Мы переходим к рассмотрению критического случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет один равный единице корень в предположении, что система уравнений возмущенного движения имеет первый порядок. Исследуемое дифференциальное уравнение будет иметь вид
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x)=f_{k}(t) x^{k}+f_{k+1}(t) x^{k+1}+\ldots
\]

где $k \geqslant 2$ и $f_{i}$ – периодические функции $t$ периода $\omega$.
Если бы коэффициент $f_{k}$ был постоянной величиной, то задача устойчивости для уравнения (66.1) разрешалась бы чрезвычайно просто. В самом деле, пусть
\[
f_{k}=g=\text { const. }
\]

Тогда, если $k$ является числом четным, то правая часть уравнения (66.1) будет знакоопределенной функцией и функция $V=x$ будет удовлетворять всем условиям теоремы III Ляпунова ( $\$ 47$ ) и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчиво.
При $k$ нечетном знакоопределенным будет выражение
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} x^{2}\right)=g x^{k+1}+f_{k+1} x^{k+2}+\ldots .
\]

и функция $V=\frac{1}{2} x^{2}$ будет при $g<0$ удовлетворять условиям теоремы II Ляпунова, а при $g>0$ – условиям теоремы III. Следовательно, в первом случае невозмущенное дзижение асимптотически устоћчиво, а во втором случае оно неустоиччив.

Итак, при выполнении условия (66.2) невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво при $k$ нечетном и $g<0$, а при $k$ нечетном и $g>0$, а также при $k$ четном оно неустойчиво. Если условие (66.2) не выполняется, то для решения задачи устойчивости необходимо будет подвергнуть уравнение (66.1) некоторому преобразованию, целью которого является приведение уравнения к такому виду, для которого указанное условие выполнялось бы. Это может быть достигнуто двумя различными способами, вследствие чего мы имеем два способа решения задачи устойивости в интересующем нас случае.

Первый способ решения задачи. Задавшись некоторым числом $N \geqslant k$, преобразуем уравнение (66.1) при помощи подстановки
\[
y=x+\psi_{k}(t) x^{k}+\psi_{k+1}(t) x^{k+1}+\ldots+\psi_{N}(t) x^{N},
\]

где $\psi_{k}, \ldots, \psi_{N}$ – некоторые периодические, периода $\omega$, функции $t$, которые мы постараемся выбрать таким образом, чтобы в преобразованном уравнении первые $N$ коэффициснтов были постоянными. Преобразованное уравнение должно, следовательно, иметь вид
\[
\frac{d y}{d t}=a_{k} y^{k}+\ldots+a_{N} y^{N}+f_{N+1}^{*}(t) y^{N+1}+\ldots
\]

где $a_{k}, \ldots, a_{N}$ – некоторые постоянные, а $f_{N+1}^{*}, \ldots$ – периодические функции $t$. Для нашей цели, как мы видели, достаточно, чтобы в уравнении (66.4) был постоянным коэффициент только при младшен степени $x$. Однако, как мы сейчас увидим, некоторые из коэффициентов $a_{j}$ могут оказаться равными нулю, и поэтому вычисление этих коэффициентов нужно будет производить до тех пор, пока мы не придем к первому отличному от нуля коэффициенту. Если этим коэффициентом будет $a_{m}$, то для нашей цели достаточно будет положить $N=m$.

