В этом разделе мы занимаемся изучением с точки зрения устойчивости системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, подобно тому как мы это делали для уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами. Задача при этом делается, конечно, значительно сложнее. Тем не менее и здесь получены некоторые важные для практики и для теории общие результаты.

Для системы линейных уравнений с переменными коэффициентами можно подобрать некоторые числа, играющие для них такую же роль, как корни характеристического уравнения для систем с постоянными коэффициентами и характеристические показатели для систем с периодическими коэффициентами. Это — так называемые характеристичные числа решений, введенные Ляпуновым. Но прежде чем рассматривать характеристичные числа решений, дадим определение характеристичного числа функции.

Мы будем рассматривать вещественные или комплексные функции $f(t)$ вещественного переменного $t$, определенные на всей вещественной полуоси $t \geqslant 0$. Для простоты мы будем рассматривать только непрерывные функции. Функции $f(t)$ могут быть как ограниченные, так и неограниченные. В первом случае для всех $t>0$ выполняется неравенство $|f(t)|<A$, где $A$ – достаточно большое положительное число, а во втором случае, как бы велико ни было $A$, наңдутся такие значения $t$, для которых $|f(t)|>A$, что, очевидно, может быть записано таким образом: $\varlimsup_{t \rightarrow \infty}|f(t)|=\infty$.

Ограниченную функцию $f(t)$, для которой $\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=0$, будем называть исчезающей.
Докажем прежде всего следующую лемму.
Лемма. Допустим, что для бункции $f(t)$ существуют два вешественных числа $\lambda$ ин, таких, что функция $f(t) e^{\text {нt является }}$ неог раниченной, а функция $f(t) e^{\lambda t}$ – исчезающей. Тогда существует вещественное число а, такое, что при любом положительном числе в, как бы мало оно ни было, функция $f(t) e^{(a+\varepsilon) t}$ будет неограниченной, а функция $f(t) e^{(a-\varepsilon) t}$-исчезающей, maк что
\[
\left.\begin{array}{l}
\varlimsup_{t \rightarrow \infty}|f(t)| e^{(a+\varepsilon) t}=+\infty, \\
\lim _{t \rightarrow \infty} f(t) e^{(a-\varepsilon) t}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Доказательство. Допустим сначала, что в интервале $(\lambda, \mu)$ имеется число $a$, такое, что функция $f(t) e^{a t}$ является ограниченной, но не исчезающей. Тогда это число $a$ и будет искомым, так как для него, очевидно, выполняются условия (76.1). Допустим теперь, что такого числа $a$ не существует. Тогда для всякого числа $\lambda_{0}$ в интервале ( $\lambda, \mu)$ функции $f(t) e^{\lambda_{0} t}$ будет либо неограниченной, либо исчезающей. При этом очевидно, что число $\lambda_{0}$, для которого функция $f(t) e^{\lambda_{0} t}$ является исчезающен, меньше любого $\lambda_{0}$, при котором эта функция является неограниченной Мы можем поэтому в интервале $(\lambda, \mu)$ вставить две последовательности чисел $\lambda<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\ldots$ и $\mu>\mu_{1}>\mu_{2}>\mu_{3}>\ldots$ так, чтобы любое число первой последовательности было меньше любого числа второй последовательности, чтобы разность $\lambda_{n}-\mu_{n}$ стремилась с возрастанием $n$ к нулю и чтобы при любом $n$ функция $f(t) e^{\lambda_{n}{ }^{t}}$ была исчезающей, а функция $f(t) e^{\mu_{n}{ }^{t}}$ неограниченной. Полученные последовательности определяют сечение $a$, не меньшее ни одного из чисел $\lambda_{n}$ и не большее ни одного из чисел $\mu_{n}$. Это число $a$ и будет искомым. Таким образом, лемма доказана.

