphi_{s}$ не могут обращаться в нуль одновременно, такой выбор функций $b_{s a}$ может быть сделан бесчисленным множеством способов.
Преобразованная система примет вид
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 1} y_{1}+q_{s 2} y_{2}+\ldots+q_{s n} y_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $q_{s a}$-периодические функции $t$ периода $\omega$. Так как система (50.1) допускает частное решение (52.4), то преобразованная система должна допускать частное решение
\[
y_{1}=e^{\alpha_{k} t}, y_{2}=\ldots=y_{n}=0 .
\]

Подставляя это решение в (52.6), найдем, что все коэффициенты $q_{21}, q_{31}, \ldots, q_{n 1}$ равны нулю, а коэффициент $q_{11}$ равен $\alpha_{k}$. Следовательно, система (52.6) распадается на систему
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=q_{s 2} y_{2}+q_{s 3} y_{3}+\ldots+q_{s n} y_{n} \quad(s=2,3, \ldots, n),
\]

состоящую из $n-1$ уравнений, и на одно уравнение
\[
\frac{d y_{1}}{d t}=\alpha_{k} y_{1}+q_{12} y_{2}+\ldots+q_{1 n} y_{n} .
\]

Уравнения (52.8) образуют самостоятельную систему, определяющую $n-1$ функций $y_{2}, \ldots, y_{n}$. После того как эти функции будут найдены, мы сумеем найти $y_{1}$ из уравнения (52.9) при помощи простой квадратуры. В частности, если мы найдем $q(q \leqslant n-1)$ линейно независимых решений $y_{2 i}(t), \ldots, y_{n i}(t)(t=1,2, \ldots, q)$ уравнений $(52.8)$, то функции $y_{1 i}(t), y_{2 i}(t), \ldots, y_{n i}(t)$, где $y_{1 i}$ определяются формулами
\[
y_{1 i}=e^{\alpha_{k} t} \int_{0}^{t} e^{-\alpha_{k} t}\left(q_{12} y_{2 !}+\ldots+q_{1 n} y_{n i}\right) d t,
\]

определяют $q$ независимых решений полной системы (52.8) и (52.9). Присоединяя к ним уже известное решение (52.7), мы получим $q+1$ решений этой системы, которые будут, очевидно, также независимыми.

Составим характеристическое уравнение полной системы (52.8) и (52.9). Рассмотрим с этой целью фундаментальную систему решений $y_{2 i}(t), y_{3 i}(t), \ldots, y_{n i}(t)(i=1,2, \ldots, n-1)$ уравнений (52.8), определяемую начальными условиями
\[
y_{s i}(0)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (s=i+1) \\
0 & (s
eq i+1)
\end{array}\right.
\]

Тогда система функций $y_{1 i}(t), y_{2 i}(t), \ldots, y_{n i}(t)$, где $y_{1 i}(t)$ определяются формулами (52.10), вместе с решением (52.7) образуют фундаментальную систему решении системы (52.8) и (52.9) как раз того вида, который фигурирует в форме (50.7) характеристического уравнения. Поэтому характеристическое уравнение системы (52.8) и (52.9) может быть представлено в виде
\[
\begin{array}{l}
=\left(\rho_{k}-\rho\right) D^{\prime}(\rho)=0, \\
\end{array}
\]

где $D^{\prime}(\rho)$ – характеристический определитель системы (52.8).
Как было показано в § 50, характеристическое уравнение остается инвариантным при линейном пресбразовании переменных. Поэтому уравнение (52.11) совпадает с характеристическим уравнением исходной системы (50.1). Что же касается последнего, то для него $\rho_{k}$ является корнем $\mu$-й кратности. Следовательно, из (52.11) вытекает, что $\rho_{k}$ является корнем ( $\mu-1$ )-й кратности характеристического уравнения системы (52.8).