Подставляя в уравнение (66.4) вместо у его выражение (66.3), будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\left(1+k \psi_{k} x^{k-1}\right. & \left.+\ldots+N \psi_{N} x^{N-1}\right)\left(f_{k} x^{k}+f_{k+1} x^{k+1}+\ldots\right)+ \\
+\frac{d \psi_{k}}{d t} x^{k}+ & \ldots+\frac{d \Psi_{N}}{d t} x^{N}=a_{k}\left(x+\psi_{k} x^{k}+\ldots+\psi_{N} x^{N}\right)^{k}+ \\
& +a_{k+1}\left(x+\psi_{k} x^{k}+\ldots+\psi_{N} x^{N}\right)^{k+1}+\ldots
\end{aligned}
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получим следующие уравнения для функций $\psi_{j}$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \psi_{k}}{d t} & =a_{k}-f_{k}, \\
\frac{d \psi_{i}}{d t} & =a_{i}-F_{i}\left(t, \psi_{k}, \ldots, \psi_{i-1}\right) \\
\quad(i & =k+1, \ldots, N) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $F_{i}$ – полиномы относительно $\psi_{k}, \ldots, \psi_{i-1}$ с периодическими коэффициентами. Эти полиномы зависят от постоянных $a_{k}, \ldots, a_{i-1}$, но не зависят от постоянной $a_{i}$. Из полученных уравнений функции последовательно определяются одна за другой, но, для того чтобы эти функции вышли периодическими, необходимо, чтобы правые части этих уравнений удовлетворяли некоторым условиям. Эти условия и определяют постоянные $a_{i}$. Действительно, для того чтобы функция $\psi_{k}$ вышла периодической, необходимо и достаточно, чтобы среднее значение функции $a_{k}-f_{k}$ равнялось нулю. Это дает:
\[
a_{k}=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} f_{k}(t) d t .
\]

Таким образом, постоянная $a_{k}$ получилась вполне определенной Если она отлична от нуля, то в дальнейших вычислениях нет необходимости, т. е. мы можем в преобразовании (66.3) положить $N=k$. Если же $a_{k}=0$, то потребуются дальнейшие вычисления.

Допустим для определенности, что все постоянные $a_{k}, \ldots, a_{j-1}$ и все функции $\psi_{k}, \ldots, \psi_{j-1}$ уже вычислены и что последние вышли периодическими. Тогда́ функция $F_{j}$ будет также периодической и условие периодичности $\psi_{j}$ однозначно определяет постоянную $a_{j}$ и дает для нее следующее значение:
\[
a_{j}=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} F_{j} d t .
\]

Таким путем мы можем вычислить любое число постоянных $a_{j}$. Но для нашей цели, как мы уже говорили, достаточно определить лишь первую из них, отличную от нуля. Допустим для определенности, что этой постоянной является $a_{m}$, так что
\[
a_{m}=g
eq 0, a_{k}=a_{k+1}=\ldots=a_{m-1}=0 .
\]

Тогда, полагая в (66.3) $N=m$, мы приведем уравнение (66.1) к виду
\[
\frac{d y}{d t}=g y^{m}+\ldots
\]

Преобразование (66.3), очевидно, обладает тем свойством, что задача устойчивости относительно переменной $x$ эквивалентна задаче устойчивости относительно переменной $y$. Мы можем поэтому вместо уравнения (66.1) рассматривать уравнение (66.9). Но для последнего, как мы видели, задача устойчивсти решается сразу, а именно, при $m$ четном, а также при $m$ нечетном и $g$ положительном невозмущенное движение неустойчиво, а при $m$ нечетном и $g$ отрицательном оно устойчиво и притом асииптотически.

Мы приходим, следовательно, к следующему правилу решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.

Делая в уравнении (66.1) подстановку (66.3), стараемся функции $\psi_{i}$ подобрать таким образом, чтобы они вышли периодическими ${ }^{1}$ ) и чтобы уравнение приняло вид (66.4). Для функций $\psi_{i}$ получаются уравиения (66.6) и постоянные $a_{i}$ однозначно определяются формулами (66.7). Эти постоянные определяем до тех пор, пока не встретим отличную от нуля. Пусть $a_{m}$ – первая такая отличная от нуля постоянная. Тогда при $m$ четном невозмущенное движение всегда неустойчиво, а при $m$ нечетном оно неустойчиво при $g>0$ и асимптотически устойчиво при $g<0$.

