В качестве первого примера приложения теоремы В рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия, когда силовая функция в положении равновесия имеет не максимум, как в случае Лагранжа, а минимум.

Рассмотрим консервативную систему с $n$ степенями свободы и запишем уравнения движения этсй системы в канонической форме:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{s}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{s}}, \quad \frac{d p_{s}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{s}} \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где
\[
H=T\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)-U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right),
\]
$q_{s}$ – обобщенные координаты, $p_{s}$ – обобщенные импульсы, $T$ – кинетическая энергия, $U$ – силовая функция. Допустим, что система имеет положение равновесия, которому соответствуют нулевые значения координат (а также, очевидно, и импульсов). В этом случае уравнения (14.1) будут уравнениями возмущенного движения. Силовую функцию мы выберем таким образом, чтобы в положении равновесия она обращалась в нуль. Тогда, разлагая эту функцию в ряд по степеням $q_{s}$ (полагая, что такое разложение возможно), будем иметь:
\[
U=U_{m}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)+U_{m+1}+\ldots,
\]

где $U_{j}$ обозначает совокупность членов $j$-го порядка. При этом, как известно, $m \geqslant 2$. Допустим теперь, что в положении равновесия силовая функция имеет минимум. Это, очевидно, означает, что $U$ есть функция определенно-положительная. Тогда на основании результатов $\S 7$ форма $U_{m}$ будет по меньшей мере знакопостоянной положительной. Мы будем, однако, предполагать, что эта форма является знакоопределенной, что, как было доказано в § 7, обусловливает также знакоопределенность функции $U$.

Кинетическая энергия системы относительно импульсов $p_{s}$ является квадратичной формой. Коэффициенты этой формы зависят от координат $q_{s}$. Обозначая значения этих коэффициентов при $q_{1}=\ldots=$ $=q_{n}=0$ через $a_{a \beta}$, мы можем написать:
\[
2 T=\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} a_{\alpha \beta} p_{\alpha} p_{\beta}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} A_{\alpha \beta}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) p_{\alpha} p_{\beta},
\]

где $A_{\alpha \beta}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ – некоторые функции $q_{1}, \ldots, q_{n}$, обращающиеся в нуль при $q_{1}=\ldots=q_{n}=0$. Функция $T$ по самому своему значению принимает при $p_{1}^{2}+\ldots+p_{n}^{2} eq 0$ только положительные значения, каковы бы ни были значения переменных $q_{s}$. В частности, это будет также иметь место и при $q_{1}=\ldots=q_{n}=0$. Отсюда следует, что форма
\[
\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} a_{\alpha \beta} p_{\alpha} p_{\beta}
\]

будет определенно-положительной
Рассмотрим теперь функцию
\[
V=\sum_{\varepsilon=1}^{n} p_{s} q_{s}
\]

и составим ее полную производную по времени в силу уравнений (14.1). Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} p_{s} \frac{\partial H}{\partial p_{s}}-\sum_{s=1}^{n} q_{s} \frac{\partial H}{\partial q_{s}}= \\
=\sum_{s=1}^{n} p_{s} \frac{\partial T}{\partial p_{s}}-\sum_{s, \alpha, \beta=1}^{n} q_{s} \frac{\partial A_{\alpha \beta}}{\partial q_{s}} p_{\alpha} p_{\beta}+\sum_{s=1}^{n} q_{s}\left(\frac{\partial U_{m}}{\partial q_{s}}+\frac{\partial U_{m+1}}{\partial q_{s}}+\ldots\right),
\end{array}
\]

или, применяя теорему Эилера об однородных функциях,
\[
\begin{aligned}
\frac{d V}{d t}=\left\{\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} a_{\alpha \beta} p_{\alpha} p_{\beta}+\sum_{\alpha, \beta=1}^{n}\left(A_{\alpha \beta}-\sum_{s=1}^{n} q_{s} \frac{\partial A_{\alpha \beta}}{\partial q_{s}}\right) p_{\alpha} p_{\beta}\right\} \\
+\left\{m U_{m}+(m+1) U_{m+1}+\ldots\right\} .
\end{aligned}
\]

Выражение, стоящее в первон скобке формулы (14.3), будет на основании леммы $3 \S 7$ определенно-положительной функцией относительно $p_{1}, \ldots, p_{n}$, так как форма (14.2) определенно-положительна, а коэффициенты
\[
A_{\alpha \beta}-\sum_{s=1}^{n} q_{s} \frac{\partial A_{\alpha \beta}}{\partial q_{s}}
\]

обращаются в нуль при $q_{1}=\ldots=q_{n}=0$, и следовательно, в достаточно малой окрестности начала координат они сколь угодно малы. Выражение, стоящее во второй скобке формулы (14.3), на основании леммы $4 \S 7$ является определенно-положительной функцией переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}$, так как форма $U_{m}$ по условию определенно-положительна. Следовательно, $\frac{d V}{d t}$ является определенно-положительной функцией всех $2 n$ переменных $q_{s}, p_{s}$. C другой стороны, сама функция $V$ является, очевидно, знакопеременнои. Таким образом, $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы В, и поэтому исследуемое положение равновесия неустойиво.

Итак, мы получили следующую теорему, принадлежащую Ляпунову:

Если в положении равновесия силовая функция имеет минимум и это определяется совокупностью членов наинизшего порядка в разложении этой функци, то равновесие неустойчиво.

Приведенное доказательство лишь незначительно отличается от классического доказательства Ляпунова.