Итак, для решения задачи II об оптимальной стабилизации следует попытаться найти функции $V^{0}$ и $u_{j}^{0}$, удовлетворяющие условиям теоремы IV. При этом необходимо обеспечить выполнение равенства (109.6), которое является уравнением в частных производных относительно искомой функции $V^{0}$. Уравнение (109.6) надо разрешить с учетом дополнительного условия (109.7). В результате получается достаточно трудная задача. Однако, как и в случае общей задачи об устоичивости движения, где также проблема эффективного построения функций Ляпунова весьма нелегка, можно указать некоторые типы уравнений (109.1), для которых функция $V^{0}$ строится в замкнутой форме. Отыскание этих типов уравнений и построение соответствующих функций $V^{0}$ облегчаются известными результатами теории устойчивости движения. В частности, для линейных систем, как и в обычных задачах устойчивости, полезным аппаратом исследования являются функции $V^{0}$ в виде квадратичных форм.

Функции $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющие условиям теоремы IV, будем называть оптимальными бункциями Ляпунова, отвечающими соответствующсй задаче II об оптимальной стабилизации.

Теорема IV может обобщаться в различных направлениях. Если речь идет о проблеме оптимальной стабилизации в целом (см. стр. 480), то в формулировке теоремы IV достаточно потребовать выполнения соотношений (109.6), (109.7) при всех $x_{s}$ ( $-\infty<x_{s}<+\infty$, $s=1, \ldots, n$ ) и добавить условия, обеспечивающие устойчивость движения $x_{s}=0$ в целом. Эти условия указаны в примечании к стр. 38. Поэтому мы не будем приводить здесь соответствующую полную формулировку теоремы IV в этом случае. Tеорема IV также сохраняет свою силу и в тех случаях, когда управляющие воздействия стеснены дополнительными неравенствами (например, $\left|u_{j}\right| \leqslant 1$ ). В таких случаях следует лишь погребовать, чтобы функция $V^{0}$ удовлетворяла неравенству (109.7) при всех значениях $u_{j}$, стесненных заданными ограничениями. Можно, наконец, ослабить условия определенной положительности функции $\omega\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right)$, заменив его условием знакоположительности при дополнительных ограничениях в духе критерия асимттотической устойчивости, данного в приложении III. Изменения, которые при этом следует внести в формулировку теоремы IV, очевидны, и мы на них здесь не останавливаемся.

B теореме IV естественно предполагается, что функция $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ имеет в области (109.2) непрерывные частные производные $\frac{\partial V^{0}}{\partial t}, \frac{\partial V^{0}}{\partial x_{s}}(s=1, \ldots, n)$. Для задач оптимального управления, однако, интересны случаи, когда это предположение не выполняется при отдельных значениях $t$ и $x_{s}$, заполняющих, может быть, некоторые поверхности. Критерий оптимальности, подобный теореме IV, но работающий с применением таких не гладких функций $V^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, разработан В. Г. Болтянским $\left.{ }^{1}\right)$.

В заключение этого параграфа сделаем еще несколько кратких замечаний о связи теоремы IV с общими методами вариационного исчисления и, в частности, с известными методами математической теории оптимальных процессов.

Критерий оптимальности воздействий $u_{j}^{0}$, который выражается равенством (109.6) и неравенством (109.7), соответствует известному методу в вариационном исчислении, опирающемуся на теорию распространения возмущений ${ }^{2}$ ). Здесь, однако, в отличие от наиболее распространенной формы необходимых условий экстремальности, критерий приведен в форме достаточных условий минимума интеграла (107.1). При этом условия теоремы IV одновременно обеспечивают выполнение предельного соотношения $\lim x_{s}(t)=0$ при $t \rightarrow \infty$. Такая формулировка соответствует характеру основных теорем второго метода Ляпунова исследования устоћчивости движения. Поэтому она и выбрана нами здесь. Естественным результатом отмеченной связи теоремы IV с методами классического вариационного исчисления является тот факт, что соотношение (109.6) имеет форму уравнения в частных производных вида известного уравнения Гамильтона — Якоби.

Фундаментальным методом исследования задач об оптимальном управлении является метод, основанный на принципе максимума Л. С. Понтрягина ${ }^{3}$ ). В теории оптимальных процессов, развитой Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, оптимальное управление $u_{j}$ ищется в виде функции только от времени $u_{j}=u_{j}^{0}(t)$ (отдельно для каждых фиксированных начальных условии $x_{s}\left(t_{0}\right)$ ).

