Рассмотрим снова уравнения (82.1) и (82.2) в предположении, что коэффициенты $p_{s j}$ постоянны. В предыдущем параграфе мы указали предел для величин $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$, при котором знак наименьшего характеристичного числа системы (82.2) совпадает со знаком наименьшего характеристичного числа системы (82.1). При этом мы предполагали, что указанный знак положителен. Можно указать другой способ оценки интересующего нас предела, который одинаково применим как в случае, когда наименьшее характеристичное число рассматриваемых систем положительно, так и в случае, когда это число отрицательно. Этот способ, предложенный Н. Г. Четаевым, основан на’ построении для уравнений (82.1) функции Ляпунова ${ }^{1}$ ).

Допустим сначала, что все корни характеристического уравнения системы (82.1) имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, ее характеристичные числа положительны. Найдем квадратичную форму $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющую уравнению
\[
\sum \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]
1) Четаев Н. Г., Устойчивость движения, стр. 194. Гостехиздат, 1946.

где $W$-некоторая наперед заданная определенно-положительная квадратичная форма. Форма $V$ при этом получится определенно-отрицательной. Если мы теперь составим производную от $V$ по $t$ в силу уравнений (82.2), то будем иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=W+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(\varphi_{s 1} x_{1}+\ldots+\varphi_{s n} x_{n}\right) .
\]

Если функции $\varphi_{s j}(t)$ таковы, что квадратичная форма
\[
W+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(\varphi_{s 1} x_{1}+\cdots+\varphi_{s n} x_{n}\right)
\]

по-прежнему определенно-положительна, то характеристичные числа системы (82.2) будут положительны. Форма (83.3) будет определенноположительной, если величины $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$ достаточно малы, и практически никогда не представляет труда определить верхние пределы для $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$, при которых знакоопределенность (83.3) сохраняется. Эти пределы будут зависеть от выбранной формы $W$, чем можно воспользоваться для получения для этих пределов возможно больших значений.

Допустим теперь, что характеристическое уравнение системы (82.1) имеет корни с положительными вещественными частями. Тогда, если равенство
\[
m_{1} \lambda_{1}+m_{2} \lambda_{2}+\ldots+m_{n} \lambda_{n}=0,
\]

где $\lambda_{i}$ – корни характеристического уравнения, не выполняется ни при каких целых неотрицательных $m_{1}, \ldots, m_{n}$, связанных соотношением $m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=2$, то форма $V$, удовлетворяющая уравнению (83.1), по-прежнему существует, но она не будет ни определенно-отрицательной, ни знакопостоянной отрицательной. При этом, если форма (83.3) определенно-положительна, то наименьшее характеристичное число системы (82.2) будет отрицательным. Таким образом, и в рассматриваемом случае предел для $\left|\varphi_{s j}(t)\right|$, при котором знаки наименьших характеристичных чисел систем (82.1) и (82.2) совпадают, определяется из условия знакоопределенности формы (83.3).

Если существует система целых неотрицательных $m_{i}$, связанных соотношением $m_{1}+\ldots+m_{n}=2$, для которых удовлетворяется равенство (83.4), то можно построить форму $V$, удовлетворяющую уравнению
\[
\sum \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=\lambda V+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $\lambda$ – положительное число, $W$-определенно-положительная форма, и при этом форма $V$ может принимать положительные значения. Если форма (83.3) будет определенно-положительной, то, так же как и в предыдущем случае, наименьшее характеристичное число системы (82.2) будет отрицательным.
Пример. Пусть предложена система
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=-\lambda x_{1}+\varphi(t) x_{2}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=-\lambda x_{2}+\varphi(t) x_{2},
\]

где $\varphi(t)$ – непрерывная функция времени. Полагая $2 V=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$, получим:
\[
\frac{d V}{d t}=-\lambda x_{1}^{2}-(\lambda-\varphi) x_{2}^{2}+\varphi x_{1} x_{2} .
\]

Условие знакоопределенности $\frac{d V}{d t}$ дает:
\[
4 \lambda(\lambda-\varphi)>\varphi^{2}
\]

или
\[
|\varphi|<(\sqrt{8}-2) \lambda .
\]

Если $\lambda>0$, то можно применить оценку предыдущего параграфа. В рассматриваемом случае
\[
\begin{array}{ll}
\bar{x}_{11}\left(t, t_{0}\right)=e^{-\lambda\left(t-t_{0}\right)}, & \bar{x}_{21}\left(t, t_{0}\right)=0, \\
\bar{x}_{12}\left(t, t_{0}\right)=0, & \bar{x}_{22}\left(t, t_{0}\right)=e^{-\lambda\left(t-t_{0}\right)}
\end{array} .
\]

и, следовательно, $M=1, m=1$, и формула (82.10) дает:
\[
|\varphi|<\lambda \text {. }
\]

Полученный предел несколько выше даваемого формулой (83.6) и является для рассматриваемого случая наибольшим. В самом деле, при $\varphi=$ const $>\lambda$ наименьшее характеристичное число системы (83.5) отрицательно.

Определение знака наименьшего характеристичного числа при помощи функций Ляпунова может быть иногда проведено и при $p_{s j}$ переменных. Укажем здесь на один прием, предложенный Н. Г. Че-таевым ${ }^{1}$ ) и заключающий вышеизложенный как частный случай.

Допустим, что коэффициенты $p_{s j}$ в уравнениях (82.1) являются непрерывными и ограниченными функциями $t$. Допустим, что корни уравнения (82.9), которые теперь являются функциями $t$, ни при каком $t>0$ не связаны соотношением (83.4). Тогда по-прежнему будет существовать квадратичная форма $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, коэффициенты которой являются функциями времени, удовлетворяющая уравнению (83.1). Допустим, что коэффициенты $p_{s j}$ таковы, что форма
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]
1) Четаев Н. Г., О наименьшем характеристичном числе. ПММ, т. IX, выл. 2, 1945.

будет также определенно-положительной. Тогда, если форма $V$ окажется определенно-отрицательной, что будет, например, иметь место, когда при всех достаточно больших значениях $t$ вещественные части всех корней уравнения (82.9) меньше некоторого отрицательного числа, то невозмущенное движение для уравнений (82.1) будет устойчиво и, следовательно, характеристичные числа этих уравнений будут во всяком случае не менее нуля. Если окажется, что при любом $t>T$, где $T$ – достаточно большое положительное число, форма $V$ может принимать положительные значения, и если, кроме того, она допускает бесконечно малый высшић предел, т. е. ее коэффициенты являются ограниченными, то невозмущенное движение будет неустойчиво.