Сформулированное сейчас правило может быть несколько видоизменено. К этому видоизменению мы придем, рассматривая задачу
1) Для нашей задачи нет, конечно, необходимости, чтобы функции $\psi_{i}$ были периодическими. Достаточно, чтобы они были ограниченными. Но, как показывают уравнения (66.5), определяющие эти функции, они будут ограниченными только тогда, когда они єудут периодическими.

нахождения для уравнения (66.1) первого интеграла. Попытаемся найти для уравнения (66.1) первый интеграл вида
\[
x+\Phi_{k} x^{k}+\Phi_{k+1} x^{k+1}+\ldots=\text { const. },
\]

где $\Phi_{i}$ – некоторые периодические функции времени. Необходимо, следовательно, чтобы выполнялось тождественно условие
\[
\left(1+k \Phi_{k} x^{k-1}+\ldots\right)\left(f_{k} x^{k}+\ldots\right)+\frac{d \Phi_{k}}{d t} x^{k}+\frac{d \Phi_{k+1}}{d t} x^{k+1}+\ldots=0 .
\]

Сравнение с (66.5) показывает, что функции $\Phi_{i}$ удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{d \Phi_{i}}{d t}=-F_{i},
\]

в которые переходят уравнения (66.5) при $a_{i}=0$. Из уравнений (66.11) функции $\Phi_{i}$ будут получаться, вообще говоря, непериодическими. Однако, как это следует из (66.8), функции $\Phi_{k}, \ldots, \Phi_{m-1}$ совпадут с функциями $\psi_{k}, \ldots, \psi_{m-1}$ и получатся периодическими. Что же касается функции $\Phi_{m}$, то, как показывают те же равенства (66.8), она наверняка получится непериодической, а именно, для нее будем иметь:
\[
\Phi_{m}=-g t+\Phi(t)
\]

где $\Phi(t)$ – некоторая периодическся функция, а $g$ – та же постоянная, которая фигурирует в (66.8). Отсюда непосредственно видно, что при решении задачи устоћчивости мы можем руководствоваться следующим правилом.

Стараемся подобрать для уравнения (66.1) первый интеграл вида (66.10) с периодическими коэффициентами $\Phi_{i}$. Эта попытка не увенчается в общем случае успехом, так как коэффициенты $\Phi_{i}$ не получатся, вообще говоря, периодическими. Пусть $\Phi_{m}$ – первый непериодический коэффициент в ряду $\Phi_{k}, \Phi_{k+1}$, … Этот коэффициент необходимо будет иметь вид (66.12). Тогда при $m$ четном невозмущенное движение всегда неустойчиво, а при $m$ нечетном оно неустойчиво при $g>0$ и асимптотически устоичиво при $g<0$.

Сформулированное сейчас правило является, очевидно, лишь незначительным видоизменением правила, приведенного выше.

Число $m$ и знак величины $g$ являются, очевидно, некоторыми специфическими характеристиками дифференциального уравнения (66.1). Они не могут поэтому зависеть от способа приведения уравнения (66.1) к виду (66.9), и если это приведение может быть осуществлено различными приемами, то указанные величины получатся при этом одинаковыми. Изложенный нами способ приведения обладает известной неопределенностью, вызванной тем, что функции $\psi_{i}$, определяемые из (66.6) при помощи квадратур, содержат произвольные постоянные. Из вышеизложенного следует, что ни величина $m$, ни знак величины $g$ от этих постоянных не зависят и поэтому они могут быть выбраны совершенно произвольно.

