Изложим второй способ решения задачи устойчивости в интересующем нас случае, предложенный А. М. Ляпуновым. Этот способб основан на непосредственном построении для системы (36.1) функции Ляпунова.

Рассмотрим сначала следующую задачу. Пусть $u_{m}(x, y)$ – заданная форма $m$-го порядка переменных $x$ и $y$. Будем искать другую форму $v_{m}(x, y)$ того же порядка, производная которой по времени. составленная в силу линейной части системы (36.1), т. е. уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y, \frac{d y}{d t}=\lambda x,
\]

равнялась бы форме $u_{m}$. Другими словами, найдем форму $v_{m}$, удовлетворяющую уравнению
\[
\lambda\left(x \frac{\partial v_{m}}{\partial y}-y \frac{\partial v_{m}}{\partial x}\right)=u_{m} .
\]

Задача эта является частным случаем задачи, рассмотренной нами в общем виде в § 20. Согласно полученным там результатам, поступаем следующим образом.
Полагая
\[
\begin{array}{l}
v_{m}=a_{1} x^{m}+a_{2} x^{m-1} y+\ldots+a_{m+1} y^{m}, \\
u_{m}=b_{1} x^{m}+b_{2} x^{m-1} y+\ldots+b_{m+1} y^{m}
\end{array}
\]

и приравнивая в (37.2) коэффициенты при подобных членах, мы получим систему линейных уравнений
\[
A_{i 1} a_{1}+A_{i 2} a_{2}+\ldots+A_{i, m+1} a_{m+1}=b_{i}(i=1,2, \ldots, m+1),
\]

определяющих коэффициенты $a_{j}$. Здесь $A_{i j}$ – некоторые постоянные, которые нам нет необходимости выписывать.

Система (37.3) будет иметь решение и притом единственное, если определитель этой системы будет отличен от нуля, или, что то же самое, если уравнение

не будет иметь нулевого корня.
Но на основании теоремы 1 § 20 все корни уравнения (37.4) определяются формулой
\[
\rho=\left(m_{1}-m_{2}\right) i \lambda,
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$-любые целые нестрицательные числа (в частности, нули), связанные соотношением
\[
m_{1}+m_{2}=m .
\]

Если $m$ – число нечетное, то не существует никакой комбинации для чисел $m_{1}$ и $m_{2}$, связанных соотношением (37.6), при которон величина (37.5) обращалась бы в нуль. Следовательно, при $m$ нечетном определитель системы (37.3) отличен от нуля, эта система имеет единственное решение, которое определяет одну и только одну форму $v_{m}$, удовлетворяющую уравнению (37.2).

Допустим теперь, что $m$ – число четное. В этом случае мы можем удовлетворить соотношению (37.6), полагая $m_{1}=m_{2}=\frac{m}{2}$. При такой комбинации, и очевидно, только при такой, выражение (37.5) обращается в нуль. Следовательно, уравнение (37.4) имеет один и только один нулевой корень, и определитель системы (37.3) обращается в нуль. Однако хотя бы один из миноров $m$-порядка этого определителя отличен от нуля. Действительно, если бы все указанные миноры равнялись нулю, то нулевой корень уравнения (37.4) был бы, по крайней мере, двукратным, так как он обращал бы в нуль не только $D_{m}(\lambda)$, но и $\frac{d D_{m}(\lambda)}{d \lambda}$.

Так как определитель системы (37.3) обращается в нуль, то эта система, вообще говоря, неразрешима. В этом случае левые части уравнений (37.3) связаны между собой линейным соотношением, т. е. существует такая система чисел $M_{1}, \ldots, M_{m+1}$, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что, умножая соответственно левые части (37.3) на эти числа и складывая их, мы получим тождественно нуль. Для того чтобы система (37.3) была разрешима, необходимо, чтобы и ее правые части были связаны тем же самым линейным соотношением, т. е. чтобы выполнялось тождество
\[
M_{1} b_{1}+M_{2} b_{2}+\cdots+M_{m+1} b_{m+1}=0 .
\]

Этого условия будет также и достаточно для разрешимости системы (37.3), так как не все миноры $m$-го порядка определителя $D_{m}(0)$ равны нулю, и поэтому левые части этой системы связаны только одним линеиным соотношением.

Таким образом, при $m$ четном существует тогда и только тогда форма $v_{m}$, удовлетворяющая уравнению (37.2), когда коэффициенты формы $u_{m}$ связаны соотношением (37.7).