Для задачи, аналогичной задаче II, но состоящей в определении управления $u_{j}$ в форме $u_{j}=u_{j}^{0}(t)$, принцип максимума утверждает, что на оптимальном движении $x_{s}^{0}[t]$ системы (109.1), порожденном управлением $u_{j}^{0}(t)$, обязательно выполняется условие
\[
\begin{array}{l}
H\left[\psi_{0}(t), \ldots, \Psi_{n+1}(t) ; t, x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t] ; u_{1}^{0}, \ldots, u_{r}^{0}\right] \geqslant \\
\geqslant H\left[\Psi_{0}(t), \ldots, \psi_{n+1}(t) ; t ; x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t] ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right],
\end{array}
\]
1) Болтянский В. Г., Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования. Изв. АН СССР, серия математическая, т. XXVIII, № 3, 1964.
2) См., например, монографию: Гельфанд И. М., фомин С. В., Вариационное исчисление, М., Физматгиз, 1961.
3) См. монографию Л. С. Понтрягина и др., упомянутую в сноске на cтp. 475 .

каковы бы ни были числа $u_{1}, \ldots, u_{r}$. Здесь величина $H$ определена равенством
\[
\begin{array}{l}
H\left[\psi_{0}, \ldots, \psi_{n+1} ; t ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right]= \\
=\sum_{i=1}^{n} \psi_{i} X_{i}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right)+ \\
\quad+\psi_{n+1}+\omega\left(t ; x_{1}, \ldots, x_{n} ; u_{1}, \ldots, u_{r}\right) \psi_{0},
\end{array}
\]

а величины $\psi_{i}(t)$ являются некоторым частным решением системы
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \psi_{i}}{d t} & =-\sum_{j=0}^{n} \frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}} \psi_{j} \quad(i=0, \ldots, n), \\
\frac{d \psi_{n+1}}{d t} & =-\sum_{j=0}^{n} \frac{\partial X_{j}}{\partial t} \psi_{j},
\end{array}\right\}
\]

где $X_{0}=\omega$ и $X_{n+1}=1$. При этом на оптимальном движении $x_{s}^{0}[t]$ величина $H$ остается постоянной, т. е.
\[
\begin{array}{l}
H\left[\Psi_{0}(t), \ldots, \Psi_{n+1}(t) ; t ; x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t] ; u_{1}^{0}(t), \ldots, u_{r}^{0}(t)\right]=0 \\
\text { при } t \geqslant t_{0} \text {. } \\
\end{array}
\]

Связь принципа максимума с теоремой IV определяется следующим обстоятельством: можно проверить, что при выполнении условий теоремы IV на движении $x^{0}[t]$, порожденном оптимальным управлением $u_{j}^{0}[t]=u_{j}^{0}\left(t, x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t]\right)$, справедливы равенства
\[
\begin{aligned}
\psi_{s}(t) & =-\frac{\partial V^{0}\left(t, x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t]\right)}{\partial x_{s}} \quad(s=1, \ldots, n), \\
\psi_{n+1}(t) & =-\frac{\partial V^{0}\left(t, x_{1}^{0}[t], \ldots, x_{n}^{0}[t]\right)}{\partial t}, \\
\psi_{0} & =-1 .
\end{aligned}
\]

Но в таком случае понятно, что равенство (110.4) и условие (110.1) имеют тот же смысл, что и равенство (109.6) и неравенство (109.7), соответственно. Подчеркнем, однако, еще раз, что принцип максимума указывает необходимые условия оптимальности управления $u_{j}=u_{j}^{0}(t)$, в то время как теорема IV дает дост $a$ точные условия для оптимального управления $u_{j}$ в форме $u_{j}=$ $=u_{j}^{0}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$.

Заметим, наконец, что в случае установившихся движений $x_{s}=0$, т. е. в случаях, когда функции $X_{s}$ и $\omega$ не зависят явно от времени, оптимальную функцию Ляпунова $V^{0}$ и оптимальное управление $u_{j}^{0}$ также следует искать в виде функций, не зависящих явно от времени, т. е. $V^{0}=V^{\lrcorner}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), u_{j}^{0}=u_{j}^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(j=1, \ldots, r)$.