Число $a$, удовлетворяющее условиям (76.1) т. е. условиям, что функция $f(t) e^{(a+\varepsilon) t}$ при любом сколь угодно малом положительном $\varepsilon$
будет неограниченной, а функция $f(t) e^{(a-\varepsilon) t}$ – исчезающей, называется по Ляпунову характеристичным числом функции $f(t)$.

Если функция $f(t) e^{\lambda t}$ является исчезающей при любом $\lambda$, то мы будем говорить, что характеристичное число $f(t)$ равно $+\infty$. Если же, напротив, $f(t) e^{\lambda t}$ есть функция, неограниченная при любом $\lambda$, то мы будем говорить, что характеристичное число $f(t)$ равно- – . При этом условии любая функция $f(t)$ имеет конечное или бесконечное характеристичное число.

Характеристичное число функции $f(t)$ мы будем в дальнейшем обозначать символом $X\{f\}$.
Покажем, что имеем тождественно
\[
X\{f\}=-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln |f(t)|}{t} .
\]

В самом деле, пусть $X\{f\}=a$, так что при сколь угодно малом положительном $\varepsilon$ выполняются условия (76.1). Первое из этих условий показывает, что существует последовательность $t_{1}, t_{2}, \ldots \rightarrow \infty$, для которой $\left|f\left(t_{n}\right)\right| e^{(a+\varepsilon) t_{n}} \rightarrow \infty$, так что, начиная с достаточно большого $n$, будут во всяком случае выполняться неравенства
\[
\left|f\left(t_{n}\right)\right| e^{(a+e) t_{n}}>1 .
\]

С другой стороны, из второго условия (76.1) вытекает, что при всех $t>T$, где $T$ – достаточно большое число, выполняется
\[
|f(t)| e^{(a-\varepsilon) t}<1 .
\]

Из (76.3) находим:
\[
\ln \left|f\left(t_{n}\right)\right|+(a+\varepsilon) t_{n}>0,
\]

или
\[
\frac{\ln \left|f\left(t_{n}\right)\right|}{t_{n}}>-a-\varepsilon .
\]

Точно так же из (76.4) получаем:
\[
\frac{\ln |f(t)|}{t}<-a+\varepsilon .
\]

Выполнение неравенства (76.6) при любом $t>T$ и одновременное существование последовательности, для которой выполняется неравенство (76.5), и показывают, что $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\ln |f(t)|}{t}=-a$, т. е. справедливость (76.2).

формула (76.2) дает наиболее простой способ вычисления характеристичного числа заданной функции. В частности, она показывает, что если выражение $-\frac{1}{t} \ln |f(t)|$ стремится к определенному пределу при $t \rightarrow \infty$, то этот предел и будет характеристичным числом функции $f(t)$. Отсюда между прочим’ следует, что характеристичное число степенной фуккции при любом показателе степени равно нулю.
В самом деле, имеем:
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\ln t^{m}}{t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{m \ln t}{t}=0 .
\]

Приведем еще несколько примеров, заимствованных у А. М. Ляпунова. Имеем:
1) $X\left\{e^{t \cos \frac{1}{t}}\right\}=-1$,
2) $X\left\{e^{-t \cos \frac{1}{t}}\right\}=+1$
3) $X\left\{e^{ \pm t \sin t}\right\}=-1$,
4) $X\left\{t^{t}\right\}=-\infty$.
В самом деле, имеем:
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\ln e^{ \pm t \cos \frac{1}{t}}}{t^{\cdot}}=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[ \pm \cos \frac{1}{t}\right]= \pm 1,
\]

откуда сразу вытекает справедливость первых двух примеров.
Далее,
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln e^{ \pm t \sin t}}{t}=\varlimsup_{t \rightarrow \infty}[ \pm \sin t]=+1,
\]

откуда вытекает справедливость третьего примера. Точно так же легко убеждаемся и в справедливости четвертого примера.

Отметим в заключение, что если характеристичное число функции положительно, то функция стремится к нулю как показательнайя функция. Если же характеристичное число функции отрицательно, то эта функция будет неограниченной