Но тогда, по предположению, этому корню отвечает $\mu-1$ частных решений уравнений (52.8), распадающихся на группы вышеуказанного типа. Допустим для определенности, что имеются две такого рода группы. Все наши рассуждения останутся, однако, справедливыми при любом числе групп. Пусть первая группа состоит из $l$ решений
\[
\begin{array}{c}
y_{s a}=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(\alpha-1)}}{D t^{\alpha-1}}\left(\frac{t^{t-1}}{(l-1) !} u_{s 1}+\ldots+t u_{s, l-1}+u_{s l}\right) \\
(s=2, \ldots, n ; \alpha=1,2, \ldots, l),
\end{array}
\]

а вторая группа из $m$ решений
\[
\begin{array}{c}
y_{s \beta}^{*}=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(\frac{t^{m-1}}{(m-1) !} v_{s 1}+\ldots+t v_{s, m-1}+v_{s m}\right) \\
(s=2, \ldots, n ; \beta=1,2, \ldots, m) .
\end{array}
\]

Здесь $u_{s j}, v_{s j}$ – периодические функции $t$ и $l+m=\mu-1$. Как было указано выше, функции (52.12) и (52.13) вместе с функциями
\[
\left.\begin{array}{c}
y_{1 \alpha}=e^{\alpha_{k} t} \int_{0}^{t} e^{-\alpha_{k} t}\left(q_{12} y_{2 \alpha}+\ldots+q_{1 n} y_{n \alpha}\right) d t \\
y_{1 \beta}^{*}=e^{\alpha_{k}} \int_{0}^{t} e^{-\alpha_{k} t}\left(q_{12} y_{2 \beta}^{*}+\ldots+q_{2 n} y_{n \beta}^{*}\right) d t \\
(\alpha=1,2, \ldots, l ; \beta=1,2, \ldots, m)
\end{array}\right\}
\]

образуют систему $\mu-1$ независимых решений уравнений (52.8) и (52.9).

На основании (52.12) и (52.13) подинтегральные выражения в функциях (52.14) не содержат показательных функций, и мы можем написать:
\[
\left.\begin{array}{c}
y_{1 \alpha}=e^{\alpha} k^{t} \int_{0}^{t} \frac{D^{(\alpha-1)}}{D t^{\alpha-1}}\left(\frac{t^{l-1}}{(l-1) !} u_{1}+\ldots+t u_{l-1}+u_{l}\right) d t, \\
y_{1 \beta}^{*}=e^{\alpha} k^{t} \int_{0}^{t} \frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(\frac{t^{m-1}}{(m-1) !} v_{1}+\ldots+t v_{m-1}+v_{m}\right) d t \\
(\alpha=1,2, \ldots, l ; \beta=1,2, \ldots, m),
\end{array}\right\}
\]

где $u_{j}, v_{j}$ – периодические функции периода $\omega$.
Пусть $\varphi(t)$ – произвольная непрерывная периодическая функция с периодом $\omega$. Как мы уже знаем, справедливо соотношение
\[
\int_{0}^{t} \varphi(t) d t=g t+\psi(t),
\]

где $\psi(t)$ – некоторая периодическая функция, а $g$ есть постоянная, определяемая соотношением
\[
g=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} \varphi(t) d t
\]

и представляющая собой среднее значение функции $\varphi$ за период.
Интегрируя по частям, легко находим:
\[
\int_{0}^{t} \frac{t^{p}}{p !} \varphi(t) d t=\frac{g t^{p+1}}{(p+1) !}+\frac{t^{p}}{p !} \psi(t)-\int_{0}^{t} \frac{t^{p-1}}{(p-1) !} \psi(t) d t,
\]

откуда вытекает, что если $P(t)$ – полином $p$-й степени с периодическими коэффициентами
\[
P(t)=\frac{t^{p}}{p !} \varphi(t)+\frac{t^{p-1}}{(p-1) !} \varphi_{2}(t)+\ldots+\varphi_{p}(t),
\]

то квадратура от негобудет полиномом $(p+1)$-и степени вида
\[
Q(t)=\int_{0}^{t} P(t) d t=\frac{g t^{p+1}}{(p+1) !}+\frac{t^{p}}{p !} \psi_{2}+\ldots+\psi_{p+1},
\]