В связи с этим при $m$ четном изменим несколько постановку задачи, а именно: будем искать форму $v_{m}$ таким образом, чтобы удовлетворялось не уравнение (37.2), а уравнение
\[
\lambda\left(x \frac{\partial v_{m}}{\partial y}-y \frac{\partial v_{m}}{\partial x}\right)=u_{m}+G\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{m}{2}},
\]

где $G$ – некоторая постоянная, которая должна быть подобрана таким образом, чтобы это уравнение имело решение.
Система (37.3) перейдет теперь в систему
\[
A_{i 1} a_{1}+\ldots+A_{i, m+1} a_{m+1}=b_{i}+k_{i} G,
\]

где $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m+1}$ – коэффициенты формы
\[
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{m}{2}},
\]

а условие ее разрешимости примет вид
\[
\sum_{i=1}^{m+1} M_{i} b_{i}+0 \sum_{i=1}^{m+1} k_{i} M_{i}=0 .
\]

Это уравнение однозначно определяет постоянную $G$. Для действительного ее вычисления нет необходимости составлять уравнение (37.9). Гораздо проще непссредственно исходить из уравнения (37.8). Для этого допустим, что постоянная $G$ и форма $v_{m}$ уже вычислены. Подставляя их в (37.8), получим тождество, которое, следовательно, должно удовлетворяться при любых $x$ и $y$. В частности, оно должно удовлетворяться, если мы положим $x=\cos \vartheta$, $y=\sin \vartheta$. Сделаем действительно в (37.8) указанную замену, помножим полученное тождество на $d \vartheta$ и проинтегрируем в пределах от 0 до $2 \pi$. Тогда, принимая во внимание, что
\[
\frac{d v_{m}(\cos \vartheta, \sin \vartheta)}{d \vartheta}=\left\{-y \frac{\partial v_{m}(x, y)}{\partial x}+x \frac{\partial v_{m}(x, y)}{\partial y}\right\}_{x=\cos \theta, y=\sin \vartheta}
\]

и, следовательно,
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left\{x \frac{\partial v_{m}}{\partial y}-y \frac{\partial v_{m}}{\partial x}\right\}_{x=\cos \theta, y=\sin \theta} d \vartheta=\left.v_{m}(\cos \theta, \sin \vartheta)\right|_{0} ^{2 \pi}=0
\]

будем иметь:
\[
2 \pi G+\int_{0}^{2 \pi} u_{m}(\cos \vartheta, \sin \vartheta) d \vartheta=0 .
\]

Мы получили таким образом соотношение между постоянной $a$ и коэффициентами формы $u_{m}$, которое должно необходимо выполняться, если уравнение (37.8) имеет решение, а так как по доказанному таких соотношений может быть только одно, то оно необходимо совпадает с (37.9).
Формула (37.10) дает возможность сразу определить постоянную $O$. Установив это, переходим к нашей задаче. Запишем уравнения возмущенного движения (36.1) в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X_{2}(x, y)+X_{3}(x, y)+\ldots, \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y_{2}(x, y)+Y_{3}(x, y)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $X_{k}, Y_{k}$ – совокупности членов $k$ го порядка в функциях $X$ и $Y$, и попытаемся подобрать для них функцию Ляпунова, удовлетворяющую теоремам Б или В, вида
\[
V=x^{2}+y^{2}+f_{3}(x, y)+f_{4}(x, y)+\ldots,
\]

где $f_{k}(x, y)$ – некоторые формы $k$-го порядка.
Для этого необходимо формы $f_{3}, f_{4}, \ldots$ подобрать таким образом, чтобы производная от $V$ в силу уравнений (37.11) была знакоопределенной.
Для этой производной имеем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d V}{d t}=\left(2 x+\frac{\partial f_{3}}{\partial x}+\frac{\partial f_{4}}{\partial x}+\ldots\right)\left(-\lambda y+X_{2}+X_{3}+\ldots\right)+ \\
+\left(2 y+\frac{\partial f_{3}}{\partial y}+\frac{\partial f_{4}}{\partial y}+\ldots\right)\left(\lambda x+Y_{2}+Y_{3}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Полученное выражение начинается членами третьего порядка. Совокупность этих членов имеет вид
\[
V_{3}=\lambda\left(x \frac{\partial f_{3}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{3}}{\partial x}\right)+2 x X_{2}+2 y Y_{2} .
\]

Для членов четвертого порядка имеем:
\[
V_{4}=\lambda\left(x \frac{\partial f_{4}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{4}}{\partial x}\right)+X_{2} \frac{\partial f_{3}}{\partial x}+Y_{2} \frac{\partial f_{3}}{\partial y}+2 x X_{3}+2 y Y_{3},
\]

и вообще совокупность членов $m$-го порядка в выражении (37.13) представляется выражением
\[
V_{m}=\lambda\left(x \frac{\partial f_{m}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{m}}{\partial x}\right)+F_{m}(x, y), где $F_{m}(x, y)$ – форма $m$-го порядка, зависящая от форм $f_{3}, f_{4}, \ldots$, $f_{m-1}$. Эта форма, следовательно, будет известной, если формы $f_{3}$, $f_{4}, \ldots, f_{m-1}$ из каких-нибудь условий определены.

