Мы рассмотрим сейчас три других критерия устойчивости по первому приближению, отличных от критерия Ляпунова и играющих важную роль в теории критических случаев. Во всех этих трех критериях предполагается, что функшии $\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в дифференциальных уравнениях возмущенного движения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

удовлетворяют в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H,
\]

неравенствам
\[
\left|\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\},
\]

где $A$ – некоторая постоянная.
Первый из указанных критериев выражается следующей теоремой ${ }^{\mathrm{I}}$ ).
1) См. Малкин И. Г., Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen. Сб. трудов Казанского авиац. ин-та, № 2, 1934.

Теорема 1. Если для уравнений первого приближения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}
\]

существует функция Ляпунова $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетво ряющая всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе бункций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), еслі только постоянная д достаточно мала.

Доказательство. Мы воспользуемся для доказательства результатами § 75. Согласно последним (теорема 3) при выполнении условий теоремы существует определенно-положительная квадратичная форма $V^{*}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ і ограниченными коэффициентами, производная которой, составленная в силу уравнений (88.4), равна наперед заданной определенно-огрицательной квадратичной форме. Мы можем, в частности, положить:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2} .
\]

Составим теперь производную от $V$ по $t$ в силу полной системы уравнений (88.1). Будем иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+\sum_{s=1}^{n} \varphi_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} .
\]

Эта производная, в силу того что коэффициенты формы $V$ ограничены, будет определенно-отрицательной при любом выборе функцић $\varphi_{s}$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная $A$ достаточно мала. Следовательно, форма $V$ является функцией Ляпунова для полной системы (88.1), удовлетворяющей всем условиям теоремы II об асимптот ической устойчивости. Поэтому невозмущенное дзижение асимптотически устойчиво, что и доказывает теорему.

Пусть $x_{s j}\left(t, t_{0}\right)(j=1,2, \ldots, n)$ – фундаментальная система решений уравнений (88.4), определяемая начальными условиями
\[
\begin{array}{c}
x_{s s}\left(t_{0}, t_{0}\right)=1, \quad x_{s j}\left(t_{0}, t_{0}\right)=0 \quad(s
eq j) \\
(s, j=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Тогда имеет место также слєдующий критерий устойчивости по первому приближению, установленный К. П. Персидским ${ }^{1}$ ).
1) См. работу, цитированную на стр. 367.

Теорема 2. Если для уравнений первого приближения (88.4) при любых $t_{0} \geqslant 0$ и $t>t_{0}$ выполняются неравенства
\[
\left|x_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right|<B e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)},
\]

где $B$ и а-положительные постоянные, не зависящие от $t_{0}$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная $A$ достаточно мала,

Согласно результатам $\S 75$ (теорема 1 и 2) этот критерий, который может быть доказан и непосредственно, полностью эквивалентен критерию, даваемому теоремой\” 1 , и поэтому в отдельном доказательстве не нуждается.

Отметим, наконец, еще третий критерий, который также эквивалентен первым двум. Этот критерий установлен О. Перроном ${ }^{1}$ ) и выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Если уравнения первого приближения (88.4), обладают тем свойством, что при любых непрерывных и огра: ниченных при $t \geqslant 0$ бункциях $f_{s}$ система неоднородных уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+f_{s}(t)
\]

допускает только ограниченные решения, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная А достаточно мала.

Как уже указывалось выше, этот критерий полностью эквивалентен критериям, даваемым теоремами 1 и 2.
Дейстительно, общее решение уравнений (88.6) имеет вид
\[
x_{s}=\sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{s j}(t, 0)+\int_{0}^{t} \sum_{j=1}^{n} x_{s j}(t, \tau) f_{j}(\tau) d \tau,
\]

где $c_{j}$-произвольные постоянные. Если выполняются условия теоремы 1 , или, что то же самое, неравенства (88.5), то при любом $t \geqslant 0$ будут справедливы оценки
\[
\begin{array}{l}
x_{s}<B\left(\left|c_{1}\right|+\ldots+\left|c_{n}\right|\right)+n B M \int_{0}^{t} e^{-\alpha(t-\tau)} d t= \\
=B\left(\left|c_{1}+\ldots+\right| c_{n} \mid\right)+\frac{n B M}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right),
\end{array}
\]

где $M$ – верхний предел функции $\left|f_{s}(t)\right|$, что и доказывает ограниченность функций $x_{s}$. Наоборот, если уравнения (88.6) при любых ограниченных и непрерывных $f_{s}(t)$ допускают только ограниченные
1) См. работу, цитированную на стр. 368 .

решения, то можно показать ${ }^{1}$ ), что выполняются условия теоремы 1 , а следовательно, также и теоремы 2.

Доказанными теоремами выделяется определенный класс линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Эти уравнения обладают тем свойством, что для них одновременно выполняются условия всех трех теорем, причем если выполняются условия хотя бы одной из этих теорем, то выполняются условия и двух других теорем: Из (88.5) вытекает, что все характеристичные числа этих уравнений положительны.

Частным случаем такого рода уравнений являются уравнения с постоянными коэффициентами, если вещественные части всех корней его характеристического уравнения отрицательны, и уравнения c периодическими коэффициентами, если их характеристические показатели также имеют отрицательные вещественные части ${ }^{2}$ ).