где $\psi_{2}, \ldots, \psi_{p+1}$ – некоторые периодические функции, а $g$ – постоянная, определяемая формулой (52.16), т. е. среднее значение коэффициента при старшей степени полинома $P(t)$.
Докажем, что имеет место тождество
\[
\frac{D^{s}}{D t^{s}} \int_{0}^{t} P(t) d t-\int_{0}^{t} \frac{D^{s} P}{D t^{s}} d t=A,
\]

где $A$ – некоторая постоянная. В самом деле, дифференцируя левую часть (52.18) по времени и принимая во внимание, что операторы $\frac{d}{d t}$ и $\frac{D^{s}}{D t^{s}}$, очевидно, переместимы, будем иметь:
\[
\frac{d}{d t}\left\{\frac{D^{s}}{D t^{s}} \int_{0}^{t} P(t) d t-\int_{0}^{t} \frac{D^{s} P}{D t^{s}} d t\right\}=\frac{D^{s}}{D t^{s}}\left\{\frac{d}{d t} \int_{0}^{t} P(t) d t\right\}-\frac{D^{s} P}{D t^{s}} \equiv 0,
\]

откуда и вытекает справедливость (52.18).
Принимая во внимание (52.17) и (52.18), находим, что выражения (52.15) могут быть представлены в виде
\[
\begin{array}{l}
y_{1 \alpha}=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(\alpha-1)}}{D t^{\alpha-1}}\left(G \frac{t^{l}}{l !}+\bar{U}(t)\right)+A e^{\alpha_{k} t}, \\
y_{1 \beta}^{*}=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(G^{*} \frac{t^{m}}{m !}+\bar{U}^{*}(t)\right)+A^{*} e^{\alpha_{k}}{ }^{t} \\
(\alpha=1,2, \ldots, l ; \quad \beta=1,2, \ldots, m),
\end{array}
\]

где $A, A^{*}$ – постоянные, $G$ и $G^{*}$ – также постоянные, определяемые формулами
\[
\begin{aligned}
G & =\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} u_{1}(t) d t, \\
G^{*} & =\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} v_{1}(t) d t,
\end{aligned}
\]

а $\widetilde{U}^{*}$ и $\widetilde{U}^{*}$ суть полиномы с периодическими коэффициентами, причем степень первого не превосходит $l-1$, а степень второго не превосходит $m-1$. Но так как
\[
A=\frac{D^{(\alpha-1)}}{D t^{\alpha-1}}\left(A \frac{t^{\alpha-1}}{(\alpha-1) !}\right), \quad A^{*}=\frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(A^{*} \frac{t^{\beta-1}}{(\beta-1) !}\right),
\]

то мы можем написать:
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1 \alpha}=e^{\alpha_{k}} \frac{D^{(\alpha-1)}}{D t^{\alpha-1}}\left(G \frac{t^{l}}{i !}+U(t)\right), \\
y_{1 \beta}^{*}=e^{\alpha_{k}} \frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(G^{*} \frac{t^{m}}{m !}+U^{*}(t)\right) \\
(\alpha=1,2, \ldots, l ; \beta=1,2, \ldots, m),
\end{array}\right\}
\]

где $U$ и $U^{*}$ – также полиномы с периодическими коэффициентами, степени которых не превосходят, соответственно, $l-1$ и $m-1$.