Мы предполагали, что, вычисляя функции $\psi_{i}$ и постоянные $a_{i}$, мы придем к такому значению $i=m$, что величина $a_{m}$ получится отличной от нуля. Может, однако, случиться, что все величины $a_{i}$, как бы велик ни был индекс $l$, получатся равными нулю. В этом случае предыдущие рассуждения неприменимы. Однако, как мы это увидим при рассмотрении второго способа решения задачи устойчивости, в рассматриваемом случае невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически.
– Второй способ решения задачи. Первый способ решения задачи, как мы видели, связан с вопросом о возможности построения для уравнения (66.1) периодического первого интеграла вида (66.10). Второй способ, к изложению которого мы сейчас переходим, связан с возможностью построения для уравнения (66.1) периодического решения вида
\[
x=c+\varphi_{k}(t) c^{k}+\varphi_{k+1}(t) c^{k+1}+\ldots
\]

где $c$-произвольная постоянная, а $\varphi_{k}, \varphi_{k+1}, \ldots$ – периодические функции периода $\omega$.

Подставляя ряд (66.13) в правую часть уравнения (66.1), будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
f_{k}\left(c+\varphi_{k} c^{k}+\varphi_{k+1} c^{k+1}+\ldots\right)^{k}+ \\
+f_{k+1}\left(c+\varphi_{k} c^{k}+\varphi_{k+1} c^{k+1}+\ldots\right)^{k+1}+\ldots \equiv \\
\equiv \sum_{n=k}^{\infty} X_{n}\left(t, \varphi_{k}, \ldots, \varphi_{n-1}\right) c^{n} \quad\left(X_{k} \equiv f_{k}\right)
\end{array}
\]

где $X_{n}$ – полиномы относительно $\varphi_{k}, \ldots, \varphi_{n-1}$ с периодическими коэффициентами. Отсюда вытекает, что, для того чтобы уравнение (66.1) допускало решение вида (66.13), необходимо, чтобы функции $\varphi_{i}$ удовлетворяли уравнениям
\[
\frac{d \varphi_{i}}{d t}=X_{i}\left(t, \varphi_{k}, \ldots, \varphi_{i-1}\right) .
\]

Так как выражения $X_{i}$ содержат только те из $\varphi_{j}$, для которых $j<i$, то уравнения (66.15) дают возможность последовательно определять функции $\varphi_{i}$. Однако эти функции не будут, вообще говоря, получаться периодическими. Пусть $\varphi_{m}$ – первая непериодическая функция в ряду $\varphi_{k}, \varphi_{k+1}, \ldots$ Тогда эта функция необходимо имеет вид
\[
\varphi_{m}=g t+\Phi(t),
\]

где $g$ – постоянная, а Ф-периодическая функция.

Сделаем теперь в уравнении (66.1) замену переменной
\[
\begin{aligned}
x & =y+\varphi_{k} y^{k}+\cdots+\varphi_{m-1} y^{m-1}+\Phi y^{m}= \\
& =y+\varphi_{k} y^{k}+\cdots+\varphi_{m-1} y^{m-1}+\varphi_{m} y^{m}-g t y^{m} .
\end{aligned}
\]

Будем на основании (66.14) иметь:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y}{d t}\left(1+k \varphi_{k} y^{k-1}+\ldots+m \varphi^{m-1}\right)+\frac{d \varphi_{k}}{d t} y^{k}+\ldots+\frac{d \varphi_{m}}{d t} y^{m}-g y^{m}= \\
=f_{k}\left(y+\varphi_{k} y^{k}+\ldots\right)^{k}+f_{k+1}\left(y+\varphi_{k} y^{k}+\ldots\right)^{k+1}+\ldots \equiv \\
\equiv X_{k} y^{k}+X_{k+1} y^{k+1}+\ldots+X_{m} y^{m}+\ldots,
\end{array}
\]

или, принимая во внимание (66.15),
\[
\begin{aligned}
\frac{d y}{d t}\left(1+k \varphi_{k} y^{k-1}+\ldots+m \Phi y^{m-1}\right) & = \\
& =g y^{m}+f_{m+1}^{*}(t) y^{m+1}+\ldots,
\end{aligned}
\]

где $f_{m+1}^{*}(t)$ – некоторая периодическая функция, а ненаписанные члены имеют порядок, большић $m+1$, и периодические коэффициенты. Из (66.18) имеем:
\[
\frac{d y}{d t}=g y^{m}+\ldots,
\]

где ненаписанные члены имеют порядок, больший $m$, и периодические коэффициенты.

