Мы рассмотрим сейчас три других критерия устойчивости по первому приближению, отличных от критерия Ляпунова и играющих важную роль в теории критических случаев. Во всех этих трех критериях предполагается, что функшии ${\phi }_s(t,x_1,\dots ,x_n)$ в дифференциальных уравнениях возмущенного движения
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+{\phi }_s(t,x_1,\dots ,x_n)(s=1,2,\dots ,n)$$

удовлетворяют в области
$$t⩾0,\left|x_s\right|⩽H,$$

неравенствам
$$\left|{\phi }_s(t,x_1,\dots ,x_n)\right|<A\{\left|x_1\right|+\dots +\left|x_n\right|\},$$

где $A$ — некоторая постоянная.
Первый из указанных критериев выражается следующей теоремой ${}^{\mathrm{I}}$ ).
1) См. Малкин И. Г., Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen. Сб. трудов Казанского авиац. ин-та, № 2, 1934.

Теорема 1. Если для уравнений первого приближения
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n$$

существует функция Ляпунова $V(t,x_1,\dots ,x_n)$, удовлетво ряющая всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе бункций ${\phi }_s$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), еслі только постоянная д достаточно мала.

Доказательство. Мы воспользуемся для доказательства результатами § 75. Согласно последним (теорема 3) при выполнении условий теоремы существует определенно-положительная квадратичная форма $V^{\ast }(t,x_1,\dots ,x_n)$ і ограниченными коэффициентами, производная которой, составленная в силу уравнений (88.4), равна наперед заданной определенно-огрицательной квадратичной форме. Мы можем, в частности, положить:
$$\frac{\partial V}{\partial t}+\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n)=-\sum _{s=1}^n{x}_s^2.$$

Составим теперь производную от $V$ по $t$ в силу полной системы уравнений (88.1). Будем иметь:
$$\frac{dV}{dt}=-\sum _{s=1}^n{x}_s^2+\sum _{s=1}^n{\phi }_s\frac{\partial V}{\partial x_s}.$$

Эта производная, в силу того что коэффициенты формы $V$ ограничены, будет определенно-отрицательной при любом выборе функцић ${\phi }_s$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная $A$ достаточно мала. Следовательно, форма $V$ является функцией Ляпунова для полной системы (88.1), удовлетворяющей всем условиям теоремы II об асимптот ической устойчивости. Поэтому невозмущенное дзижение асимптотически устойчиво, что и доказывает теорему.

Пусть $x_{sj}(t,t_0)(j=1,2,\dots ,n)$ — фундаментальная система решений уравнений (88.4), определяемая начальными условиями
$$\begin{array}{c}{x}_{ss}(t_0,t_0)=1,x_{sj}(t_0,t_0)=0(seqj)\\ (s,j=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Тогда имеет место также слєдующий критерий устойчивости по первому приближению, установленный К. П. Персидским ${}^1$ ).
1) См. работу, цитированную на стр. 367.

Теорема 2. Если для уравнений первого приближения (88.4) при любых $t_0⩾0$ и $t>t_0$ выполняются неравенства
$$\left|x_{sj}(t,t_0)\right|<B{e}^{-\alpha (t-t_0)},$$

где $B$ и а-положительные постоянные, не зависящие от $t_0$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций ${\phi }_s$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная $A$ достаточно мала,

Согласно результатам $\mathrm{\S }75$ (теорема 1 и 2) этот критерий, который может быть доказан и непосредственно, полностью эквивалентен критерию, даваемому теоремой\» 1 , и поэтому в отдельном доказательстве не нуждается.

Отметим, наконец, еще третий критерий, который также эквивалентен первым двум. Этот критерий установлен О. Перроном ${}^1$ ) и выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Если уравнения первого приближения (88.4), обладают тем свойством, что при любых непрерывных и огра: ниченных при $t⩾0$ бункциях $f_s$ система неоднородных уравнений
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+f_s(t)$$

допускает только ограниченные решения, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций ${\phi }_s$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная А достаточно мала.

Как уже указывалось выше, этот критерий полностью эквивалентен критериям, даваемым теоремами 1 и 2.
Дейстительно, общее решение уравнений (88.6) имеет вид
$$x_s=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_{sj}(t,0)+{\int }_0^t\sum _{j=1}^n{x}_{sj}(t,\tau )f_j(\tau )d\tau ,$$

где $c_j$-произвольные постоянные. Если выполняются условия теоремы 1 , или, что то же самое, неравенства (88.5), то при любом $t⩾0$ будут справедливы оценки
$$\begin{array}{l}{x}_s<B(\left|c_1\right|+\dots +\left|c_n\right|)+nBM{\int }_0^t{e}^{-\alpha (t-\tau )}dt=\\ =B(|c_1+\dots +|c_n\mid )+\frac{nBM}{\alpha }(1-e^{-\alpha t}),\end{array}$$

где $M$ — верхний предел функции $|f_s(t)|$, что и доказывает ограниченность функций $x_s$. Наоборот, если уравнения (88.6) при любых ограниченных и непрерывных $f_s(t)$ допускают только ограниченные
1) См. работу, цитированную на стр. 368 .

решения, то можно показать ${}^1$ ), что выполняются условия теоремы 1 , а следовательно, также и теоремы 2.

Доказанными теоремами выделяется определенный класс линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Эти уравнения обладают тем свойством, что для них одновременно выполняются условия всех трех теорем, причем если выполняются условия хотя бы одной из этих теорем, то выполняются условия и двух других теорем: Из (88.5) вытекает, что все характеристичные числа этих уравнений положительны.

Частным случаем такого рода уравнений являются уравнения с постоянными коэффициентами, если вещественные части всех корней его характеристического уравнения отрицательны, и уравнения c периодическими коэффициентами, если их характеристические показатели также имеют отрицательные вещественные части ${}^2$ ).