Подставляя (52.12), (52.13) и (52.19) в (52.5), мы получим для системы (50.1) $l$ решений вида
\[
x_{s \alpha}=e^{a_{k}} \frac{D^{(\alpha-1)}}{D t^{\alpha-1}}\left(G \varphi_{s} \frac{t^{l}}{l !}+X_{s}(t)\right) \quad(\alpha=1,2, \ldots, l)
\]

и $m$ решений вида
\[
x_{s \beta}^{*}=e^{\alpha}{ }_{k} t \frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(G^{*} \varphi_{s} \frac{t^{m}}{m !}+X_{s}^{*}(t)\right) \quad(\beta=1,2, \ldots, m),
\]

где $X_{s}(t)$ и $X_{s}^{*}(t)$ – некоторые полиномы с периодическими коэффициентами, степени которых не превосходят, соответственно, $l$ – 1 и $m-1$. Вместе с решением (52.4) мы получаем, таким образом, для рассматриваемого корня $l+m+1=\mu$ независимых решений системы (50.1).

Допустим сначала, что обе величины $G$ и $G^{*}$ отличны от нуля. Допустим также для определенности, что $l \geqslant m$. Тогда, если мы к решениям (52.20) присоединим решение (52.4), умножив его предварительно на 0 , то получим $l+1$ решении, составляющих группу.

Действительно, очевидно, имеем:
\[
G e^{\alpha_{k}{ }^{t}} \varphi_{s}(t)=e^{\alpha_{k}{ }^{t}} \frac{D^{(i)}}{D t^{l}}\left(C \varphi_{s} \frac{t^{l}}{l !}+X_{s}(t)\right),
\]

а следовательно, решение (52.4), умноженное на $G$, принадлежит группе (52.20) и соответствует $\alpha=l+1$. Что же касается решений (52.21), то, комбинируя их с $m$ последними решениями (52.20), мы получим $m$ новых решений:
\[
\begin{array}{c}
\bar{x}_{s \beta}=G x_{s, l-m+\beta}-G x_{s \beta}^{*}=e^{\alpha_{k} t} \frac{D^{(\beta-1)}}{D t^{\beta-1}}\left(G * \frac{D^{(l-m)}}{D t^{l-m}} X_{s}-G X_{s}^{*}\right) \\
(\beta=1,2, \ldots, m),
\end{array}
\]

также образующих группу. В саиом деле, степень хотя бы одного из полиномов, заключенных в скобках, в выражении для $\bar{x}_{s \beta}$ равна $m-1$, ибо, если бы все указанғые полиномы имели меньшие степени, то во всяком случае имели бы место тождества
\[
\bar{x}_{s m}=G^{*} x_{s l}-G x_{s m}^{*} \equiv 0 \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

и, следовательно, не все решения (52.20) и (52.21) были бы независимыми, что противоречит условио.

Таким образом, в рассматриваемом случае наше утверждение о виде решений, отвечающих кратному корню характеристического уравнения, справедливо.

Допустим теперь, что $G=0$, но $G^{*}$ отлично от нуля. В этом случае степень хотя бы одного из полиномов $X_{s}(t)$ равна $l-1$, так как в противном случае все функции $x_{s t}$ равнялись бы нулю и, следовательно, в (52.20) содержалось бы меньше чем $l$ решении. Поэтому уравнения (52.20) образуют группу нужного нам вида. Присоединяя решение (52.4), умноженное предварительно на $G^{*}$, к решениям (52.21), мы получим еще одну группу. С.едовательно, так же как и в предыдущем случае, мы будем иметь $\mu$ решений, разбивающихся на две группы. Если, наконец, $G^{*}$ также равно нулю, то решения (52.21) также образуют группу, и решеңие (52.4) следует рассматривать как отдельную третью группу, состоящую из одного решения.

Таким образом, во всех случаях наши утверждения об аналитическом виде решений системы (50.1) можно считать доказанными.

Нам остается еще только показать, что число групп решении, отвечающих кратному корню, в точности равно $p$, где $n-p$ – ранг характеристического определителя для рассматриваемого корня. Это утверждение легко доказать следующим образом.

Число групп решений, отвечающих рассматриваемому кратному корню, равно, очевидно, числу независимых решений вида (52.4) (так как в каждой группе имеется по одному такому решению), которыми этот корень обладает, а это число, как мы видели в предыдущем параграфе, равно числу независимых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (51.4), т. е. $n-p$.
Таким образом, все наши утверждения полностью доказаны.