Сделанное преобразование обладает, очевидно, тем свойством, что задача устойчивости для уравнения (66.1) совпадает с задачей устойчивости для уравнения (66.19). Но для последнего уравнения задача устойчивости решается сразу, и мы приходим к следующему правилу.

Для решения задачи устойчивости для уравнения (66.1) пытаемся удовлетворить ему решением вида (66.13) с периодическими коэффициентами. Эта попытка не увенчается, вообще говоря, успехом, так как коэффициенты $\varphi_{i}$ в общем случае не получатся периодическими. Пусть $\varphi_{m}$ – первый такой непериодический коэффициент. Он необходимо будет иметь вид (66.16). Тогда, если $m$ четное или если $m$ нечетное, но $g>0$, то невозмущенное движение неустойчиво, а если $m$ нечетное и $g<0$, то это движение устоћчиво и притом асимптотически.

Так же как и при первом способе решения задачи, функции $\varphi_{i}$ содержат постоянные интегрирования, выбором которых мы можем распорядиться совершенно произвольно. При этом ни величина $m$, ни знак величины $g$ не будут зависеть от выбора этих постоянных.

Мы предположили, что среди функций $\varphi_{i}$ встречаются непериодические. Может, однако, случиться, что все функции $\varphi_{i}$, как бы велико ни было $t$, будут периодическими. Покажем, что в этом случае, если постоянные интегрирования, входящие в функции $\varphi_{i}$, выбирать таким образом, чтобы выполнялись условия $\varphi_{i}(0)=0$, то ряд (66.13) будет получаться сходящимся и действительно представит периодическое решение уравнения (66.1).

В самом деле, так как правая часть уравнения (66.1) аналитична относительно $x$, то решение этого уравнения, определяемое начальным условием $x(0)=c$, может быть разложено в ряд по $c$, сходящийся при $|c|<\alpha$, где $\alpha$-достаточно малое положительное число. Это число может быть выбрано таким образом, чтобы указанный ряд сходился при всех значениях $t$ на отрезке $[0, \omega]$. Пусть
\[
x=c+\varphi_{k}^{*} c^{k}+\varphi_{k+1}^{*} c^{k+1}+\ldots
\]
— рассматриваемое решение. Из $x(0)=c$ вытекает, что $\varphi_{i}^{*}(0)=0$. Подставляя (66.20) в (66.1), мы получим для $\varphi^{*}$ те же уравнения
\[
\frac{d \varphi_{i}^{*}}{d t}=X_{l}\left(t, \varphi_{k}^{*}, \ldots, \varphi_{i-1}^{*}\right),
\]

что и для функций $\varphi_{i}$, из которых функции $\varphi_{i}^{*}$ в силу $\varphi_{i}^{*}(0)=0$ однозначно определяются. Следовательно, если постоянные интегрирования, входящие в функции $\varphi_{l}$, выбрать таким образом, чтобы и для этих функций выполнялись условия $\varphi_{i}(0)=0$, то функции $\varphi_{i}$ совпадут с функциями $\varphi_{i}^{*}$, и ряд (66.13), который совпадет с (66.20), будет также сходиться при достаточно малых значениях $c$. И это будет справедливо вне зависимости от того, являются ли функции $\varphi_{i}$ периодическими или нет. В рассматриваемом нами случае все эти функции являются периодическими и, следовательно, ряд (66.13) представляет периодическое решение уравнения (66.1). Так как оно содержит произвольную постоянную, то оно является общим решением уравнения (66.1). Это решение будет, очевидно, устойчивым, но не асимптотически. Таким образом, если окажется, что все функции $\varphi_{i}$, как бы велик ни был индекс $i$, являются периодическими, то невозмущенное движение будет устойчиво,. но не асимптотически.
Разрешая равенство (66.13). относительно $c$, получим:
\[
c=x+\bar{\varphi}_{k}(t) x^{k}+\bar{\varphi}_{k+1}(t) x^{k+1}+\ldots,
\]