Для того чтобы производная $\frac{d V}{d t}$ была функцией знакоопределенной, необходимо прежде всего, чтобы она начиналась членами четного порядка. Поэтому необходимо форму $f_{3}$ выбрать так, чтобы члены третьего порядка (37.14) обратились в нуль, т. е. чтобы выполнялось уравнение
\[
\lambda\left(x \frac{\partial f_{3}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{3}}{\partial x}\right)=-2 x X_{2}-2 y Y_{2} .
\]

Как было показано выше, такая форма $f_{3}$ всегда существует и будет единственной Выбрав таким образом форму $f_{3}$, подберем теперь $f_{4}$ так, чтобы совокупность членов четвертого порядка в выражении $\frac{d V}{d t}$ была формой знакоопределенной, а именно, приравняем эту совокупность членов форме $G_{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$. Таким путем для определения формы $f_{4}$ получаем уравнение
\[
\lambda\left(x \frac{\partial f_{4}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{4}}{\partial x}\right)=-F_{4}(x, y)+G_{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} .
\]

Так как сеНчас речь идет о форме четного порядка, удовлетворяющей уравнению типа (37.8), то, как было показано выше, для того чтобы эта форма существовала, необходимо, чтобы $G_{4}$ была определенной величинои, а именно, на основании (37.10)
\[
G_{4}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{4}(\cos \vartheta, \sin \vartheta) d \vartheta .
\]

Допустим, что полученная таким путем величина $G_{4}$ отлична or нуля. Тогда производная от функции
\[
V=x^{2}+y^{2}+f_{3}+f_{4},
\]

имеющая вид
\[
\frac{d V}{d t}=G_{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+\text { члены более высоких порядков, }
\]

будет знакоопределенной, знак которой совпадает со знаком $G_{4}$. Сама же функция $V$ будет определенно-положительной Поэтому на основании теорем Б и В невозмущенное движение будет неустойчиво при $G_{4}>0$ и асимптотически устойчиво при $G_{4}<0$.

Может, однако, случиться, что величина $G_{4}$ равна нулю. В этом случае разложение функции (37.13) начнется членами пятого порядка, и чтобы эта функция была знакоопределенной, необходимо эти члены обратить в нуль, а для этого необходимо форму $f_{5}$ выбрать согласно уравнению $V_{5}=0$, которое имеет вид (37.2), и так как речь идет о форме нечетного порядка, то это уравнение однозначно ее определяет.

Выбрав таким путем $f_{5}$, ищем $f_{6}$ из условия, что члены шестого порядка в выражении $\frac{d V}{d t}$ обращаются в знакоопределенную форму $G_{6}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}$. Таким путем получаем для $f_{6}$ уравнение
\[
\lambda\left(x \frac{\partial f_{6}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{6}}{\partial x}\right)=-F_{6}(x, y)+G_{6}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3},
\]

а для $G_{6}$ величину
\[
G_{6}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{6}(\cos \vartheta, \sin \vartheta) d \vartheta .
\]

Если $G_{6}
eq 0$, то производная от (37.12) будет начинаться членами $G_{6}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}$ и будет, следовательно, функцией знакоопределенной. Невозмущенное движение будет при этом неустойчиво при $G_{6}>0$ и асимптотически устойчиво при $G_{6}<0$.

Если $G_{6}=0$, то необходимо произвести дальнейшие определения форм $f_{k}$. Поступая подобно предыдущему, т. е. приравнивая в $(37.13$ ) члены нечетного порядка нулю, а члены четного порядка выражению $G_{m}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{m}{2}}$ и определяя $G_{m}$ по формуле
\[
G_{m}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F_{m}(\cos \vartheta, \sin \vartheta) d \vartheta,
\]

мы можем встретиться с одним из двух возможных случаев: либо все коэффициенты $G_{m}$, как бы велик ни был индекс $m$, равны нулю, либо в конце концов мы придем к такому $m$, что $G_{m}
eq 0$.

Если мы имеем дело со вторым случаем, то задача устойчивости решается знаком $G_{m}$, а именно: при $G_{m}>0$ невозмущенное движение неустоћчиво, а при $G_{m}<0$ оно устойчиво и притом асимптотически.