где $\bar{\varphi}_{k}$ – периодические функции времени. Соотношение (66.21) определяет, очевидно, первый интеграл уравнения (66.1). Таким образом, если все функции $\varphi_{i}$ получаются периодическими, то уравнение (66.1) имеет не только аналитическое периодическое решение, но и аналитический периодический первый интеграл. Отсюда очевидно, что если мы для решения задачи устоичивости в рассматриваемом случае воспользуемся изложенным выше первым методом, то и все функции $\psi_{i}$, фигурирующие в этом методе, выйдут также периодическими. Справедливо и обратное заключение: если при решении задачи первым методом все функции $\psi_{i}$ получатся периодическими, то при решении задачи вторым методом все функции $\varphi_{i}$ выйдут также периодическими. В самом деле, если бы не все функции $\varphi_{i}$ вышли периодическими, то задача устойчивости решалась бы конечным числом членов в уравнении (66.1) независимо от членов достаточно высокого порядка, что, очевидно, находится в противоречии с предположением, что все функции $\psi_{i}$ являются периодическими. Отсюда непосредственно вытекает, что если при решении задачи устойчивости первым методом все функции $\psi_{i}$ получатся периодическими, то невозмущенное движение будет устоичиво, но не асимптотически.
Пример 1. Пусть уравнениє возмущенного движения имеет вид
\[
\frac{d x}{d t}=\alpha \sin ^{3} t \cdot x^{2}+\beta \cos ^{2} t \cdot x^{4},
\]

где $\boldsymbol{\alpha}$ и $\boldsymbol{\beta}$ – постоянные.
Для исследования устойчивости по первому способу полагаем:
\[
y=x+\psi_{2} x^{2}+\psi_{3} x^{3}+\psi_{4} x^{4}+\ldots
\]

и стараемся функции $\psi_{i}$ выбрать таким образом, чтобы они были периодическими и чтобы уравнение (66.22) приняло вид
\[
\frac{d y}{d t}=a_{2} y^{2}+a_{3} y^{3}+a_{4} y^{4}+\ldots
\]
т. е. чтобы выполнялось тождество
\[
\begin{array}{c}
\left(\alpha \sin ^{3} t \cdot x^{2}+\beta \cos ^{2} t \cdot x^{4}\right)\left(1+2 \psi_{2} x+3 \psi_{3} x^{2}+\ldots\right)+ \\
\quad+\frac{d \psi_{2}}{d t} x^{2}+\frac{d \psi_{3}}{d t} x^{3}+\ldots= \\
=a_{2}\left(x+\psi_{2} x^{2}+\ldots\right)^{2}+a_{3}\left(x+\psi_{2} x^{2}+\ldots\right)^{3}+\ldots
\end{array}
\]

Отсюда находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \psi_{2}}{d t}=a_{2}-\alpha \sin ^{3} t . \\
\frac{d \psi_{3}}{d t}=a_{3}+2 a_{2} \psi_{2}-2 \alpha \sin ^{3} t \cdot \psi_{2}, \\
\frac{d \psi_{4}}{d t}=a_{4}+3 a_{3} \psi_{2}+a_{2} \psi_{2}^{2}+2 a_{2} \psi_{3}-\beta \cos ^{2} t-3 \alpha \sin ^{3} t \cdot \psi_{3} .
\end{array}
\]

Из условия периодичности $\psi_{2}$ находим, что $a_{2}=0$, после чего получаем:
\[
\psi_{2}=\alpha\left(\cos t-\frac{\cos ^{3} t}{3}\right) .
\]

Далее имеем:
\[
a_{3}=0, \quad \psi_{3}=-\frac{\alpha^{2}}{3}\left(\sin ^{4} t+\frac{1}{3} \sin ^{6} t\right) .
\]

Подставляя полученные величины $a_{2}, a_{3}$ и функции $\psi_{2}, \psi_{3}$ в уравнение для $\psi_{4}$, получаем:
\[
\frac{d \psi_{4}}{d t}=a_{4}-\beta \cos ^{2} t+\alpha^{3}\left(\sin ^{7} t+\frac{1}{3} \sin ^{9} t\right),
\]

откуда непосредственно следует, что
\[
a_{4}=\frac{\beta}{2} .
\]

Таким образом, первый отличный от нуля коэффициент $a_{i}$ имеет четный индекс, откуда вытекает, что невозмущенное движение неустойчиво.

Решим теперь задачу вторым способом. С этой целью пытаемся удовлетворить уравнению (66.22) решением вида
\[
x=c+\varphi_{2} c^{2}+\varphi_{3} c^{3}+\ldots .
\]

где $c$-произвольная постоянная, а $\varphi_{i}$ – периодические функции времени. Подставляя это решение в (66.22) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $c$, получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \varphi_{2}}{d t}=\alpha \sin ^{3} t, \quad \frac{d \varphi_{3}}{d t}=2 \alpha \sin ^{3} t \cdot \varphi_{2}, \\
\frac{d \varphi_{4}}{d t}=\beta \cos ^{2} t+\alpha \sin ^{3} t \cdot \varphi_{2}^{2}+2 \alpha \sin ^{3} t \cdot \varphi_{3} .
\end{array}
\]

Отсюда находим:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{2}=-\alpha\left(\cos t-\frac{\cos ^{3} t}{3}\right), \\
\varphi_{3}=\frac{\alpha^{2}}{3} \sin ^{4} t-\frac{\alpha^{2}}{9} \sin ^{6} t, \\
\varphi_{4}=\frac{\beta}{2} t+\varphi(t),
\end{array}
\]

где $\varphi(t)$ есть периодическая функция. Таким образом, первая непериодическая функция $\varphi_{i}$ имеет четный индекс, откуда вытекает неустоћчивость движения.

Пример2. В качестве второго примера рассмотрим систему уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, для которой характеристическое уразнение имеет пару чисто мнимых корней $\pm \lambda i$. Эта задача подробно рассматривалась нами в $\S \S 36-38$. Уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X(x, y), \quad \frac{d u}{d t}=\lambda x+Y(x, y),
\]

где $X$ и $Y$-аналитические функции переменных $x, y$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.
Введением полярных координат
\[
x=r \cos \vartheta, \quad y=r \sin \vartheta
\]

система (66.23) приводится к виду
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\bar{R}(r, \vartheta), \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\lambda+\vartheta(r, \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

откуда исключением $d t$ находим:
\[
\frac{d r}{d \vartheta}=R(r, \vartheta)
\]

В уравнениях (66.24) и (66.25) функции $\bar{R}, \theta$ и $R$ будут аналитическими относительно $r$, обращающимися в нуль при $r=0$, причем разложения $\bar{R}$ и $R$ начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты в разлсжениях этих функций являются полиномами относительно $\cos \vartheta$ и $\sin \vartheta$ и, следовательно, будут периодическими функциями $\vartheta$.

Из второго уравнения (66.24) следует, что при $r$, достаточно малом, величина $\vartheta$ является монотонной функцией времени, неограниченно возрастающей вместе с последним (если при этом $r$ остается достаточно малым). Отсюда непосредственно вытекает, что при решении задачи устойчивости переменная $\vartheta$ может играть роль времени. Следовательно, задача устойчивоста по отношению к переменным $x$ и у для уравнений (66.23) эквивалентна той же задаче по отношению к переменной $r$ для уравнения (66.25). Но последнее уравнение является, очевидно, частным случаем уравнения (66.1), и мы можем его исследовать вышеуказанными методами. В частности, мы можем применить второй метод, что приведет нас, очевидно, к результатам $\S 36$.