Допустим теперь, что все коэффициенты $G_{m}$ равны нулю. Конечно, убедиться в этом непосредственным вычислением этих коэффициентов не представляется возможным, но если каким-нибудь путем нам удалось установить этот факт, то задача устойчивости разрешается просто. Действительно, нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае начало координат является центром. В самом деле, если все коэффициенты $G_{m}$ равны нулю, то как бы велико ни было число $2 n$, члены $(2 n-1)$-го порядка в уравнениях (37.11) можно изменить таким образом, чтобы величина $G_{2 n}$ получилась отличной от нуля и имела наперед заданный знак. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что в выражение $F_{2 n}(x, y)$, определяющее согласно (37.15) $G_{2 n}$, входят члены $2 x X_{2 n-1}+2 y Y_{2 n-1}$, и подбором $X_{2 n-1}$ и $Y_{2 n-1}$ мы можем, очевидно, сделать величину $G_{2 n}$ какой угодно. Следовательно, изменением членов сколь угодно высокого порядка в уравнениях (37.11) можно добиться, чтобы невозмущенное движение было по желанию устойчивым или неустойчивым, а это, как было показано в предыдущем параграфе, является признаком центра.

Итак, если все коэффициенты $G_{m}$ равны нулю, то начало координат является центром и, следовательно, невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически. При этом общее решение уравнений (37.11) является периодическим с периодом, зависящим от начальных условий.

При практическом применении метода можно коэффициенты $G_{m}$ определять либо по формуле (37.15), либо непосредственно применяя метод, которым эта формула выведена. Для этого, определив в выражении $\frac{d V}{d t}$ члены $m$-го порядка, приравниваем их $a_{m}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{m}{2}}$, полагаем в полученном уравнении $x=\cos \vartheta, y=\sin \vartheta$ и интегрируем в пределах от 0 до $2 \pi$. При этом форма $f_{m}$ исключится, и мы можем сразу не принимать ее в расчет при определении членов $m$-го порядка в $\frac{d V}{d t}$.

Примечание. Пусть $G_{2 N}$ – первая из величин $G_{m}(m=2,4$, $6, \ldots$ ), которая отлична от нуля. Как мы только что видели, наивысший порядок членов разложений функций $X$ и $Y$, определяющих эту величину и решающих, таким образом, задачу устоћчивости, есть $2 N-1$. Следовательно, наивысшић порядок членов, решающих задачу устойчивости, когда она решается конечным числом членов, всегда нечетный.
Пример. Рассмотрим систему
\[
\frac{d x}{d t}=-y, \frac{d y}{d t}=x-\beta x^{2}-\gamma x y^{2}+\alpha y^{3},
\]

исследованную в предыдущем параграфе.
Полагая
\[
V=x^{2}+y^{2}+f_{3}+f_{4}+\ldots,
\]

подберем форму $f_{3}$ так, чтобы в выражении $\frac{d V}{d t}$ исчезли члены третьего порядка. Получим уравнение
\[
x \frac{\partial f_{3}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{3}}{\partial x}-2 \beta y x^{2}=0 .
\]

Делая в нем
\[
f_{3}=a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2} y+a_{3} x y^{2}+a_{4} y^{3}
\]

и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим уравнения
\[
a_{2}=0, \quad 2 a_{3}-3 a_{1}-2 \beta=0, \quad 3 a_{4}-2 a_{2}=0, \quad a_{3}=0
\]
и, следовательно,
\[
f_{3}=-\frac{2}{3} \beta x^{3} .
\]

Приравнивая члены четвертого порядка выражению $G_{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$, получим для определения $f_{4}$ уравнение
\[
x \frac{\partial f_{4}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{4}}{\partial x}-2 \gamma x y^{3}+2 \alpha y^{4}=G_{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} .
\]

Прежде всего определяем постоянную $G_{4}$. Если она окажется отличной от нуля, то в определении $f_{4}$ не будет необходимости и все вычисления на этом закончатся. Если $G_{4}$ окажется равной нулю, то придется определять и $f_{4}$ и $f_{5}$ и, может быть, формы более высоких порядков. Для определения $G_{4}$ полагаем в (37.16) $x=\cos \vartheta, y=\sin \vartheta$ и интегрируем по $\vartheta$ в пределах от 0 до $2 \pi$. При этом члены $x \frac{\partial f_{4}}{\partial y}-y \frac{\partial f_{4}}{\partial x}$ можно не рассматривать, так как они при указанной операции выпадут. Таким путем получаем:
\[
G_{4}=\frac{\alpha}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{4} \vartheta d \vartheta-\frac{\gamma}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{3} \vartheta \cos \vartheta d \vartheta=\frac{\alpha}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{4} \vartheta d \vartheta .
\]

Если $\alpha<0$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а если $\alpha>0$, то оно неустойчиво.

Если $\alpha=0$, то, как было показано в предыдущем параграфе, мы будем иметь случай центра.